Area intersezione di due quadrati con vertice al centro
(Punti 2) In figura vedi un quadrato grigio di lato 6 cm e uno di lato 5 cm che ha un vertice nel centro del quadrato grigio. Quanti centimetri quadrati misura l’area del quadrilatero più scuro che è intersezione dei due quadrati? A) 7
B) 8
C) 9
D) 10 E) 11
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
An intersection area of two squares with a vertex in the centre
(Points 2) In the figure you see a gray square on the side 6 cm and a side 5 cm that has a vertex in the center of the gray square. How many square centimetres does the area of the darkest quadrilateral measure that is the intersection of the two squares? A) 7
B) 8
C) 9
D) 10 E) 11
Answer: C src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q01
Quale valore N non e possibile per i cioccolatini
(Punti 3) Un certo numero N di cioccolatini è stato suddiviso tra 7 ragazzi in modo che cinque ne abbiano tutti lo stesso numero maggiore di 0 e, dei due restanti, uno ne abbia il doppio dell’altro. Allora N A) non può essere 19.
B) non può essere 20. C) non può essere 21.
D) non può essere 22. E) può essere uno qualunque dei numeri che compaiono nelle precedenti risposte.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Which N value is not possible for chocolates
(Points 3) A certain number of N chocolates was divided among seven boys so that five of them all had the same number greater than 0 and, of the remaining two, one had twice the other. So N A) can’t be 19.
(b) It cannot be 20. (c) it cannot be 21.
D) it cannot be 22. E) can be any of the numbers in the previous answers.
Answer: E src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q02
Quante cifre ha 4^5 x 5^13
(Punti 3) Quando il numero intero 45 × 513 è scritto in notazione decimale, quante cifre ha? A) 18 B) 17 C) 16 D) 13 E) 12
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
How many digits has 4^5 x 5^13
When the integer 45 × 513 is written in decimal notation, how many digits does it have? A) 18 B) 17 C) 16 D) 13 E) 12
Answer: D src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q03
Prima cifra del piu piccolo numero moderno
(Punti 4) Un numero intero positivo viene detto moderno se la somma delle sue cifre è 2018. Qual è la prima cifra del più piccolo numero moderno? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 9
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
*First digit of the smallest modern number *
(Points 4) A positive integer is said to be modern if the sum of its digits is 2018. What is the first digit of the smallest modern number? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 9
Answer: B src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q04
Importo minimo con i quattro tagliandi
(Punti 4) Un negozio consegna ad ogni cliente che entra 4 tagliandi: il cliente potrà utilizzarne alcuni o tutti, a sua scelta, in successione e nell’ordine che preferisce per acquistare un articolo. Sul primo tagliando è scritto: “Paga N euro, se il prezzo in euro è N×N”. Sul secondo è scritto: “Hai uno sconto di 2 euro”. Sul terzo è scritto: “Paga 1 euro in più del prezzo”. Sul quarto è scritto: “Paga la metà del prezzo se questo è un numero intero di euro”. Entri per acquistare un articolo che costa 15 euro. Qual è l’importo più basso pagando il quale lo puoi avere? A) 2 euro.
B) Meno di 2, ma più di 1 euro.
C) 1 euro. D) 0 euro (puoi averlo gratis).
E) Meno di 1 euro, ma non 0.
Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Minimum amount with four notes
(Points 4) A shop delivers four notes to each customer who enters: the customer can use some or all of them, at his choice, in succession and in the order he prefers to buy an item. On the first cut it reads: Pay N euro, if the price in euro is N×N. On the second it says: You have a discount of 2 euros. On the third it says: Pay 1 euro more than the price. On the fourth it reads: Pay half the price if this is an entire euro. You come in to buy an item that costs 15 euros. What’s the lowest amount you can get by paying? (a) two euros.
B) Less than 2 but more than 1 euro.
(c) 1 euro. D) 0 euro (you can have it for free).
E) Less than 1 euro but not 0.
