Angolo medio in poligono convesso di 10 lati
2x > 130 2) x < 100 3) 3x > 50 4) x > 20 5) x > 15 due sono vere e tre sono false, quali sono quelle vere? (A) La 1) e la 3). (B) La 2) e la 3). (C) La 2) e la 4). (D) La 2) e la 5).
(E) La 4) e la 5).
Topic: Geometria piana Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Middle angle in a 10-sided convex polygon
2x > 130 2) x < 100 3) 3x > 50 4) x > 20 5) x > 15 two are true and three are false, what are the real ones? (A) La 1) e la 3). (B) La 2) e la 3). (C) La 2) e la 4). (D) La 2) e la 5). (E) La 4) e la 5).
Answer: C src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q01
Strada minima con ponte corto attraverso fiume
- (Punti 3) Kangcity si trova 2 km a est e 2 km a nord rispetto a Kangtown e le due città sono se parate da un fiume largo 1 km che scorre da sud a nord. Si vuol costruire una strada che attraversi il fiume su un ponte corto quanto più è possibile e che, soddisfatta questa richiesta, sia la più corta possibile. Quanti chilometri sarà lunga la strada? (B) 2√2 (C) √3+1 (D) √5 + 1 (A) 4 (E) 3
Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Minimum road with short river bridge
- Kangcity is located 2 km east and 2 km north of Kangtown and the two towns are separated by a 1 km wide river running from south to north. We want to build a road that crosses the river on a short bridge as much as possible and that, if this demand is met, is the shortest possible. How many miles will the road be? (B) 2√2 (C) √3+1 (D) √5 + 1 (A) 4 (E) 3
Answer: D src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q02
Quali due disuguaglianze su x sono vere
- (Punti 3) Se delle seguenti cinque disuguaglianze
Topic: Algebra, Logica, giochi, strategie Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Which two inequalities on x are true
- (Points 3) If any of the following five inequalities
Answer: D src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q03
Confronto tempi e velocita di due treni
(Punti 4) Il treno X percorre l’intero tragitto tra due città senza arrestarsi durante il viaggio (in particolare non effettuando fermate intermedie). Il treno Y percorre lo stesso tragitto effettuando una fermata intermedia di 5 minuti e impiegando per l’intero viaggio 5 minuti più di X. Allora
- (A) in qualche punto del tragitto la velocità di Y è superiore alla velocità di X.
- (B) la velocità massima toccata da Y è superiore a quella toccata da X.
- (C) la velocità massima toccata dai due treni è la stessa.
- (D) la velocità media sull’intero tragitto è la stessa per i due treni.
- (E) nessuna delle precedenti affermazioni è corretta.
Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Comparison of timing and speed of two trains
(Point 4) Train X travels the entire route between two cities without stopping during the journey (in particular without making intermediate stops). The Y train follows the same route by making a mid-way stop of 5 minutes and taking 5 minutes more than X for the entire journey. So, what?
- (A) At some point along the route, the speed of Y is greater than the speed of X.
- (B) the maximum speed touched by Y is greater than that touched by X.
- (C) the maximum speed reached by the two trains is the same.
- (D) the average speed on the entire route is the same for the two trains.
- (E) None of the above claims are correct.
Answer: A src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q04
Numero di addendi impossibile per somma di cubi 2017
(Punti 4) Una somma di cubi di numeri interi positivi vale 2017. Quale dei seguenti non può es sere il numero degli addendi?
- (A) 3
- (B) 4
- (C) 2000
- (D) 2010
- (E) 2017
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Number of impossible additions by sum of cubes 2017
(Points 4) A sum of positive integer cubes is 2017. Which of the following cannot be the number of additions?
- (A) 3
- (B) 4
- (C) 2000
- (D) 2010
- (E) 2017
Answer: C src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q05
Accostamenti distinti di due dadi incollati
(Punti 4) Hai due dadi classici di uguale misura, con le facce numerate da 1 a 6, uno rosso e uno verde. Li vuoi incollare tra loro facendo combaciare completamente una faccia di uno con una fac cia dell’altro, in modo che le facce aderenti riportino punteggi diversi. Quanti diversi accostamenti puoi realizzare? (Due accostamenti sono da considerare diversi se non possono essere ottenuti uno dall’altro per rotazioni dei solidi formati dalla coppia di dadi incollati.)
