Piu piccolo numero speciale (prodotto prime = somma ultime)
Speciale Chiamiamo numero speciale un numero intero (positivo) di quattro cifre (significative) tale che il prodotto delle prime due cifre sia uguale alla somma delle ultime due. Ad esempio 2351 è un numero speciale (2 × 3 = 5 + 1); un altro numero speciale è 5387. Qual è il più piccolo numero speciale?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1000 Fonte: apri PDF p.1
*Little special number (product first = final sum) *
Special We call a special number a positive integer of four digits (significant) such that the product of the first two digits is equal to the sum of the last two. For example, 2351 is a special number (2 × 3 = 5 + 1); another special number is 5387. What’s the smallest special number?
Answer: 1000 src_kangourou_2017_squadre_f__Q01
Quanti nipoti ha Nonna Anna (cugini di Mario ecc)
I nipoti di Nonna Anna Anna ha quattro figli ed è la nonna di Mario, Silvia, Nadia e Pietro, ciascuno dei quali è cugino di ognuno degli altri tre. Se Mario, Silvia, Nadia e Pietro hanno rispettivamente 9, 5, 8 e 8 cugini che sono anche nipoti di Anna, quanti nipoti (figli dei figli) ha Nonna Anna?
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 10 Fonte: apri PDF p.1
How many grandchildren does Grandma Anna have (cousins of Mario, etc.)
Grandma Anna’s grandchildren Anna have four children and she is the grandmother of Mario, Silvia, Nadia and Pietro, each of whom is a cousin of each of the other three. If Mario, Silvia, Nadia, and Peter have 9, 5, 8, and 8 cousins who are also grandchildren of Anna, how many grandchildren (children) does Grandma Anna have?
Answer: 10 src_kangourou_2017_squadre_f__Q02
Valore dcba = doppio di abb con cifre diverse
Il doppio Denotiamo con a, b, c, d quattro cifre diverse. Se il numero di quattro cifre dcba è il doppio del numero di tre cifre abb quanto vale dcba?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1798 Fonte: apri PDF p.1
Dcba = double of abb with different digits
Double denotes with a, b, c, d four different digits. If the four-digit dcba number is twice the three-digit abb number what is dcba?
Answer: 1798 src_kangourou_2017_squadre_f__Q03
Somma degli n positivi con n^2+12 divisibile per n+4
Divisione intera Qual è la somma dei numeri interi positivi n tali che n2 + 12 è divisibile per n + 4?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 37 Fonte: apri PDF p.1
Sum of n positive n with n^2+12 divisible by n+4
Whole division What is the sum of the positive integers n such that n2 + 12 is divisible by n + 4?
Answer: 37 src_kangourou_2017_squadre_f__Q04
Quanti tappi blu data probabilita 9/11
Tappi blu In una scatola, oltre a dei tappi blu, ce ne sono 20 rossi e 30 bianchi. Si sa che la probabilità di pescare alla cieca un tappo blu è 9/11. Quanti sono i tappi blu nella scatola?
Topic: Probabilita e statistica, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 225 Fonte: apri PDF p.1
How many blue dots given the probability of 9/11
Blue caps In a box, in addition to blue caps, there are 20 red and 30 white. You know the odds of blindly catching a blue cap are 9/11. How many blue caps are in the box?
Answer: 225 src_kangourou_2017_squadre_f__Q05
parallelogrammi su tastiera
Sblocca il cellulare! Paolo ha un vecchio cellulare a tastiera: a fianco vedi lo schema della tastiera.
Paolo ha dimenticato lo schema con cui deve premerne i tasti per sbloccarlo: ricorda solo che i tasti erano i vertici di un parallelogramma e che andavano battuti in senso orario o antiorario. Qual è il massimo numero di tentativi che Paolo dovrà fare per sbloccare il cellulare? (Osservate che, per ogni parallelogramma che può essere individuato sulla tastiera, il codice cambia a seconda del punto di partenza.)
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 176 Fonte: apri PDF p.1
parallelograms on the keyboard
Unlock your cell phone! Paul has an old cell phone with a keyboard: next to it you can see the layout of the keyboard. Paul had forgotten the pattern of pressing the keys to unlock it. Just remember that the keys were the vertices of a parallelogram and were struck clockwise or counterclockwise. What is the maximum number of attempts Paul will have to make to unlock his cell phone? (Note that for each parallelogram that can be detected on the keyboard, the code changes depending on the starting point.)
Answer: 176 src_kangourou_2017_squadre_f__Q06
Superficie minima incollando cubi 1, 8 e 27
Tre cubi Ho incollato tre cubi di volume 1 cm3, 8 cm3 e 27 cm3 lungo le loro facce, in modo che la superficie totale del solido risultante sia la più piccola possibile. Quanti centimetri quadrati misura tale superficie?
