Quale valore N non e possibile per i cioccolatini
(Punti 2) Un certo numero N di cioccolatini è stato suddiviso tra 7 ragazzi in modo che cinque ne abbiano tutti lo stesso numero maggiore di 0 e, dei due restanti, uno ne abbia il doppio dell’altro. Allora N A) non può essere 19.
B) non può essere 20.
C) non può essere 21. D) non può essere 22.
E) può essere uno qualunque dei precedenti numeri.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Which N value is not possible for chocolates
(Points 2) A certain N number of chocolates was divided among seven boys so that five of them all had the same number greater than 0, and, of the remaining two, one had twice the other. So N A) can’t be 19.
(b) It cannot be 20.
(c) it cannot be 21. D) it cannot be 22.
E) can be any of the previous numbers.
Answer: E src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q01
Prima cifra del piu piccolo numero moderno
(Punti 3) Un numero intero positivo viene detto moderno se la somma delle sue cifre è 2018. Qual è la prima cifra del più piccolo numero moderno? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 9
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
*First digit of the smallest modern number *
(Points 3) A positive integer is said to be modern if the sum of its digits is 2018. What is the first digit of the smallest modern number? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 9
Answer: B src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q02
Importo minimo con i quattro tagliandi
(Punti 3) Un negozio consegna ad ogni cliente che entra 4 tagliandi: il cliente potrà utilizzarne alcuni o tutti, a sua scelta, in successione e nell’ordine che preferisce per acquistare un articolo. Sul primo tagliando è scritto: “Paga la radice quadrata del prezzo, se il prezzo in euro è un quadrato perfetto”. Sul secondo è scritto: “Hai uno sconto di 2 euro”. Sul terzo è scritto: “Paga 1 euro in più del prezzo”. Sul quarto è scritto: “Paga la metà del prezzo se questo è un numero intero di euro”. Entri per acquistare un articolo che costa 15 euro. Entri per acquistare un articolo che costa 15 euro. Qual è l’importo più basso pagando il quale lo puoi avere? A) 2 euro.
B) Meno di 2, ma più di 1 euro.
C) 1 euro.
D) 0 euro (puoi averlo gratis). E) Meno di 1 euro, ma non 0.
Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Minimum amount with four notes
(Points 3) A shop delivers four notes to each customer who enters: the customer can use some or all of them, at his choice, in succession and in the order he prefers to buy an item. On the first cut it says: Pay the square root of the price if the price in euro is a perfect square. On the second it says: You have a discount of 2 euros. On the third it says: Pay 1 euro more than the price. On the fourth it reads: Pay half the price if this is an entire euro. You come in to buy an item that costs 15 euros. You come in to buy an item that costs 15 euros. What’s the lowest amount you can get by paying? (a) two euros.
B) Less than 2 but more than 1 euro.
(c) 1 euro.
D) 0 euro (you can have it for free). E) Less than 1 euro but not 0.
