Conviene scegliere somma 9 o 10 ai dadi
(5 punti) Un amico ti invita a giocare a dadi nel modo seguente. Tu e lui lanciate più volte due dadi identici non truccati, con le facce numerate, come al solito, da 1 a 6 e calcolate la somma dei punti ottenuti. Se la somma è 9 vince uno di voi due, se la somma è 10 vince l’altro, se la somma è diversa da 9 e da 10 non vince nessuno dei due. Ti lascia scegliere, fra 9 e 10, la somma che ti fa vincere, tenendo per sé quella delle due che non hai scelto. Quale ti conviene scegliere e perché?
Topic: Probabilita e statistica Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9 Fonte: apri PDF p.1
It is appropriate to choose sum 9 or 10 on the dice
A friend invites you to play dice like this. You and he repeatedly roll two identical unmasked dice, with the faces numbered, as usual, from 1 to 6, and calculate the sum of the points. If the sum is 9, one of you wins, if the sum is 10, the other one wins, if the sum is different from 9 and the sum is different from 10, neither of you wins. He lets you choose between 9 and 10, the amount that makes you win, keeping that for himself of the two you didn’t. Which one is best for you, and why?
Answer: 9 src_kangourou_2017_junior_finale__QJ1
Terne di dispari consecutivi tutti primi
(7 punti) Esistono terne di numeri dispari consecutivi, ciascuno dei quali sia primo? In caso di risposta affermativa, precisa quante sono; in caso di risposta negativa, fornisci una motivazione.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: {3,5,7} Fonte: apri PDF p.1
Term of consecutive odd numbers all first
(7 points) Are there any sets of consecutive odd numbers, each of which is prime? If yes, specify how many; if no, provide a reason.
Answer: {3,5,7} src_kangourou_2017_junior_finale__QJ2
Tempo di volo con vento andata e ritorno
(11 punti) Un aereo di linea vola giornalmente da un aeroporto ad un aeroporto e ritorna da ad lungo la stessa rotta rettilinea, sempre tenendo i motori al massimo possibile della potenza. Ieri c’era totale assenza di vento, oggi invece per tutta la giornata ha spirato un vento a velocità costante da verso . Nel complesso dei due voli, oggi ha impiegato lo stesso tempo di ieri? Un tempo minore? Un tempo maggiore? Giustifica la tua risposta come ritieni più opportuno.
Topic: Algebra, Logica, giochi, strategie Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: tempo maggiore Fonte: apri PDF p.1
Flight time with winds going back and forth
(11 points) A scheduled aircraft flies daily from an airport to an airport and returns from to along the same straight route, always keeping the engines at maximum power. Yesterday there was no wind at all, but today there was a steady wind from to throughout the day. Overall, did both flights take the same amount of time today as yesterday? Less time? More time? Justify your answer as you see fit.
Answer: tempo maggiore src_kangourou_2017_junior_finale__QJ3
Sequenze consecutive con somma cifre divisibile per 7
(14 punti) Esistono sequenze di (almeno due) numeri interi positivi consecutivi tali che la somma delle cifre di ciascun numero della sequenza sia divisibile per 7? In caso affermativo, quanti numeri vi possono essere al massimo in una di queste sequenze?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: al massimo due Fonte: apri PDF p.1
Sequences consecutive with a sum of digits divisible by 7
(14 points) Are there sequences of (at least two) consecutive positive integers such that the sum of the digits of each number in the sequence is divisible by 7? If yes, how many numbers can there be at most in one of these sequences?
Answer: al massimo due src_kangourou_2017_junior_finale__QJ4
Coppia diametrale e cerchio minimo di un insieme
(18 punti) Sia un insieme finito arbitrario di punti del piano (almeno 2): è noto che esiste, ed è unico, il cerchio di raggio minimo che contiene (la dimostrazione di questo fatto esula dal contesto di questa gara, dunque non è richiesta). Una coppia di punti di si dice diametrale se, comunque scelti due punti di , la loro distanza non supera la distanza fra e . Stabilire se è vero (motivando la risposta) che:
- ogni coppia diametrale di deve necessariamente stare sulla circonferenza che delimita ;
- esistono sempre cerchi che contengono , ma non contengono .
Topic: Geometria piana, Insiemi e funzioni Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: No; Si Fonte: apri PDF p.1
Pair diameter and minimum circle of a set
(18 points) Whether is an arbitrary finite set of points in the plane (at least 2): the circle of minimum radius containing is known to exist, and is unique (the demonstration of this fact is outside the context of this competition, so it is not required). A pair of points is said to be diameter if, however, two points are chosen, their distance does not exceed the distance between and . Establish whether it is true (by reasoning the answer) that: - each diameter pair of must necessarily be on the circumference that delimits ; - there are always circles containing , but not .
Answer: No; Si src_kangourou_2017_junior_finale__QJ5
Cubi inscrivibili in un dodecaedro regolare
(22 punti) Quanti diversi cubi sono inscrivibili in (cioè hanno i vertici in comune con i vertici di) un dodecaedro regolare? (Si ricordi che le facce di un dodecaedro regolare sono pentagoni regolari.)
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 5 Fonte: apri PDF p.1
Cube inscribed in a regular dodecahedron
(22 points) How many different cubes can be inscribed in (i.e. have vertices in common with the vertices of) a regular dodecahedron? (Remember that the faces of a regular dodecahedron are regular pentagons.)
Answer: 5 src_kangourou_2017_junior_finale__QJ6