- (A) 30
- (B) 60
- (C) 90
- (D) 120
- (E) 240
Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Conteggio combinatorio, Sfruttamento della simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Separate approaches of two glued dice
You have two classic dice of equal size, with faces numbered 1 to 6, one red and one green. You want to stick them together by completely matching one face to another, so that the adhering faces give different scores. How many different approaches can you make? (Two approximations are to be considered different if they cannot be obtained from each other by rotations of the solids formed by the pair of glued dice.)
- (A) 30
- (B) 60
- (C) 90
- (D) 120
- (E) 240
Answer: D src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q06
Numero possibile di partite del torneo a batterie
(Punti 5) Il numero di adesioni ad un mega torneo di tennis è stato fissato in modo da poter or ganizzare il torneo come segue. L’insieme dei partecipanti viene ripartito in batterie di 5 giocatori ciascuna. L’insieme dei vincitori delle singole batterie viene ancora ripartito in batterie di 5 giocatori ciascuna e così via fino ad avere solo 2 batterie da 5 giocatori ciascuna i cui vincitori si affrontano nella finale. In ogni batteria ogni giocatore affronta ogni altro una e una sola volta. Quale fra i se guenti può essere il numero delle partite da disputare complessivamente nel torneo?
- (A) 501
- (B) 601
- (C) 3021
- (D) 3101
- (E) Nessuno dei precedenti
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Possible number of matches of the battery tournament
(Points 5) The number of participants in a mega tennis tournament has been set so that the tournament can be organised as follows. All participants are divided into batches of 5 players each. The overall winners of the individual batches are still divided into batches of 5 players each and so on until they have only 2 batches of 5 players each whose winners face each other in the final. In each battery, each player faces each other once and only once. What is the total number of matches to be played in the tournament?
- (A) 501
- (B) 601
- (C) 3021
- (D) 3101
- (E) None of the above
Answer: E src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q07
Rapporto aree quadrilatero e triangolo dai punti medi
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,4);
\coordinate (C) at (4,0);
\coordinate (M) at (2,2);
\coordinate (N) at (3,1);
\coordinate (P) at (4,1.3333);
\fill[gray!40] (A) -- (M) -- (N) -- (P) -- cycle;
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (M) -- (C);
\draw (A) -- (N) -- (B);
\draw (M) -- (P);
\node[left] at (A) {$A$};
\node[above right] at (B) {$B$};
\node[right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (M) {$M$};
\node[right] at (N) {$N$};
\node[below right] at (P) {$P$};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 5) Osserva la figura: ABC è un triangolo, M è il punto medio del lato AB e N è il punto medio del segmento MC. Qual è il rapporto fra l’area del quadrilatero AMNP (colorato in grigio) e l’area della rimanente parte del triangolo ABC?
- (A) 5 : 12
- (B) 1 : 2
- (C) 2 : 3
- (D) 3 : 5
- (E) 5 : 7
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Report of quadrilateral and triangular areas from midpoints
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,4);
\coordinate (C) at (4,0);
\coordinate (M) at (2,2);
\coordinate (N) at (3,1);
\coordinate (P) at (4,1.3333);
\fill[gray!40] (A) -- (M) -- (N) -- (P) -- cycle;
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (M) -- (C);
\draw (A) -- (N) -- (B);
\draw (M) -- (P);
\node[left] at (A) {$A$};
\node[above right] at (B) {$B$};
\node[right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (M) {$M$};
\node[right] at (N) {$N$};
\node[below right] at (P) {$P$};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Points 5) Note the figure: ABC is a triangle, M is the middle point of the AB side and N is the middle point of the MC segment. What is the ratio of the area of the quadrilateral AMNP (grey) to the area of the remaining part of the triangle ABC?
