Kangourou 2018 Finale Nazionale Junior

Numeri 7 cifre divisibili per 4 con somma cifre 4

Antonia e Luca si giocano a testa o croce la cifra di 8 euro, lanciando una moneta non truccata. Decidono che la cifra sarà intascata dal primo di loro che avrà avuto 6 lanci a proprio favore. Quando sono sul punteggio di 5 per Antonia e 3 per Luca, sono però costretti ad interrompere il gioco e discutono su come spartirsi gli 8 euro (che nessuno finora ha vinto). Qual è il modo equo di spartirli (cioè il modo che tiene conto della probabilità di vittoria che ognuno dei due ha al momento dell’interruzione)?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0041 Fonte: apri PDF p.1

*Numbers 7 digits divisible by 4 with sum of 4 digits *

Antonia and Luca play each other’s heads or tails the eight-euro coin, throwing an unmade coin. They decide that the number will be stolen by the first of them who has six throws in their favor. When they are on the score of 5 for Antonia and 3 for Luca, however, they are forced to stop the game and discuss how to split the 8 euros (which no one has won so far). What is the fair way to divide them (i.e. the way that takes into account the probability of victory that each of the two has at the time of the interruption)?

Answer: 0041 src_kangourou_2018_junior_finale__Q01

Massimo prodotto ab con a^2+b^2+1007ab=2018

I lati di un quadrilatero misurano 1, 4, 7, 8. Quanto può essere la sua area, al massimo?

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0002 Fonte: apri PDF p.1

Maximum product ab with a^2+b^2+1007ab=2018

The sides of a quadrilateral measure 1, 4, 7, 8. What’s your maximum area?

Answer: 0002 src_kangourou_2018_junior_finale__Q02

Massimo n con tripartizione a somma uguale

Da un mazzo standard di 52 carte, Chiara ha scartato alcune carte, assicurandosi che nel mazzo residuo restassero tutti e quattro gli assi. Ora estrae quattro carte a caso da questo mazzo ridotto. Se la probabilità di estrarre esattamente i quattro assi è $\frac{1}{1001}$ , quante carte ha buttato via?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2018 Fonte: apri PDF p.1

Maximum n with equal sum tripartite

From a standard 52-card deck, Chiara discarded some cards, making sure all four axes remained in the remaining deck. Now extract four cards randomly from this narrow deck. If the probability of extracting exactly the four axes is $\frac{1}{1001}$ , how many cards did you throw away?

Answer: 2018 src_kangourou_2018_junior_finale__Q03

Massimo N con sacchi (algoritmo euclideo Fibonacci)

In figura vedi un pentagono regolare di cui sono state tracciate quattro diagonali che individuano due regioni ombreggiate $A$ e $B$ . Esprimi l’area di $B$ in dipendenza dall’area di $A$ . (vedi figura)

Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0610 Fonte: apri PDF p.1

*Maximum N with bags (Fibonacci Euclidean Algorithm) *

In the figure you can see a regular pentagon of which four diagonal lines have been drawn that identify two shaded regions $A$ and $B$ . Express the area of $B$ depending on the area of $A$ . (see figure)

Answer: 0610 src_kangourou_2018_junior_finale__Q04

Dimostrare che la soluzione di x^5+x=10 e irrazionale

Considera già dimostrato il fatto che l’equazione $x^{5} + x = 10$ ammette un’unica soluzione (reale positiva). Dimostra che tale soluzione non è un numero razionale (cioè non può essere espressa come quoziente di due numeri interi).

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: irrazionale (dim.) Fonte: apri PDF p.4

Show that the solution of x^5+x=10 is irrational

It already considers that the $x^{5} + x = 10$ equation admits only one solution (real positive). It shows that such a solution is not a rational number (i.e. it cannot be expressed as a quotient of two integers).

Answer: irrazionale (dim.) src_kangourou_2018_junior_finale__Q05

Massimo numero complementato non multiplo di 10

Immagina il piano come un foglio a quadretti (tutti dello stesso lato) illimitato in ogni direzione e chiama nodo ogni vertice di ogni quadrato. Dimostra che per ogni $n$ esiste un cerchio contenente all’interno esattamente $n$ nodi.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0315 Fonte: apri PDF p.1

Maximum complementary number not multiple of 10

Imagine the plane as a sheet of squares (all on the same side) boundless in every direction and call a node every vertex of every square. It shows that for each $n$ there is a circle containing exactly $n$ nodes inside.

