Giri di B perche le tre tacche tornino allineate
Un ingranaggio è composto da tre ruote dentate , e . ha 16 denti, ne ha 20 e ne ha 30. Come suggerisce la figura, è a contatto sia con sia con (cioè i denti di agganciano sia quelli di sia quelli di ), ma non è a contatto con . Ogni ruota ha una tacca. In questo istante l’ingranaggio si mette in moto: quanti giri dovrà fare la ruota prima che tutte e tre le tacche ritornino contemporaneamente, per la prima volta, nella posizione attuale? (vedi figura)
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 12 Fonte: apri PDF p.1
B rounds so that the three tiles are back in line
A gear shall consist of three geared , and wheels. has 16 teeth, has 20 and has 30. As the figure suggests, is in contact with both and (i.e. the teeth attach both and ), but is not in contact with . Every wheel has a heel. At this moment the gear is set in motion: how many turns does the wheel have to make before all three gears return to their current position simultaneously for the first time? (see figure)
Answer: 12 src_kangourou_2018_cadet_finale__QC1
Massimo cassette che Eugenio tiene con 7 furgoni
Eugenio fa il magazziniere. Sa che domani alcuni coltivatori gli porteranno ciascuno lo stesso numero di cassette di mele e che lui dovrà ripartire le cassette su 7 furgoni, in modo che tutti i furgoni viaggino con lo stesso numero di cassette. Il numero dei coltivatori coincide con il numero di cassette che ciascun coltivatore gli porterà. Eugenio sa che se, dopo che avrà distribuito il maggior numero possibile di cassette sui 7 furgoni, avanzerà qualche cassetta, potrà tenerla per sé. Quante cassette potrebbe capitargli di tenere per sé, al massimo?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4 Fonte: apri PDF p.1
Maximum cassette that Eugenio holds with 7 vans
Eugenio is the warehouse manager. He knows that tomorrow some growers will each bring him the same number of apple cider cassettes and that he will have to divide the cassettes into seven vans so that all the vans travel with the same number of cassettes. The number of farmers will match the number of boxes each farmer will bring. Eugenio knows that if, after he has distributed as many tapes as possible on the seven vans, he will move some tapes forward, he can keep them for himself. How many tapes could he possibly keep for himself, at most?
Answer: 4 src_kangourou_2018_cadet_finale__QC2
Auto nei sei gruppi meno numerosi per somma cifre
A Kanglandia circolano esattamente un milione di auto. Le loro targhe, tutte diverse fra loro, hanno sei cifre: i numeri sono dunque compresi fra e . Per ogni auto si sommano le cifre della targa e si ripartiscono le auto in gruppi, in modo che tutte le auto di uno stesso gruppo forniscano la stessa somma e gruppi diversi siano relativi a somme diverse. Quante auto hanno complessivamente i sei gruppi meno numerosi?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 56 Fonte: apri PDF p.1
Auto in the six smallest groups by sum of digits
There’s exactly a million cars in Kanglandia. Their plates, all different from each other, have six digits: the numbers are therefore between and . For each car the plate numbers are added and the cars are divided into groups so that all the cars in the same group provide the same sum and different groups are related to different sums. How many cars do the six smallest groups have in total?
Answer: 56 src_kangourou_2018_cadet_finale__QC3
Spartizione equa degli 8 euro col problema dei punti
Antonia e Luca si giocano a testa o croce la cifra di 8 euro, lanciando una moneta non truccata. Decidono che la cifra sarà intascata dal primo di loro che avrà avuto 6 lanci a proprio favore. Quando sono sul punteggio di 5 per Antonia e 3 per Luca, sono però costretti ad interrompere il gioco e discutono su come spartirsi gli 8 euro (che nessuno finora ha vinto). Qual è il modo equo di spartirli (cioè il modo che tiene conto della probabilità di vittoria che ognuno dei due ha al momento dell’interruzione)?