Answer: D src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q05
Valore di N dai seggiolini della seggiovia
(Punti 4) I seggiolini di una seggiovia sono fissati alla fune in modo tale che la distanza tra due seggiolini consecutivi è sempre la stessa. Essi sono numerati 1, 2, 3, …, N e dopo il seggiolino numero N ricompare il numero 1: Stefania è seduta sul seggiolino numero 42. Quando Stefania è esattamente a metà del viaggio, incontra il seggiolino numero 120 (che va nel verso opposto). Quanto vale N? A) 78 B) 81 C) 102 D) 156 E) 162
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
N value from the seat-back seats
(Points 4) The seats of a wheelchair are fixed to the rope so that the distance between two consecutive seats is always the same. They are numbered 1, 2, 3, …, N and after the number N seat count the number 1: Stefania is sitting on the number 42 seat. When Stefania is exactly halfway through the trip, she meets the seat number 120 (which goes the opposite way). How much is N? A) 78 B) 81 C) 102 D) 156 E) 162
Answer: D src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q06
Distanza tra Aldo e Bruno al traguardo
(Punti 5) Aldo e Bruno gareggiano su un percorso di 1000 metri (partendo allo stesso istante e dallo stesso punto) e ciascuno corre a velocità costante. Quando ad Aldo mancano 100 metri all’ar rivo, a Bruno ne mancano 200. Quale tra i seguenti numeri è il più vicino alla distanza (in metri) che separa Aldo da Bruno quando Aldo taglia il traguardo? A) 111 B) 114 C) 115 D) 120 E) 122
Topic: Algebra Abilita: Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Distance between Aldo and Bruno at the finish
(Point 5) Aldo and Bruno compete on a 1000-meter route (starting at the same moment and from the same point) and each runs at a constant speed. When Aldo is 100 metres away from the river, Bruno is 200 metres away. Which of the following numbers is closest to the distance (in meters) that separates Aldo from Bruno when Aldo cuts the finish line? A) 111 B) 114 C) 115 D) 120 E) 122
Answer: A src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q07
Angolo ABC dato incentro con angoli noti
(Punti 5) In un triangolo ABC le tre bisettrici si incontrano in un punto I. Le misure in gradi degli angoli AIB, BIC e CIA sono rispettivamente 110, 130 e 120. Quanti gradi misura l’angolo ABC? A) 20 B) 30 C) 40 D) 60 E) 80
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
ABC angle given with known angles
In an ABC triangle the three bisettes meet at a point I. The degree measurements of the AIB, BIC and CIA angles are 110, 130 and 120 respectively. How many degrees does the angle ABC measure? A) 20 B) 30 C) 40 D) 60 E) 80
Answer: D src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q08
Numero somma di tre e di quattro consecutivi
(Punti 6) Quale dei seguenti numeri è sia somma di tre numeri interi consecutivi sia somma di quattro numeri interi consecutivi? A) 20182018 B) 20192019 C) 20202020 D) 20212021 E) 20222022
Quesiti a risposta aperta
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
*Summary of three and four consecutive *
(Points 6) Which of the following numbers is either the sum of three consecutive integers or the sum of four consecutive integers? A) 20182018 B) 20192019 C) 20202020 D) 20212021 E) 20222022
Open-ended questions
Answer: E src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q09
Massimo piastrelle quadrate nell’anticamera
(Punti 4) Ho piastrellato il pavimento della mia anticamera con piastrelle quadrate tutte uguali tra loro, senza tagliarne alcuna. Il risultato è quello che si vede in figura. Qual è il massimo numero di piastrelle che posso aver usato?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0024 Fonte: apri PDF p.2
Most square tiles in the anti-chamber
I tiled the floor of my antique with square tiles all equal to each other, without cutting any. The result is what you see in the figure. What’s the maximum number of tiles I can use?
Answer: 0024 src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q10
Ultime 4 cifre della somma massima con prodotto 10^10
(Punti 5) Il prodotto di 10 numeri interi positivi (non necessariamente diversi tra loro) è 1010. Detto M il valore massimo che può avere la somma di questi 10 numeri, quali sono le ultime 4 cifre di M ?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze classiche, Principio di estremalita Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0009 Fonte: apri PDF p.2
Last 4 digits of the maximum sum with product 10^10
(Points 5) The product of 10 positive integers (not necessarily different from each other) is 1010. If M is the maximum value that the sum of these 10 numbers can have, what are the last 4 digits of M?
Answer: 0009 src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q11
Quanti canguri attorno al tavolo rotondo
(Punti 5) Ventidue tra canguri e koala siedono intorno a un tavolo rotondo. I canguri dicono sem pre la verità, i koala mentono sempre. Dieci tra questi animali dicono: “chi è seduto alla mia destra è della mia stessa specie”; gli altri 12 dicono “chi è seduto alla mia destra è di una specie diversa dalla mia”. Quanti canguri ci sono intorno al tavolo?
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0010 Fonte: apri PDF p.2
How many kangaroos around the round table
Twenty-two kangaroos and koalas sit around a round table. Kangaroos seem to tell the truth, koalas always lie. Ten of these animals say, “He who is seated at my right hand is of my own species”. The other 12 say, “He who is seated at my right hand is of a different species”. How many kangaroos are around the table?
Answer: 0010 src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q12
Lunghezze del sesto listello per triangolo equilatero
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (8,0);
\coordinate (C) at (4,6.9282);
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw[thick] (1.8,3.1) -- (2.2,3.75);
\draw[thick] (4.8,4.85) -- (5.2,5.54);
\draw[thick] (2.9,-0.15) -- (3.1,0.15);
\node at (1.2,4.5) {4 \textit{cm}};
\node at (0.3,2.0) {4 \textit{cm}};
\node at (4.8,6.2) {2 \textit{cm}};
\node at (7.0,3.5) {6 \textit{cm}};
\node at (1.5,-0.4) {3 \textit{cm}};
\node at (5.5,-0.4) {5 \textit{cm}};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 6) Paola ha 5 listelli di lunghezze 2, 3, 4, 5 e 6 centimetri e può scegliere la lunghezza di un sesto listello in modo da formare, usandoli tutti e sei, un triangolo equilatero. Quante diverse lunghezze può avere il sesto listello? (La figura ti mostra come si può costruire il triangolo con un sesto listello di lunghezza 4 cm, e questa è una delle lunghezze possibili).