Answer: 0315 src_kangourou_2018_junior_finale__Q06

Prodotto dei primi due numeri somma di due quadrati

Sommando il $25%$ di $2018$ al $2018%$ di $25$ quanto si ottiene?

(A) $1009$

(B) $2016$

(C) $2018$

(D) $3027$

(E) $5045$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3250 Fonte: apri PDF p.2

Product of the first two numbers sum of two squares

Adding the $25%$ of $2018$ to the $2018%$ of $25$ how much do you get?

(A) $1009$

(B) $2016$

(C) $2018$

(D) $3027$

(E) $5045$

Answer: 3250 src_kangourou_2018_junior_finale__Q07

Maggiore raggio di tre cerchi tangenti a una retta

Si può andare dal punto $A$ al punto $B$ in figura solo rispettando le direzioni e i versi indicati dalle frecce. Quanti percorsi diversi sono possibili? (vedi figura)

(A) $20$

(B) $16$

(C) $12$

(D) $9$

(E) $8$

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 0036 Fonte: apri PDF p.2

Major radius of three tangent circles in a straight line

You can go from $A$ to $B$ in the figure only by following the directions and lines indicated by the arrows. How many different routes are possible? (see figure)

(A) $20$

(B) $16$

(C) $12$

(D) $9$

(E) $8$

Answer: 0036 src_kangourou_2018_junior_finale__Q08

Per quanti secondi funziona il contatore del treno

Supponi che la terra sia una sfera perfetta e immagina di stendere un filo, della stessa lunghezza dell’equatore, in modo da coprire esattamente l’equatore. Ora allunga il filo di 10 metri e immagina che possa essere collocato attorno all’equatore in modo da avere distanza uniforme da esso, cioè in modo che tutti i punti del filo abbiano dall’equatore la stessa distanza $d$ (misurata in metri). Allora si ha:

(A) $d < 0, 001$

(B) $0, 001 \leq d < 0, 01$

(C) $0, 01 \leq d < 0, 1$

(D) $0, 1 \leq d \leq 1$

(E) $d > 1$

Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 0126 Fonte: apri PDF p.2

For how many seconds the train counter is running

Suppose the earth is a perfect sphere and you imagine you’re stretching a string, the same length as the equator, so that you cover the equator exactly. Now extend the wire by 10 meters and imagine that it can be placed around the equator so that it has a uniform distance from it, that is, so that all the points of the wire have the same distance from the equator $d$ (measured in meters). So you have:

(A) $d < 0, 001$

(B) $0, 001 \leq d < 0, 01$

(C) $0, 01 \leq d < 0, 1$

(D) $0, 1 \leq d \leq 1$

(E) $d > 1$

Answer: 0126 src_kangourou_2018_junior_finale__Q09

Massimo primo 3 cifre con cascata di somme prime

Si lanciano due dadi regolari (facce numerate da uno a sei) non truccati. Quale tra i numeri $7$ , $8$ , $9$ e $10$ ha la probabilità più alta di essere la somma dei due punteggi ottenuti?

(A) $7$

(B) $8$

(C) $9$

(D) $10$

(E) $7$ e $8$ hanno la stessa probabilità.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0977 Fonte: apri PDF p.2

Maximum first 3 digits with cascade of prime sums

Two regular dice (faces numbered from one to six) are thrown without makeup. Which of the numbers $7$ , $8$ , $9$ and $10$ is most likely to be the sum of the two scores obtained?

(A) $7$

(B) $8$

(C) $9$

(D) $10$

(E) $7$ and $8$ have the same probability.

Answer: 0977 src_kangourou_2018_junior_finale__Q10

Palindromo 4 cifre con 17n quadrato perfetto

Su una stessa strada, a distanza di $250$ m una dall’altra, sorgono due residenze per studenti. Nel primo edificio abitano $100$ studenti, nel secondo $150$ . Ogni mattina tutti prendono lo stesso autobus per recarsi a lezione. Dove si dovrà posizionare la fermata dell’autobus se si vuole che la somma dei percorsi fatti ogni mattina dagli studenti di entrambe le residenze per raggiungere la fermata sia la minima possibile?

(A) Davanti al primo edificio.

(B) A $100$ metri dal primo edificio (e $150$ dal secondo).

(C) A $100$ metri dal secondo edificio (e $150$ dal primo).

(D) Davanti al secondo edificio.

(E) In un qualunque punto tra i due edifici.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 8228 Fonte: apri PDF p.2

Pallindrome 4 digits with 17n perfect square

On the same street, at a distance of $250$ m from each other, two student residences arise. The first building houses students $100$ , the second $150$ . Every morning, everyone takes the same bus to class. Where will the bus stop be located if the sum of the journeys taken each morning by students from both residences to reach the bus stop is to be as small as possible?