Answer: D src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q03
Frazione rimasta bianca nella figura di triangoli
(Punti 4) Il segmento che compare in figura è suddiviso in 6 segmenti di ugua le lunghezza. Tutti i triangoli che compaiono in figura sono equilateri. Quale frazione dell’intera figura (parte bianca interna compresa) è rimasta bianca? A) 1/3 B) 2/9 C) 5/21 D) 6/25 E) 7/27
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
White fraction in the triangle figure
The segment shown in the figure is divided into 6 segments of equal length. All the triangles that appear in the figure are equilateral. What fraction of the whole figure (including the white part inside) remained white? A) 1/3 B) 2/9 C) 5/21 D) 6/25 E) 7/27
Answer: E src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q04
Distanza tra Aldo e Bruno al traguardo
(Punti 4) Aldo e Bruno gareggiano su un percorso di 1000 metri (partendo allo stesso istante e dallo stesso punto) e ciascuno corre a velocità costante. Quando ad Aldo mancano 100 metri all’ar rivo, a Bruno ne mancano 200. Quale tra i seguenti numeri è il più vicino alla distanza (in metri) che separa Aldo da Bruno quando Aldo taglia il traguardo? A) 111 B) 114 C) 115
D) 120 E) 122
Topic: Algebra Abilita: Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Distance between Aldo and Bruno at the finish
Aldo and Bruno compete on a 1000-meter course (starting at the same moment and point) and each runs at a constant speed. When Aldo is 100 metres away from the river, Bruno is 200 metres away. Which of the following numbers is closest to the distance (in metres) that separates Aldo from Bruno when Aldo cuts the finish line? A) 111 B) 114 C) 115
D) 120 E) 122
Answer: A src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q05
Area regione comune a rettangolo e cerchio
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\begin{scope}
\clip (0,0) circle (6);
\fill[gray!40] (-3,-6) rectangle (3,6);
\end{scope}
\draw (0,0) circle (6);
\draw (-3,-6) rectangle (3,6);
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 4) In figura vedi un rettangolo 6 × 12 e un cerchio. Il centro è lo stesso per entrambe le figure e i lati corti del rettangolo sono tan genti al cerchio. Qual è l’area della regione comune ad entrambi, che in figura è ombreggiata? A) 24π - 3√3 B) 24π + 18√3
C) 12π + 18√3
D) 18π - 8√3 E) 18π + 12√3
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Area common region in rectangle and circle
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\begin{scope}
\clip (0,0) circle (6);
\fill[gray!40] (-3,-6) rectangle (3,6);
\end{scope}
\draw (0,0) circle (6);
\draw (-3,-6) rectangle (3,6);
\end{tikzpicture}
\end{document}(Points 4) In the figure you see a rectangle 6 × 12 and a circle. The centre is the same for both figures and the short sides of the rectangle are equal to the circle. What is the area of the region shared by both, which is shaded in the figure? A) 24π - 3√3 B) 24π + 18√3
C) 12π + 18√3 D) 18π - 8√3 E) 18π + 12√3
Answer: C src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q06
Numero somma di tre e di quattro consecutivi
(Punti 5) Quale dei seguenti numeri è sia somma di tre numeri interi consecutivi sia somma di quattro numeri interi consecutivi? A) 20182018 B) 20192019 C) 20202020 D) 20212021 E) 20222022
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
*Summary of three and four consecutive *
(Points 5) Which of the following numbers is either the sum of three consecutive integers or the sum of four consecutive integers? A) 20182018 B) 20192019 C) 20202020 D) 20212021 E) 20222022
Answer: E src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q07
Quale numero e multiplo di 11
(Punti 5) Quale dei numeri seguenti è un multiplo di 11? A) 102018 + 11 B) 102018 + 111 C) 102018 + 1111 D) 102018 + 2111 E) 102018 + 3111
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
What is the number and multiple of 11
(Points 5) Which of the following numbers is a multiple of 11? A) 102018 + 11 B) 102018 + 111 C) 102018 + 1111 D) 102018 + 2111 E) 102018 + 3111
Answer: D src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q08
Immagine laterale del monumento di cilindri
(Punti 6) Un monumento è ottenuto sovrapponendo 4 cilindri circolari retti della stessa altezza. Il volume di ogni cilindro (tranne quello di base) è la metà del volume del cilindro su cui si appoggia. Quale tra le seguenti può essere un’immagine laterale del monumento? A)
B)
C)
D)
E) Quesiti a risposta aperta
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Side image of the cylinder monument
(Points 6) A monument is obtained by overlapping 4 straight circular cylinders of the same height. The volume of each cylinder (except the base) is half the volume of the cylinder on which it rests. Which of the following can be a lateral image of the monument? A)
B)
C)
D)
(e) Open-ended questions
Answer: B src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q09
Ultime 4 cifre della somma massima con prodotto 10^10
(Punti 4) Il prodotto di 10 numeri interi positivi (non necessariamente diversi tra loro) è 1010. Detto M il valore massimo che può avere la somma di questi 10 numeri, quali sono le ultime 4 cifre di M ?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0009 Fonte: apri PDF p.2
Last 4 digits of the maximum sum with product 10^10
(Points 4) The product of 10 positive integers (not necessarily different from each other) is 1010. If M is the maximum value that the sum of these 10 numbers can have, what are the last 4 digits of M?