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Analisi per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7 e 1 Fonte: apri PDF p.1
Equal distribution of the €8 with the points problem
Antonia and Luca play each other’s heads or tails the eight-euro coin, throwing an unmade coin. They decide that the number will be stolen by the first of them who has six throws in their favor. When they are on the score of 5 for Antonia and 3 for Luca, however, they are forced to stop the game and discuss how to split the 8 euros (which no one has won so far). What is the fair way to divide them (i.e. the way that takes into account the probability of victory that each of the two has at the time of the interruption)?
Answer: 7 e 1 src_kangourou_2018_cadet_finale__QC4
Quante carte buttate data la probabilita dei 4 assi
Da un mazzo standard di 52 carte, Chiara ha scartato alcune carte, assicurandosi che nel mazzo residuo restassero tutti e quattro gli assi. Ora estrae quattro carte a caso da questo mazzo ridotto. Se la probabilità di estrarre esattamente i quattro assi è , quante carte ha buttato via?
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 38 Fonte: apri PDF p.1
How many cards are thrown given the probability of the 4 axes
From a standard 52-card deck, Chiara discarded some cards, making sure all four axes remained in the remaining deck. Now extract four cards randomly from this narrow deck. If the probability of extracting exactly the four axes is , how many cards did you throw away?
Answer: 38 src_kangourou_2018_cadet_finale__QC5
Area B in funzione di A nel pentagono regolare
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\coordinate (P1) at (90:1);
\coordinate (P2) at (162:1);
\coordinate (P3) at (234:1);
\coordinate (P4) at (306:1);
\coordinate (P5) at (18:1);
\coordinate (I1) at (54:0.382);
\coordinate (I2) at (126:0.382);
\coordinate (I3) at (198:0.382);
\coordinate (I4) at (270:0.382);
\coordinate (I5) at (342:0.382);
\fill[gray!30] (P1)--(I1)--(I2)--cycle;
\fill[gray!30] (P3)--(I3)--(I4)--(I5)--(P4)--cycle;
\draw[thick] (P1)--(P2)--(P3)--(P4)--(P5)--cycle;
\draw (P1)--(P3);
\draw (P1)--(P4);
\draw (P2)--(P4);
\draw (P2)--(P5);
\draw (P3)--(P5);
\node at (0, 0.55) {$B$};
\node at (0, -0.22) {$A$};
\end{tikzpicture}
\end{document}In figura vedi un pentagono regolare di cui sono state tracciate quattro diagonali che individuano due regioni ombreggiate e . Esprimi l’area di in dipendenza dall’area di . (vedi figura)
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: doppio di A Fonte: apri PDF p.1
Area B as a function of A in the regular pentagon
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\coordinate (P1) at (90:1);
\coordinate (P2) at (162:1);
\coordinate (P3) at (234:1);
\coordinate (P4) at (306:1);
\coordinate (P5) at (18:1);
\coordinate (I1) at (54:0.382);
\coordinate (I2) at (126:0.382);
\coordinate (I3) at (198:0.382);
\coordinate (I4) at (270:0.382);
\coordinate (I5) at (342:0.382);
\fill[gray!30] (P1)--(I1)--(I2)--cycle;
\fill[gray!30] (P3)--(I3)--(I4)--(I5)--(P4)--cycle;
\draw[thick] (P1)--(P2)--(P3)--(P4)--(P5)--cycle;
\draw (P1)--(P3);
\draw (P1)--(P4);
\draw (P2)--(P4);
\draw (P2)--(P5);
\draw (P3)--(P5);
\node at (0, 0.55) {$B$};
\node at (0, -0.22) {$A$};
\end{tikzpicture}
\end{document}In the figure you can see a regular pentagon of which four diagonal lines have been drawn which identify two shaded regions and . Express the area of depending on the area of . (see figure)
Answer: doppio di A src_kangourou_2018_cadet_finale__QC6