Topic: Geometria solida Metodo: Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 72 Fonte: apri PDF p.1
Minimum surface area by gluing cubes 1, 8 and 27
Three cubes I have glued three cubes of volume 1 cm3, 8 cm3 and 27 cm3 along their faces so that the total surface of the resulting solid is as small as possible. How many square inches does that area measure?
Answer: 72 src_kangourou_2017_squadre_f__Q07
Minimo euro nella giacca con vincoli sulle tasche
Nelle tasche La mia giacca ha quattro tasche: ciascuna contiene un numero diverso di monete da 1 euro. La tasca A ne contiene meno della B, la B meno della C e la C meno della D. Inoltre il contenuto della D è minore di quello della A e della B insieme e quello della B e della C insieme è minore di quello della A e della D insieme. Quanti euro ho come minimo nella giacca?
Topic: Logica, giochi, strategie, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 23 Fonte: apri PDF p.2
Minimum euro in the jacket with pocket restrictions
My jacket has four pockets, each containing a different number of one-euro coins. Pocket A contains less than B, B less than C and C less than D. In addition, the content of D is less than that of A and B together and that of B and C together is less than that of A and D together. How much do I have in my jacket at least?
Answer: 23 src_kangourou_2017_squadre_f__Q08
Quanti sottoinsiemi di 7 in progressione aritmetica
Progressioni aritmetiche Consideriamo l’insieme dei primi 100 numeri interi positivi. Da tale insieme formiamo tutti i sottoinsiemi costituiti da 7 numeri che, quando ordinati in ordine crescente, formino una progressione aritmetica (ad es. {1,2,3,4,5,6,7} oppure {5,8,11,14,17,20,23}). Quanti insiemi distinti di tale forma esistono?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 784 Fonte: apri PDF p.2
Quantity of subsets of 7 in arithmetic progression
Arithmetic progressions Consider the sum of the first 100 positive integers. From this set we form all subsets consisting of 7 numbers which, when ordered in increasing order, form an arithmetic progression (e.g. This is the first time I have heard of this. How many distinct sets of this form exist?
Answer: 784 src_kangourou_2017_squadre_f__Q09
Biglie nella scatola portata via (blu triplo rosse)
Biglie Ho 5 scatole, ognuna contenente biglie di un solo colore, rosso o blu. Nella prima scatola ci sono 112 biglie, nella seconda 105, nella terza 100, nella quarta 115 e nella quinta 128. Dopo che Martino ha portato via una scatola, nelle 4 scatole rimanenti il numero delle biglie blu è il triplo del numero di biglie rosse. Quante biglie c’erano nella scatola portata via da Martino?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 100 Fonte: apri PDF p.2
*Wheat in the removed box (trip blue red) *
I have five boxes, each containing a single color, red or blue. In the first box there are 112 seeds, in the second 105, in the third 100, in the fourth 115 and in the fifth 128. After Martino took away a box, the remaining 4 boxes have three times the number of blue beads as many red beads. How many balls were in the box that Martino took away?
Answer: 100 src_kangourou_2017_squadre_f__Q10
Cifra unita di 1^3+2^3+…+2017^3
Somma di cubi Qual è la cifra delle unità del numero 13 + 23 + 33 + … + 20163 + 20173 ?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9 Fonte: apri PDF p.2
United number of 1^3+2^3+…+2017^3
Sum of cubes What is the unit number 13 + 23 + 33 + … + 20163 + 20173 ?