Answer: 0009 src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q10
Lunghezze del sesto listello per triangolo equilatero
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (8,0);
\coordinate (C) at (4,6.928);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (3,-0.12) -- (3,0.12);
\node[below] at (1.5,-0.05) {$3\,cm$};
\node[below] at (5.5,-0.05) {$5\,cm$};
\draw (2.130, 3.389) -- (1.870, 3.539);
\node[left] at (1.5, 5.2) {$4\,cm$};
\node[left] at (1.0, 1.73) {$4\,cm$};
\draw (5.130, 5.271) -- (4.870, 5.121);
\node[right] at (6.5, 5.5) {$2\,cm$};
\node[right] at (7.0, 2.0) {$6\,cm$};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 5) Cinzia ha 5 listelli di lunghezze 2, 3, 4, 5 e 6 centimetri e può scegliere la lunghezza di un sesto listello in modo da formare, usandoli tutti e sei, un triangolo equilatero. Quante diverse lunghezze può avere il sesto listello? (La figura ti mostra come si può costruire il triangolo con un sesto listello di lunghezza 4 cm, e questa è una delle lunghezze possibili).
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0004 Fonte: apri PDF p.2
Lengths of the sixth row for an equilateral triangle
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (8,0);
\coordinate (C) at (4,6.928);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (3,-0.12) -- (3,0.12);
\node[below] at (1.5,-0.05) {$3\,cm$};
\node[below] at (5.5,-0.05) {$5\,cm$};
\draw (2.130, 3.389) -- (1.870, 3.539);
\node[left] at (1.5, 5.2) {$4\,cm$};
\node[left] at (1.0, 1.73) {$4\,cm$};
\draw (5.130, 5.271) -- (4.870, 5.121);
\node[right] at (6.5, 5.5) {$2\,cm$};
\node[right] at (7.0, 2.0) {$6\,cm$};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Points 5) Cinzia has 5 stripes 2, 3, 4, 5 and 6 centimeters long and can choose the length of a sixth stripe so as to form, using all six, an equilateral triangle. How many different lengths can the sixth list have? (The figure shows you how you can build the triangle with a sixth row 4 cm long, and this is one of the possible lengths.)
Answer: 0004 src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q11
Minimo mele per cesti uguali dopo baratti
(Punti 5) Al mercato si possono barattare i frutti in base alla regola seguente: il valore di 4 mele è quello di 3 arance o di 2 banane. Naturalmente i frutti non possono essere spezzati. Anna ha solo mele e vuole fare a ciascuna delle 5 sue amiche lo stesso regalo: un cesto che contenga lo stesso nu mero di mele, arance e banane (almeno un frutto per tipo). Qual è il minimo numero di mele che, dopo opportuni scambi al mercato, le consente di realizzare il suo piano?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0023 Fonte: apri PDF p.2
Minimum apples for equal baskets after barley
The following rule applies: 4 apples are worth 3 oranges or 2 bananas. Of course, the fruit cannot be broken. Anna has only apples and wants to give each of her five friends the same gift: a basket containing the same number of apples, oranges and bananas (at least one fruit per type). What is the minimum number of apples that, after proper market trading, allows you to carry out your plan?
Answer: 0023 src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q12
Somma dei prodotti delle cifre da 1 a 99
(Punti 6) Per ogni numero naturale fra 1 e 99 inclusi, viene calcolato il prodotto delle sue cifre (che coincide con il numero stesso se il numero è di una sola cifra). Vengono quindi sommati tutti i prodotti così ottenuti. Qual è il risultato?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2070 Fonte: apri PDF p.2
Summary of products of digits 1 to 99
(Points 6) For every natural number between 1 and 99 included, the product of its digits (which coincides with the number itself if the number is a single digit) is calculated. All products thus obtained are therefore added. What is the result?
