n con 2016 = radice della somma dei cubi dei primi n interi
- Sia assegnato un piastrellamento poligonale del piano (cioè ogni piastrella sia un poligono). Dimostra o confuta ciascuna delle seguenti affermazioni. a) Se ogni cerchio con centro in un punto P interseca infinite piastrelle, allora P appartiene a infinite piastrelle. b) Se ogni piastrella contiene un cerchio di raggio 1 ed esiste un numero positivo M tale che ogni piastrella sia contenuta in un cerchio di raggio M, allora ogni punto appartiene ad un numero finito di piastrelle.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Analisi per casi Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 63 Fonte: apri PDF p.1
n with 2016 = root of the sum of the cubes of the first n integers
- A polygonal tiles of the plane (i.e. each tiles is a polygon) are assigned. Proves or refutes each of the following statements. (a) If every circle with a center at a point P intersects infinite tiles, then P belongs to infinite tiles. (b) If each tile contains a circle of radius 1 and there is a positive number M such that each tile is contained in a circle of radius M, then each point belongs to a finite number of tiles.
Answer: 63 src_kangourou_2016_student_finale__QS1
Giorni festivi in piu aggiungendo i ponti, anno 3000 giorni
- Sia ora assegnato un piastrellamento generico del piano. Dimostra o confuta la seguente affermazione: se ogni cerchio con centro in un punto P interseca infinite piastrelle, esiste una retta r passante per P tale che ogni segmento di r contenente P al suo interno intersechi infinite piastrelle. N.B. Per fornire alcune risposte, puoi limitarti a tracciare figure sufficientemente esplicative.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2 Fonte: apri PDF p.1
Additional holidays by adding bridges, year 3000 days
- A generic plan tiles are now assigned. It demonstrates or refutes the following statement: if every circle with a center at a point P intersects infinite tiles, there exists a straight line passing through P such that every segment of r containing P within it intersects infinite tiles. N.B. To provide some answers, you can simply trace sufficiently explanatory figures.
Answer: 2 src_kangourou_2016_student_finale__QS2
Coordinate di un vertice del cubo dati tre vertici
Rispetto ad un sistema assegnato di assi cartesiani ortogonali nello spazio, le coordinate di tre dei vertici di un cubo sono , e . Determina, nel modo più veloce in cui riesci a farlo, le coordinate (rispetto allo stesso sistema) di uno dei rimanenti vertici del cubo.
Topic: Geometria analitica, Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: (0,4,7) Fonte: apri PDF p.1
Coordinates of one vertex of the three vertex data cube
Compared to an assigned system of orthogonal Cartesian axes in space, the coordinates of three vertices of a cube are , and . Determine, as quickly as you can, the coordinates (as compared to the same system) of one of the remaining vertices of the cube.
Answer: (0,4,7) src_kangourou_2016_student_finale__QS3
Somma degli inversi dei prodotti su tutti i sottoinsiemi
Considera l’insieme dei primi numeri interi positivi: ad ogni suo sottoinsieme non vuoto associa l’inverso del prodotto dei numeri che lo compongono (ad esempio, se il sottoinsieme è associa ). Quanto vale la somma di tutti i numeri che ottieni al variare di tutti i possibili sottoinsiemi non vuoti?
Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2016 Fonte: apri PDF p.1
*Summary of product reverses on all subset *
Consider the set of the first positive integers: to each of its non-empty subsets the inverse of the product of the numbers composing it is associated (e.g. if the subsets is it associates ). What is the sum of all the numbers you get by varying all the possible non-empty subsets?
Answer: 2016 src_kangourou_2016_student_finale__QS4
Massimo rapporto area parallelogramma su esagono regolare
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.8]
\coordinate (A) at (-0.5, 0.866);
\coordinate (B) at (-1, 0);
\coordinate (C) at (-0.5,-0.866);
\coordinate (D) at ( 0.5,-0.866);
\coordinate (E) at ( 1, 0);
\coordinate (F) at ( 0.5, 0.866);
\draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--cycle;
\draw[red, dashed, thick] (A)--(C)--(D)--(F)--cycle;
\draw[dotted] (C)--(F);
\node[above left] at (A) {$A$};
\node[left] at (B) {$B$};
\node[below left] at (C) {$C$};
\node[below right] at (D) {$D$};
\node[right] at (E) {$E$};
\node[above right] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Un parallelogramma è inscritto in un esagono regolare (cioè i suoi vertici sono punti di qualche lato dell’esagono) e i centri (di simmetria) dei due poligoni coincidono. Quanto può valere, al massimo, il rapporto fra l’area del parallelogramma e l’area dell’esagono?
Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2/3 Fonte: apri PDF p.1
Most parallelogram area ratio over regular hexagon
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.8]
\coordinate (A) at (-0.5, 0.866);
\coordinate (B) at (-1, 0);
\coordinate (C) at (-0.5,-0.866);
\coordinate (D) at ( 0.5,-0.866);
\coordinate (E) at ( 1, 0);
\coordinate (F) at ( 0.5, 0.866);
\draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--(F)--cycle;
\draw[red, dashed, thick] (A)--(C)--(D)--(F)--cycle;
\draw[dotted] (C)--(F);
\node[above left] at (A) {$A$};
\node[left] at (B) {$B$};
\node[below left] at (C) {$C$};
\node[below right] at (D) {$D$};
\node[right] at (E) {$E$};
\node[above right] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{document}A parallelogram is inscribed in a regular hexagon (i.e. its vertices are points on some side of the hexagon) and the centers (of symmetry) of the two polygons coincide. What is the maximum value of the ratio between the area of the parallelogram and the area of the hexagon?
Answer: 2/3 src_kangourou_2016_student_finale__QS5
Affermazioni su piastrellamenti del piano (convesse)
Per piastrellamento del piano intendiamo una famiglia di figure convesse (eventualmente diverse tra loro per forma e dimensione), ciascuna comprensiva del proprio bordo, contenuta in qualche cerchio e contenente qualche cerchio, tale che ogni punto del piano appartenga a qualche figura, ma figure diverse abbiano in comune al più solo punti dei loro bordi. Le figure vengono dette piastrelle.
Sia assegnato un piastrellamento poligonale del piano (cioè ogni piastrella sia un poligono). Dimostra o confuta ciascuna delle seguenti affermazioni.
a) Se ogni cerchio con centro in un punto interseca infinite piastrelle, allora appartiene a infinite piastrelle.
b) Se ogni piastrella contiene un cerchio di raggio ed esiste un numero positivo tale che ogni piastrella sia contenuta in un cerchio di raggio , allora ogni punto appartiene ad un numero finito di piastrelle.
Sia ora assegnato un piastrellamento generico del piano. Dimostra o confuta la seguente affermazione: se ogni cerchio con centro in un punto interseca infinite piastrelle, esiste una retta passante per tale che ogni segmento di contenente al suo interno intersechi infinite piastrelle.
N.B. Per fornire alcune risposte, puoi limitarti a tracciare figure sufficientemente esplicative.
Topic: Geometria piana, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 1a falsa, 1b vera, 2 falsa Fonte: apri PDF p.1
*Statements on plan tiles (conveyance) *
For ** plane tiles ** we mean a family of convex figures (possibly different from each other in shape and size), each comprising its own edge, contained in some circle and containing some circle, such that each point of the plane belongs to some figure, but different figures have in common only points of their edges at most. The figures are called tiles.
- A polygonal tiles of the plane (i.e. each tiles is a polygon) are assigned. Proves or refutes each of the following statements.
(a) If each circle with a centre at a point intersects infinite tiles, then belongs to infinite tiles.
(b) If each tile contains a circle of radius and a positive number exists such that each tile is contained in a circle of radius , then each point belongs to a finite number of tiles.
- A generic plan tiles are now assigned. Demonstrate or refute the following statement: if each circle centered at a point intersects infinite tiles, there exists a straight passing through such that each segment of containing within it intersects infinite tiles.
N.B. To provide some answers, you can simply trace sufficiently explanatory figures.
Answer: 1a falsa, 1b vera, 2 falsa src_kangourou_2016_student_finale__QS6