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0004 Fonte: apri PDF p.2
Lengths of the sixth row for an equilateral triangle
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (8,0);
\coordinate (C) at (4,6.9282);
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw[thick] (1.8,3.1) -- (2.2,3.75);
\draw[thick] (4.8,4.85) -- (5.2,5.54);
\draw[thick] (2.9,-0.15) -- (3.1,0.15);
\node at (1.2,4.5) {4 \textit{cm}};
\node at (0.3,2.0) {4 \textit{cm}};
\node at (4.8,6.2) {2 \textit{cm}};
\node at (7.0,3.5) {6 \textit{cm}};
\node at (1.5,-0.4) {3 \textit{cm}};
\node at (5.5,-0.4) {5 \textit{cm}};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Point 6) Paola has five stripes of 2, 3, 4, 5, and 6 centimeters in length and can choose the length of a sixth stripe so that using all six stripes she can form an equilateral triangle. How many different lengths can the sixth list have? (The figure shows you how you can build the triangle with a sixth row 4 cm long, and this is one of the possible lengths.)
Answer: 0004 src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q13
Minimo mele per cesti uguali dopo baratti
(Punti 6) Al mercato si possono barattare i frutti in base alla regola seguente: il valore di 4 mele è quello di 3 arance o di 2 banane. Naturalmente i frutti non possono essere spezzati. Anna ha solo mele e vuole fare a ciascuna delle 5 sue amiche lo stesso regalo: un cesto che contenga lo stesso nu mero di mele, arance e banane (almeno un frutto per tipo). Qual è il minimo numero di mele che, dopo opportuni scambi al mercato, le consente di realizzare il suo piano?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0023 Fonte: apri PDF p.2
Minimum apples for equal baskets after barley
(Points 6) Fruits may be exchanged on the market under the following rule: the value of 4 apples is equal to 3 oranges or 2 bananas. Of course, the fruit cannot be broken. Anna has only apples and wants to give each of her five friends the same gift: a basket containing the same number of apples, oranges and bananas (at least one fruit per type). What is the minimum number of apples that, after proper market trading, allows you to carry out your plan?
Answer: 0023 src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q14
Quanti parallelogrammi con vertici tra 8 punti
(Punti 6) Due circonferenze con lo stesso centro (ma raggio diverso) sono intersecate in 8 punti da due diametri distinti della circonferenza di raggio maggiore. Quanti parallelogrammi hanno per vertici 4 di questi 8 punti?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0004 Fonte: apri PDF p.2
*How many parallelograms with vertices between 8 points *
(Points 6) Two circles with the same centre (but different radius) shall be intersected at 8 points by two different diameters of the radius of the circle. How many parallelograms do 4 of these 8 points have for vertices?
Answer: 0004 src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q15
Somma dei prodotti delle cifre da 1 a 99
(Punti 7) Per ogni numero naturale fra 1 e 99 inclusi, viene calcolato il prodotto delle sue cifre (che coincide con il numero stesso se il numero è di una sola cifra). Vengono quindi sommati tutti i prodotti così ottenuti. Qual è il risultato?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2070 Fonte: apri PDF p.2
Summary of products of digits 1 to 99
(Points 7) For each natural number between 1 and 99 included, the product of its digits is calculated (which coincides with the number itself if the number is one digit). All products thus obtained are therefore added. What is the result?
Answer: 2070 src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q16
Quanti numeri come somma A (4 cifre) e B (2 cifre)
(Punti 7) La somma delle cifre di un numero A di quattro cifre è 2. La somma delle cifre di un numero B di due cifre è pure 2. Quanti sono i numeri che possono essere visti come somma di un numero A e di un numero B con queste proprietà?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0007 Fonte: apri PDF p.2
*Numbers such as sum A (4 digits) and B (2 digits) *
(Points 7) The sum of the digits of a four-digit number A is 2. The sum of the digits of a two-digit number B is also 2. How many numbers can be seen as the sum of a number A and a number B with these properties?
Answer: 0007 src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q17
Somma a+b nell’uguaglianza con cifre incognite
(Punti 8) Se è vera l’uguaglianza 29a031 × 342 = 100900b02 ove a, b rappresentano due cifre (diverse), quanto vale la somma a + b? 2 cm 4 cm 4 cm 6 cm 3 cm 5 cm
0024 0009 0010 0004 0023 0004 2070 0007 0011
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0011 Fonte: apri PDF p.2
Sum of a+b in unknown-digit equality
(Points 8) If the equality 29a031 × 342 = 100900b02 is true where a, b are two (different) digits, what is the sum of a + b? 2 cm 4 cm 4 cm 6 cm 3 cm 5 cm
0024 0009 0010 0004 0023 0004 2070 0007 0011
Answer: 0011 src_kangourou_2018_benjamin_semifinale__Q18