- (A) 5 : 12
- (B) 1 : 2
- (C) 2 : 3
- (D) 3 : 5
- (E) 5 : 7
Answer: E src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q08
Minimo partite giocate da Carlo
(Punti 9) Arturo, Bruno e Carlo giocano a carte. Due di loro iniziano a giocare una partita; il vin citore gioca poi una partita con il compagno che è rimasto a guardare, e così proseguono per un po’ di tempo: il gioco è tale che nessuna partita può terminare in parità. Quando smettono, risulta che Arturo ha giocato 17 partite e Bruno ne ha giocate 23. Qual è il minimo numero di partite che deve avere giocato Carlo?
- (A) 12
- (B) 14
- (C) 16
- (D) 18
- (E) 20 Quesiti a risposta aperta
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Minimum games played by Carlo
Arthur, Bruno, and Carlo play cards. Two of them start playing a game; the winner then plays a game with the partner who is watching, and so they continue for some time: the game is such that no game can end in a draw. When they stop, it turns out Arturo played 17 games and Bruno played 23. What’s the minimum number of games Carlo must have played?
- (A) 12
- (B) 14
- (C) 16
- (D) 18
- (E) 20 Questions Answered
Answer: B src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q09
Area regione tratteggiata con corde uguali al raggio
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw (0,0) circle (2);
\draw (-2,0) -- (2,0);
\coordinate (A) at (-2,0);
\coordinate (B) at (2,0);
\coordinate (D) at (1,1.732);
\coordinate (C) at (1,-1.732);
\begin{scope}
\clip (D) -- (B) -- (C) -- (1.95,-1.80) arc(-62.5:62.5:2) -- cycle;
\foreach \y in {-1.9,-1.7,...,1.9}
\draw[thin] (-0.5,\y) -- (2.5,\y);
\end{scope}
\draw (D) -- (B) -- (C);
\draw (D) arc(60:-60:2);
\node[left] at (A) {$A$};
\node[right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (D) {$D$};
\node[below right] at (C) {$C$};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 6) In figura vedi un cerchio di area 600. AB è un diametro e le corde DB e BC sono lunghe quanto il raggio. Quanto vale l’area della re gione tratteggiata?
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0100 Fonte: apri PDF p.2
Area region drawn with strings equal to the radius
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw (0,0) circle (2);
\draw (-2,0) -- (2,0);
\coordinate (A) at (-2,0);
\coordinate (B) at (2,0);
\coordinate (D) at (1,1.732);
\coordinate (C) at (1,-1.732);
\begin{scope}
\clip (D) -- (B) -- (C) -- (1.95,-1.80) arc(-62.5:62.5:2) -- cycle;
\foreach \y in {-1.9,-1.7,...,1.9}
\draw[thin] (-0.5,\y) -- (2.5,\y);
\end{scope}
\draw (D) -- (B) -- (C);
\draw (D) arc(60:-60:2);
\node[left] at (A) {$A$};
\node[right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (D) {$D$};
\node[below right] at (C) {$C$};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Points 6) In the figure you see a circle of area 600. AB is a diameter and the DB and BC strings are as long as the radius. What is the value of the area in question?
Answer: 0100 src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q10
Valore di b/a+a/b dati a+b e 1/a+1/b
(Punti 9) Due numeri a e b diversi da zero sono tali che a + b = 101 e (1/a) + (1/b) = 20. Quanto vale (b/a) + (a/b) ?
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 2018 Fonte: apri PDF p.2
Value of b/a+a/b data a+b and 1/a+1/b
(Points 9) Two numbers a and b other than zero are such that a + b = 101 and (1/a) + (1/b) = 20. How much is (b/a) + (a/b) worth?
Answer: 2018 src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q11
Resto della divisione per 15 di un prodotto
(Punti 9) Denota con N il prodotto di 97532 per 1468. Qual è il resto della divisione di N per 15?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0011 Fonte: apri PDF p.2
Remaining of the 15 partition of a product
(Points 9) Denotes with N the product of 97532 for 1468. What’s the rest of the division of N by 15?
