5^6 come somma di N addendi uguali a 5
Addendi Il numero 56 può essere ottenuto sia come prodotto di 6 fattori ognuno uguale a 5 sia come somma di N addendi ognuno uguale a 5. Quanto vale N?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3125 Fonte: apri PDF p.1
5^6 as the sum of N plus 5
Additives The number 56 can be obtained either as a product of 6 factors each equal to 5 or as the sum of N additives each equal to 5. How much is N?
Answer: 3125 src_kangourou_2017_squadre_a__Q01
Con quante monete Luisa e uscita di casa (tre spese)
Shopping Quando è uscita di casa, Luisa aveva in borsetta solo monete da un euro. È entrata in tre negozi e in ciascuno ha speso la metà di quanto aveva in borsetta al momento in cui è entrata più 50 centesimi. Ha sempre pagato l’esatto importo richiesto senza ricevere resto e, dopo i tre acquisti, le sono rimasti 23 euro. Con quante monete Luisa è uscita di casa?
Topic: Algebra, Logica, giochi, strategie Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 191 Fonte: apri PDF p.1
*How many coins Luisa and leaving home (three expenses) *
When she left the house, Luisa had only one-euro coins in her purse. She went into three stores and spent half of what she had in her purse when she went in plus 50 cents. She has always paid the exact amount requested without receiving a balance and, after the three purchases, she has 23 euros left. How many coins did Luisa leave home with?
Answer: 191 src_kangourou_2017_squadre_a__Q02
Cubetti blu a contatto con rossi nella scatola 5x6x7
Cubetti blu Una scatola senza coperchio ha base di dimensioni 5 e 6 e altezza 7. Nella scatola sono stati riposti 210 cubetti di lato 1. Quelli che toccano la scatola sono rossi, gli altri sono blu. Quanti sono i cubetti blu che condividono almeno una faccia con un cubetto rosso?
Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 62 Fonte: apri PDF p.1
Blue cubes in contact with red ones in the box 5x6x7
A box without a lid has a base of 5 and 6 and a height of 7. There were 210 cubes on side one in the box. Those who touch the box are red, the others are blue. How many blue cubes share at least one face with a red one?
Answer: 62 src_kangourou_2017_squadre_a__Q03
9 da numero di 90 cifre
Sommando le cifre Un intero positivo n ha 90 cifre tutte diverse da zero; ciascuna cifra da 1 a 9 è presente in n lo stesso numero di volte. A partire da n costruiamo altri due numeri: a ottenuto premettendo 1 alla sequenza di cifre che dà n e b ottenuto scrivendo 1 dopo la sequenza di cifre che dà n. La differenza b − a è divisibile per 9: qual è la somma delle cifre del quoziente (b − a) : 9?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 360 Fonte: apri PDF p.1
*9 with a 90-digit number *
Adding the numbers A positive integer n has 90 digits all of which are different from zero; each digit from 1 to 9 is present in n the same number of times. Starting with n we build two more numbers: a obtained by pressing 1 to the sequence of digits that gives n and b obtained by writing 1 after the sequence of digits that gives n. The difference b − a is divisible by 9: what is the sum of the digits of the quotient (b − a): 9?
Answer: 360 src_kangourou_2017_squadre_a__Q04
Perimetro triangolo rettangolo con un cateto 11 intero
Conosci solo un cateto In un triangolo rettangolo le misure dei lati, espresse in centimetri, sono tutte numeri interi. Uno dei cateti misura 11 cm. Quanti centimetri misura il perimetro?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 132 Fonte: apri PDF p.1
Rectangular triangle perimeter with an integer catheter 11
You only know one catheter In a right triangle the dimensions of the sides, expressed in centimeters, are all integers. One of the catheters measures 11 centimeters. How many centimeters does the perimeter measure?
Answer: 132 src_kangourou_2017_squadre_a__Q05
Somma valori RETI in AMO+AMO+AMO=RETI (max e min)
Le RETI Pietro sostituisce ogni lettera dell’espressione AMO + AMO + AMO = RETI
con una cifra, sostituendo lettere diverse con cifre diverse, in modo da ottenere un’uguaglianza corretta. Anche Andrea fa la stessa cosa, ma Pietro ottiene il più grande valore possibile per RETI e Andrea il più piccolo compatibile con il fatto che il numero abbia quattro cifre significative. Qual è la somma dei valori ottenuti per RETI da Andrea e Pietro?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3816 Fonte: apri PDF p.1
*Summary of RETI values in AMO+AMO+AMO=RETI (max and min) *
The RETI Peter replaces each letter of the expression AMO + AMO + AMO = RETI with a digit, replacing different letters with different digits, so as to obtain a correct equality. Andrew does the same thing, but Peter gets the greatest possible value for RETI and Andrew the smallest compatible with the fact that the number has four significant digits. What is the sum of the values obtained for RETI by Andrew and Peter?