Answer: 2070 src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q13
Valore di N dai seggiolini della seggiovia
(Punti 6) I seggiolini di una seggiovia sono fissati alla fune in modo tale che la distanza tra due seggiolini consecutivi è sempre la stessa. Essi sono numerati 1, 2, 3, …, N e dopo il seggiolino numero N ricompare il numero 1: Stefania è seduta sul seggiolino numero 42. Quando Stefania è esattamente a metà del viaggio, incontra il seggiolino numero 120 (che va nel verso opposto). Quanto vale N ?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0156 Fonte: apri PDF p.2
N value from the seat-back seats
(Points 6) The seats on a wheelchair are fixed to the rope so that the distance between two consecutive seats is always the same. They are numbered 1, 2, 3, …, N and after the number N seat count the number 1: Stefania is sitting on the number 42 seat. When Stefania is exactly halfway through the trip, she meets the seat number 120 (which goes the opposite way). How much is N ?
Answer: 0156 src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q14
Quanti numeri come somma A (4 cifre) e B (2 cifre)
(Punti 6) La somma delle cifre di un numero A di quattro cifre è 2. La somma delle cifre di un numero B di due cifre è pure 2. Quanti sono i numeri che possono essere visti come somma di un numero A e di un numero B con queste proprietà?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0007 Fonte: apri PDF p.2
*Numbers such as sum A (4 digits) and B (2 digits) *
(Points 6) The sum of the digits of a four-digit number A is 2. The sum of the digits of a two-digit number B is also 2. How many numbers can be seen as the sum of a number A and a number B with these properties?
Answer: 0007 src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q15
Angolo esterno tra tangenti a due circonferenze
(Punti 7) Due circonferenze complanari con lo stesso raggio passano ognuna per il centro dell’al tra: chiama P uno dei due punti in cui si intersecano. Quanti gradi misura l’angolo esterno a entram bi i cerchi formato dalle due rette tangenti in P alle due circonferenze?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0120 Fonte: apri PDF p.2
External angle between tangents with two circumferences
(Points 7) Two planar circles of the same radius pass each through the centre of the other: call P one of the two intersecting points. How many degrees does the outer angle between the circles formed by the two tangent lines in P on the two circumferences measure?
Answer: 0120 src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q16
Somma a+b nell’uguaglianza con cifre incognite
(Punti 7) Se è vera l’uguaglianza 29a031 × 342 = 100900b02 ove a, b rappresentano due cifre (diverse), quanto vale la somma a + b?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0011 Fonte: apri PDF p.2
Sum of a+b in unknown-digit equality
(Points 7) If the equality 29a031 × 342 = 100900b02 is true where a, b are two (different) digits, what is the sum of a + b?
Answer: 0011 src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q17
Massima differenza punteggio tra due concorrenti
(Punti 8) Nella gara che stai svolgendo, per i quesiti a risposta multipla ci sono in palio 36 punti e corrispondenti penalizzazioni per le risposte errate (guarda la quarta pagina). Supponi che due concorrenti, A e B, rispondano a tutte le 9 domande, che A non risponda a tutte correttamente e B non risponda a tutte in modo errato. Quanti punti può valere al massimo la differenza tra il punteg gio conseguito da A e quello conseguito da B nei quesiti a risposta multipla? 2 cm 4 cm 4 cm 6 cm 3 cm 5 cm
0009 0004 0023 2070 0156 0007 0120 0011 0040
Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0040 Fonte: apri PDF p.2
Most difference in score between two competitors
(Points 8) In the competition you are running, there are 36 points for multiple-choice questions and corresponding penalties for incorrect answers (see page 4). Assume that two competitors, A and B, answer all nine questions, that A does not answer all of them correctly and B does not answer all of them wrongly. How many points can the difference between A’s score and B’s score in multiple-choice questions be worth at most? 2 cm 4 cm 4 cm 6 cm 3 cm 5 cm
0009 0004 0023 2070 0156 0007 0120 0011 0040
Answer: 0040 src_kangourou_2018_cadet_semifinale__Q18