Answer: 9 src_kangourou_2017_squadre_f__Q11
Quadrato somma aree trapezi S1 e S4 negli esagoni
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.4]
\coordinate (A0) at (0, 3);
\coordinate (A1) at (-2.598, 1.5);
\coordinate (A2) at (-2.598, -1.5);
\coordinate (A3) at (0, -3);
\coordinate (A4) at (2.598, -1.5);
\coordinate (A5) at (2.598, 1.5);
\coordinate (B0) at (0, 1);
\coordinate (B1) at (-0.866, 0.5);
\coordinate (B2) at (-0.866, -0.5);
\coordinate (B3) at (0, -1);
\coordinate (B4) at (0.866, -0.5);
\coordinate (B5) at (0.866, 0.5);
\draw (A0)--(A1)--(A2)--(A3)--(A4)--(A5)--cycle;
\draw (B0)--(B1)--(B2)--(B3)--(B4)--(B5)--cycle;
\draw (B0)--(A0);
\draw (B1)--(A1);
\draw (B2)--(A2);
\draw (B3)--(A3);
\draw (B4)--(A4);
\draw (B5)--(A5);
\node at (-1.8, 0) {$S_1$};
\node at (-1.1, 1.8) {$S_2$};
\node at (1.1, 1.8) {$S_3$};
\node at (1.8, 0) {$S_4$};
\node at (1.1, -1.8) {$S_5$};
\node at (-1.1, -1.8) {$S_6$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Gli esagoni La figura mostra due esagoni regolari contenuti uno nell’altro, che hanno i lati paralleli e i due bordi privi di punti in comune. Il più piccolo ha il lato di 1 cm, il più grande di 3 cm. Quanto vale il quadrato della somma delle aree dei trapezi S1 e S4 ?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 48 Fonte: apri PDF p.2
Squared sum of trapezoidal areas S1 and S4 in hexagons
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.4]
\coordinate (A0) at (0, 3);
\coordinate (A1) at (-2.598, 1.5);
\coordinate (A2) at (-2.598, -1.5);
\coordinate (A3) at (0, -3);
\coordinate (A4) at (2.598, -1.5);
\coordinate (A5) at (2.598, 1.5);
\coordinate (B0) at (0, 1);
\coordinate (B1) at (-0.866, 0.5);
\coordinate (B2) at (-0.866, -0.5);
\coordinate (B3) at (0, -1);
\coordinate (B4) at (0.866, -0.5);
\coordinate (B5) at (0.866, 0.5);
\draw (A0)--(A1)--(A2)--(A3)--(A4)--(A5)--cycle;
\draw (B0)--(B1)--(B2)--(B3)--(B4)--(B5)--cycle;
\draw (B0)--(A0);
\draw (B1)--(A1);
\draw (B2)--(A2);
\draw (B3)--(A3);
\draw (B4)--(A4);
\draw (B5)--(A5);
\node at (-1.8, 0) {$S_1$};
\node at (-1.1, 1.8) {$S_2$};
\node at (1.1, 1.8) {$S_3$};
\node at (1.8, 0) {$S_4$};
\node at (1.1, -1.8) {$S_5$};
\node at (-1.1, -1.8) {$S_6$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Hexagons The figure shows two regular hexagons contained in each other, which have parallel sides and the two edges without points in common. The smallest has a side of 1 cm, the largest 3 cm. What is the square of the sum of the areas of trapezoids S1 and S4 ?
Answer: 48 src_kangourou_2017_squadre_f__Q12
Resto della divisione per 9 del grande numero
Il resto Trovate il resto nella divisione per 9 di 122.333.444.455.555.666.666.777.777.788.888.888.999.999.999.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6 Fonte: apri PDF p.2
Remaining partition by 9 of the large number
The rest of you find the rest in the division 9 of 122,333,444,455,555,666,666,777,788,888,999,999.
Answer: 6 src_kangourou_2017_squadre_f__Q13
Rapporto aree T e P con stesso perimetro
Stesso perimetro Un triangolo equilatero è diviso in due parti, un triangolo T e un trapezio P, da una retta parallela ad uno dei suoi lati. Se il triangolo e il trapezio così ottenuti hanno lo stesso perimetro, qual è il rapporto tra l’area di T e quella di P? Per formulare la risposta pensate il rapporto come frazione ridotta ai minimi termini e il numeratore e il denominatore come numeri di 2 cifre, non importa se significative, e scriveteli di seguito; ad esempio per indicare la frazione 1/2 scrivete 0102.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 907 Fonte: apri PDF p.2
Rate of areas T and P with the same perimeter
The same perimeter An equilateral triangle is divided into two parts, a T triangle and a P trapezoid, by a straight line parallel to one of its sides. If the triangle and the trapezoid thus obtained have the same perimeter, what is the ratio between the area of T and that of P? To formulate the answer, think of the ratio as a fraction reduced to the minimum terms and the numerator and denominator as 2-digit numbers, no matter if they are significant, and write them below; for example, to indicate the fraction 1/2 write 0102.
Answer: 907 src_kangourou_2017_squadre_f__Q14
Minimo numero che per 123 termina con 2017
Per 123 Trovate il più piccolo numero intero positivo che moltiplicato per 123 dà un prodotto che termina con 2017.
S1 S2 S3 S4 S5 S6
Kangourou della Matematica 2017 Coppa Kangourou a squadre Finale
Cervia, 7 maggio 2017Quesiti e svolgimento
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 179 Fonte: apri PDF p.2
Minimum number ending in 2017 for 123
For 123 Find the smallest positive integer that multiplied by 123 gives a product that ends in 2017.
S1 S2 S3 S4 S5 S6
Kangourou of Mathematics 2017 Kangourou Cup to teams Final Cervia, 7 May 2017
Questions and developments
Answer: 179 src_kangourou_2017_squadre_f__Q15