Answer: 0011 src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q12
Raggio inscritto in triangolo rettangolo
(Punti 12) In un triangolo rettangolo la lunghezza dell’ipotenusa è inferiore di 4 alla somma delle lunghezze dei cateti. Quanto è lungo il raggio del cerchio inscritto?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0002 Fonte: apri PDF p.2
Ray inscribed in rectangular triangle
(Points 12) In a right triangle the length of the hypotenuse is less than 4 at the sum of the lengths of the catheters. How long is the radius of the inscribed circle?
Answer: 0002 src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q13
Velocita media necessaria per recuperare ritardo
(Punti 12) La città A dista 450 km dalla città B. Un treno che le collega deve impiegare, da orario, 2 ore e 15 minuti. Dopo aver viaggiato per la prima parte del tragitto alla media di 160 km/h, il treno ha 9 minuti di ritardo sulla tabella di marcia: per arrivare in orario, di quanti km/h deve essere la sua velocità media sulla rimanente parte del tragitto?
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 0220 Fonte: apri PDF p.2
Mean speed required to recover delay
City A is 450 km from city B. A train that connects you to the station, scheduled to take 2 hours and 15 minutes. After travelling for the first part of the journey at an average of 160 km/h, the train is 9 minutes late on the roadmap: to arrive on time, how many km/h must its average speed be on the remaining part of the journey?
Answer: 0220 src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q14
Massimo di x1^2+x2^2 per equazione a radici intere
(Punti 12) L’equazione x2 – mx + 10 = 0 ha due soluzioni intere distinte x1 ≠ x2. Qual è il massimo valore che può assumere l’espressione x1 2 + x2 2 ?
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0101 Fonte: apri PDF p.2
Maximum of x1^2+x2^2 for whole-root equation
(Points 12) The equation x2 mx + 10 = 0 has two distinct integer solutions x1 ≠ x2. What is the maximum value that the expression x1 2 + x2 2 can take?
Answer: 0101 src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q15
Minimo numeri divisibili per 2017 con somme divisibili
(Punti 15) Abbiamo 2017 numeri interi positivi tali che la somma di due di essi, comunque scelti, sia divisibile per 2017. Al minimo, quanti di essi devono essere divisibili per 2017?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2017 Fonte: apri PDF p.2
Minimum numbers divisible by sums for 2017
(Points 15) We have 2017 positive integers such that the sum of two of them, however chosen, is divisible by 2017. At the very least, how many of them should be divisible by 2017?
Answer: 2017 src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q16
Somma minima dato MCD 3 e mcm 1800
(Punti 15) Due numeri interi positivi hanno 3 come massimo comun divisore e 1800 come mini mo comune multiplo. Qual è il valore minimo che può avere la loro somma?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita, manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0147 Fonte: apri PDF p.2
Minimum sum given by MCD 3 and mcm 1800
(Points 15) Two positive integers have 3 as their maximum common divisor and 1800 as their minimum common multiple. What is the minimum value that their sum can have?
Answer: 0147 src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q17
Probabilita derangement di 5 cappelli
(Punti 18) La guardarobiera riconsegna a caso 5 cappelli ai 5 signori che li avevano depositati all’ingresso. Qual è la probabilità che nessuno riceva il proprio cappello? Scrivi prima il numeratore e poi il denominatore della frazione ridotta ai minimi termini che esprime la pro babilità: ad es. se fosse 7/12 scrivi 0712. A B P C M N A D C B
Quesito N. punteggio 2 3 3 4 4 4 5 5 9 6 9 9 12 12 12 15 15 18 risposta 0100 2018 0011 0002 0220 0101 2017 0147 1130
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1130 Fonte: apri PDF p.2
Probability of 5 cap disorders
(Points 18) The wardrobe returns 5 hats to the 5 gentlemen who had deposited them at the entrance. What are the odds that no one gets their hat? Write first the numerator and then the denominator of the fraction reduced to the minimum terms expressing the probability: e.g. If it’s 7/12, write 0712. A B P C M N A D C B
Question No. This appropriation is intended to cover the expenditure incurred in connection with the implementation of the budget of the European Union.
Answer: 1130 src_kangourou_2017_junior_semifinale__Q18