(A) In front of the first building.

(B) A $100$ metres from the first building (and $150$ from the second).

(C) A $100$ metres from the second building (and $150$ from the first).

(D) In front of the second building.

(E) Anywhere between the two buildings.

Answer: 8228 src_kangourou_2018_junior_finale__Q11

Area intersezione di due cerchi l’occhio

Immagina di avere scritto in ordine crescente ogni numero naturale $n$ esattamente $n$ volte: $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, \dots$ e così via. Dal primo al $1 0^{5}$ -esimo numero della lista, quanti dei numeri scritti sono divisibili per $3$ ?

(A) $4$

(B) $12$

(C) $21$

(D) $30$

(E) $45$

Topic: Geometria piana Abilita: Stima e approssimazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0022 Fonte: apri PDF p.2

Area of intersection of two circles of the eye

Imagine you’ve written in increasing order every natural number $n$ exactly $n$ times: $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, \dots$ and so on. From the first to the $1 0^{5}$ -eighth number of the list, how many of the written numbers are divisible by $3$ ?

(A) $4$

(B) $12$

(C) $21$

(D) $30$

(E) $45$

Answer: 0022 src_kangourou_2018_junior_finale__Q12

Valore di m^3+n^5 dato m^5+n^3=7901

Osserva la figura: in un quadrato di lato $4$ sono state tracciate $8$ semicirconferenze tutte dello stesso raggio e alcune delle regioni racchiuse tra esse e i lati del quadrato sono state ombreggiate. Qual è l’area della parte non ombreggiata del quadrato? (vedi figura)

(A) $2 π$

(B) $8$

(C) $6 + π$

(D) $3 π - 2$

(E) $12$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Analisi per casi Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3341 Fonte: apri PDF p.2

Value of m^3+n^5 given m^5+n^3=7901

Note the figure: in a side square $4$ $8$ semicirculars all of the same radius have been drawn and some of the regions enclosed between them and the sides of the square have been shaded. What’s the area of the unshaded part of the square? (see figure)

(A) $2 π$

(B) $8$

(C) $6 + π$

(D) $3 π - 2$

(E) $12$

Answer: 3341 src_kangourou_2018_junior_finale__Q13

Minimo k per gioco infinito sui gettoni 50x50

In un certo giorno $40$ treni hanno viaggiato tra due delle città $S$ , $T$ , $U$ , $V$ e $Z$ .

Dieci treni hanno viaggiato o da o per $S$ .

Dieci treni hanno viaggiato o da o per $T$ .

Dieci treni hanno viaggiato o da o per $U$ .

Dieci treni hanno viaggiato o da o per $V$ .

Quanti treni hanno viaggiato o da o per $Z$ ?

(A) $0$

(B) $10$

(C) $20$

(D) $30$

(E) $40$

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7301 Fonte: apri PDF p.2

*Minimum k for infinite play on 50x50 tokens *

On a certain day $40$ trains travelled between two of the cities $S$ , $T$ , $U$ , $V$ and $Z$ .

Ten trains travelled either from or to $S$ . - Ten trains travelled either to or from $T$ . - Ten trains travelled either to or from $U$ . - Ten trains travelled either from or to $V$ .

How many trains have traveled either to or from $Z$ ?

(A) $0$

(B) $10$

(C) $20$

(D) $30$

(E) $40$

Answer: 7301 src_kangourou_2018_junior_finale__Q14

Coppie intere con 2|x|+3|y|<23

Presso un centro di formazione si possono studiare le lingue straniere, la programmazione e la contabilità. Il $35%$ di chi studia una lingua studia inglese; il $13%$ degli studenti del centro studia una lingua diversa dall’inglese. Nessuno studente studia più di una lingua. Quale percentuale degli studenti del centro studia una lingua?

(A) $13%$

(B) $20%$

(C) $22%$

(D) $48%$

(E) $65%$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0169 Fonte: apri PDF p.2

Entire pairs with 2x offset+3 offset> < 23*offset

In a training centre you can study foreign languages, programming and accounting. The $35%$ of those studying a language study English; the $13%$ of the students of the centre study a language other than English. No student studies more than one language. What percentage of students at the center study a language?

(A) $13%$

(B) $20%$

(C) $22%$

(D) $48%$

(E) $65%$

Answer: 0169 src_kangourou_2018_junior_finale__Q15

Raccolta Gare di Matematica

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