Cifra finale invariante sottraendo numero invertito
Scrivi un numero intero positivo di due cifre distinte fra loro, scrivi il numero che ottieni invertendo le cifre (questo secondo numero può eventualmente essere di una sola cifra, se la cifra delle unità del primo è ) e sottrai il più piccolo dal più grande di questi due numeri. Ripeti la procedura sul risultato che ottieni fino a quando non ottieni come risultato un numero di una sola cifra. Questo numero di una sola cifra dipende dal numero che hai scelto inizialmente? Giustifica la tua risposta.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9 Fonte: apri PDF p.1
Invariant final figure subtracting the reversed number
Write a positive integer of two distinct digits, write the number you get by inverting the digits (this second number can possibly be of a single digit, if the unit number of the first is ) and subtract the smallest from the largest of these two numbers. Repeat the procedure on the result you get until you get a single-digit number as a result. Does this one-digit number depend on the number you chose initially? Justify your answer.
Answer: 9 src_kangourou_2017_student_finale__QS1
Sequenze consecutive con somma cifre divisibile per 7
Esistono sequenze di (almeno due) numeri interi positivi consecutivi tali che la somma delle cifre di ciascun numero della sequenza sia divisibile per ? In caso affermativo, quanti numeri vi possono essere al massimo in una di queste sequenze?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: al massimo due Fonte: apri PDF p.1
Sequences consecutive with a sum of digits divisible by 7
Are there sequences of (at least two) consecutive positive integers such that the sum of the digits of each sequence number is divisible by ? If yes, how many numbers can there be at most in one of these sequences?
Answer: al massimo due src_kangourou_2017_student_finale__QS2
Coppia diametrale e cerchio minimo di un insieme
Sia un insieme finito arbitrario di punti del piano (almeno ): è noto che esiste, ed è unico, il cerchio di raggio minimo che contiene (la dimostrazione di questo fatto esula dal contesto di questa gara, dunque non è richiesta). Una coppia di punti di si dice diametrale se, comunque scelti due punti di , la loro distanza non supera la distanza fra e . Stabilire se è vero (motivando la risposta) che:
- ogni coppia diametrale di deve necessariamente stare sulla circonferenza che delimita ;
- esistono sempre cerchi che contengono , ma non contengono .
Topic: Geometria piana, Insiemi e funzioni Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: No; Si Fonte: apri PDF p.1
Pair diameter and minimum circle of a set
Whether is an arbitrary finite set of plan points (at least ): it is known that there exists, and is unique, the circle of minimum radius containing (the demonstration of this fact is outside the context of this competition, so it is not required). A pair of points is said to be diameter if, however, two points are chosen, their distance does not exceed the distance between and . Establish whether it is true (by reasoning the answer) that: - each diameter pair of must necessarily be on the circumference that delimits ; - there are always circles containing , but not .
Answer: No; Si src_kangourou_2017_student_finale__QS3
Cubi inscrivibili in un dodecaedro regolare
Quanti diversi cubi sono inscrivibili in (cioè hanno i vertici in comune con i vertici di) un dodecaedro regolare?
Topic: Geometria solida Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 5 Fonte: apri PDF p.1
Cube inscribed in a regular dodecahedron
How many different cubes can be inscribed in (i.e. have the vertices in common with the vertices of) a regular dodecahedron?
Answer: 5 src_kangourou_2017_student_finale__QS4
Filo minimo per percorrere i lati di un reticolo 9x7
Un rettangolo è suddiviso in quadrati di lato , ottenendo un reticolo. Immagina di piantare uno spillo in ciascuno dei vertici dei quadrati (un solo spillo in ogni vertice comune a più quadrati) e di voler passare un filo tendendolo tra uno spillo e l’altro, in modo da percorrere almeno una volta tutti e soli i lati dei quadrati (dunque non le diagonali), senza rompere il filo. Qual è la minima lunghezza sufficiente per il filo? (Trascura il fatto che occorre girare attorno ad alcuni spilli, cioè assumi che lo spessore degli spilli sia ).
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 155 Fonte: apri PDF p.1
Minimum thread to run along the sides of a 9x7 lattice
A rectangle is divided into squares of sides , obtaining a lattice. Imagine planting a spindle in each of the vertices of the squares (one spindle in each common multiple-square vertex) and wanting to pass a thread by stretching it between one spindle and the other, so as to walk at least once all and only the sides of the squares (so not the diagonals), without breaking the thread. What is the minimum length of the wire? (It overlooks the fact that it is necessary to rotate around some spindles, i.e. assume that the spindles are thick).
Answer: 155 src_kangourou_2017_student_finale__QS5
Funzione che manda ogni intervallo su tutto [0,1]
Esiste una funzione dall’intervallo in sé tale che l’immagine tramite di ogni intervallo contenuto in sia tutto ? Se la tua risposta è negativa chiarisci il motivo, se è affermativa indica come può esserne ottenuto un esempio.
Topic: Insiemi e funzioni, successioni Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: Si Fonte: apri PDF p.1
Funktion that sends each interval over all [0,1]
Is there a function from the range itself such that the image through of each range in is all ? If your answer is no, explain why, if yes, indicate how an example can be obtained.
Answer: Si src_kangourou_2017_student_finale__QS6