Answer: 3816 src_kangourou_2017_squadre_a__Q06
Somma dei sei numeri tipo Fibonacci (primo 4, ultimo 47)
La somma In una sequenza di sei numeri, il primo è 4 e l’ultimo è 47. Ogni numero a partire dal terzo è la somma dei due precedenti. Qual è la somma di tutti i sei numeri?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 116 Fonte: apri PDF p.1
*sum of the six Fibonacci numbers (first 4, last 47) *
The sum In a sequence of six numbers, the first one is 4 and the last one is 47. Each number from the third is the sum of the previous two. What’s the sum of all six numbers?
Answer: 116 src_kangourou_2017_squadre_a__Q07
Percentuale di pensionati nella citta
La bici Tra i pensionati di una città il 35% ha una bici. I pensionati che non hanno una bici costituiscono il 13% della popolazione totale della città. Quale è la percentuale di pensionati in quella città?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 20 Fonte: apri PDF p.2
Percentage of pensioners in the city
The bicycle Among retired people in a city 35% have a bicycle. Retired people without bicycles make up 13% of the total population of the city. What’s the percentage of retirees in that city?
Answer: 20 src_kangourou_2017_squadre_a__Q08
Quanti numeri crescenti di tre cifre
Numeri crescenti Diciamo che un numero di tre cifre significative è “crescente” se le cifre sono tutte diverse e quella delle centinaia è minore di quella delle decine che è minore di quella delle unità. Quanti sono i numeri crescenti?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 84 Fonte: apri PDF p.2
Three-digit increasing numbers
Let’s say a number of three significant digits is growing if the digits are all different and that of the hundreds is less than that of the tens which is less than that of the units. How many numbers are growing?
Answer: 84 src_kangourou_2017_squadre_a__Q09
Coppie con somma pari tra 1 e 103
Quante coppie? Per quante coppie (non ordinate) di numeri interi, diversi tra loro, compresi fra 1 e 103, entrambi inclusi, accade che la somma dei due numeri che costituiscono la coppia sia un numero pari?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2601 Fonte: apri PDF p.2
Pairs with sums between 1 and 103
How many couples? For how many pairs (unordered) of integers, different from each other, between 1 and 103, both included, does it happen that the sum of the two numbers that make up the pair is an equal number?
Answer: 2601 src_kangourou_2017_squadre_a__Q10
Libri ricevuti da B e D tra quattro scuole
Libri Quattro scuole hanno ricevuto in dono in tutto 144 libri. In valore assoluto, la differenza tra il numero di libri ricevuti dalla scuola A e quelli ricevuti dalla scuola B è 4 il numero di libri ricevuti dalla scuola B e quelli ricevuti dalla scuola C è 3 il numero di libri ricevuti dalla scuola C e quelli ricevuti dalla scuola D è 2 La scuola A ha ricevuto il maggior numero di libri, ma meno di 40. Quanti libri hanno ricevuto rispettivamente la scuola B e la scuola D? (Scrivete più a sinistra il numero di libri ricevuti da B).
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3435 Fonte: apri PDF p.2
Books received from B and D between four schools
Books Four schools have received a total of 144 books as gifts. In absolute terms, the difference between the number of books received from school A and those received from school B is 4 the number of books received from school B and those received from school C is 3 the number of books received from school C and those received from school D is 2 How many books did school B and school D receive? (Read the number of books received by B further to the left).
Answer: 3435 src_kangourou_2017_squadre_a__Q11
Distanza A-F tra due quadrati con aree 23 e 777
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (E) at (0,0);
\coordinate (F) at (4,0);
\coordinate (G) at (4,4);
\coordinate (H) at (0,4);
\coordinate (A) at (1.5,1.5);
\coordinate (B) at (2.5,1.5);
\coordinate (C) at (2.5,2.5);
\coordinate (D) at (1.5,2.5);
\draw (E) -- (F) -- (G) -- (H) -- cycle;
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\draw (A) -- (C);
\draw (B) -- (D);
\draw (E) -- (A);
\draw (E) -- (B);
\draw (F) -- (B);
\draw (F) -- (C);
\draw (G) -- (C);
\draw (G) -- (D);
\draw (H) -- (D);
\draw (H) -- (A);
\node[above left] at (H) {$H$};
\node[above right] at (G) {$G$};
\node[below right] at (F) {$F$};
\node[below left] at (E) {$E$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[below left] at (A) {$A$};
\end{tikzpicture}
\end{document}I due quadrati Osservate la figura. L’area del quadrato ABCD è 23 cm2 , mentre l’area del quadrato EFGH è 777 cm2. Quanti centimetri dista il punto A dal punto F?
Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 20 Fonte: apri PDF p.2
A-F distance between two squares with areas 23 and 777
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (E) at (0,0);
\coordinate (F) at (4,0);
\coordinate (G) at (4,4);
\coordinate (H) at (0,4);
\coordinate (A) at (1.5,1.5);
\coordinate (B) at (2.5,1.5);
\coordinate (C) at (2.5,2.5);
\coordinate (D) at (1.5,2.5);
\draw (E) -- (F) -- (G) -- (H) -- cycle;
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\draw (A) -- (C);
\draw (B) -- (D);
\draw (E) -- (A);
\draw (E) -- (B);
\draw (F) -- (B);
\draw (F) -- (C);
\draw (G) -- (C);
\draw (G) -- (D);
\draw (H) -- (D);
\draw (H) -- (A);
\node[above left] at (H) {$H$};
\node[above right] at (G) {$G$};
\node[below right] at (F) {$F$};
\node[below left] at (E) {$E$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[below left] at (A) {$A$};
\end{tikzpicture}
\end{document}The two squares look at the figure. The area of the ABCD square is 23 cm2 while the area of the EFGH square is 777 cm2. How many centimeters from point A to point F?
Answer: 20 src_kangourou_2017_squadre_a__Q12
Quanti N primo fattore nel prodotto cifrato
Il prodotto Nel prodotto
_ _ _ 9 _ = _ 3 _ _ il primo fattore N è un numero di 3 cifre, mentre il secondo fattore è un numero di due cifre con 9 come numero delle decine. Il risultato è un numero di 4 cifre che ha 3 come cifra delle centinaia. Quanti numeri N possono essere il primo fattore?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5 Fonte: apri PDF p.2
Quantities of N first factor in the encrypted product
Product In the product _ _ _ 9 _ = _ 3 _ _ the first factor N is a 3-digit number, while the second factor is a 2-digit number with 9 as the number of decimal places. The result is a four-digit number that has three as the number of hundreds. How many numbers can N be the first factor?
Answer: 5 src_kangourou_2017_squadre_a__Q13
Possibili accoppiate primo-secondo nel menu
Il menu Il ristorante di un albergo, aperto solo di sera, offre una scelta di alcuni primi piatti e di alcuni secondi piatti, questi ultimi in quantità maggiore dei primi. Lo scorso aprile una coppia di turisti ha cenato in albergo ogni sera e ha sempre voluto ordinare una diversa accoppiata primo - secondo piatto. In questo modo tutte le possibili accoppiate sono state ordinate, qualcuna anche più di una volta ma, durante la prima settimana, nessuno dei due ha ordinato due volte lo stesso piatto. Quante sono le possibili accoppiate di primi e secondi che si possono ottenere con i piatti presenti nel menù?
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 56 Fonte: apri PDF p.2
Possible first-second pairs in the menu
The menu The restaurant of a hotel, open only in the evening, offers a choice of some first and some second dishes, the latter in greater quantity than the former. Last April, a couple of tourists ate dinner at the hotel every night and always wanted to order a different pair of first- and second-hand dishes. In this way all possible pairs were ordered, some even more than once but, during the first week, neither of them ordered the same dish twice. How many possible pairs of firsts and seconds can be obtained from the dishes in the menu?
Answer: 56 src_kangourou_2017_squadre_a__Q14
Coppia (x,y) con x^2+y^2-16y=2017
La coppia soluzione Determinate la coppia ordinata (x,y) di interi positivi con x < y che soddisfa l’equazione x2 + y2 16y 2017. Nella risposta indicate nell’ordine il valore di x e quello di y.
A B C D E F G HKangourou della Matematica 2017 Coppa Kangourou a squadre Semifinale turno A Cervia, 6 maggio 2017
Quesiti e svolgimenti
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2049 Fonte: apri PDF p.2
Couple (x,y) with x^2+y^2-16y=2017
The solution pair Determine the ordered pair (x,y) of positive integers with x < y that satisfies the equation x2 + y2 16y 2017. In the answer, the values of x and y are given in the order. A B C D E F G H
Kangourou of Mathematics 2017 Kangourou Cup to teams Semifinal round A Cervia, 6 May 2017
Questions and developments
Answer: 2049 src_kangourou_2017_squadre_a__Q15