Quante coppie (a,b) reali non nulli con a+b=ab=a/b
(Punti 2) Quante diverse coppie ordinate (a, b) di numeri reali non nulli soddisfano le uguaglianze a + b = ab = a/b? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) Infinite
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
How many non-zero real pairs (a,b) with a+b=ab=a/b
(Points 2) How many different ordered pairs (a, b) of non-zero real numbers satisfy the equations a + b = ab = a/b? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) Infinite
Answer: B src_kangourou_2018_junior_semif__Q01
Lunghezza circonferenza C inscritta nell occhio
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% Eye shape: two quarter-circle arcs (each 90 deg) meeting at tips (±1.5, 0)
% Upper arc: center (0, -1.5), radius 2.12132, from 45 to 135 deg
\draw (1.5,0) arc[start angle=45, end angle=135, radius=2.12132];
% Lower arc: center (0, 1.5), radius 2.12132, from 225 to 315 deg
\draw (-1.5,0) arc[start angle=225, end angle=315, radius=2.12132];
% Inscribed circle C tangent to both arcs: center (0,0), radius 0.62132
\filldraw[fill=black] (0,0) circle[radius=0.62132];
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 3) L’occhio in figura è realizzato da due quarti di circonferenza ciascuno di lunghezza 1 e dal cerchio C di raggio più grande possibile con tenuto nella regione limitata da essi individuata. Quanto è lunga la circon ferenza che delimita C? A) 2 B) π - 1 C) 3√2 - 2 D) 4√2 - π
E) Un numero diverso dai precedenti.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Length of circumference C inscribed in the eye
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% Eye shape: two quarter-circle arcs (each 90 deg) meeting at tips (±1.5, 0)
% Upper arc: center (0, -1.5), radius 2.12132, from 45 to 135 deg
\draw (1.5,0) arc[start angle=45, end angle=135, radius=2.12132];
% Lower arc: center (0, 1.5), radius 2.12132, from 225 to 315 deg
\draw (-1.5,0) arc[start angle=225, end angle=315, radius=2.12132];
% Inscribed circle C tangent to both arcs: center (0,0), radius 0.62132
\filldraw[fill=black] (0,0) circle[radius=0.62132];
\end{tikzpicture}
\end{document}(Documents 3) The eye in the figure is made up of two quarters of the circumference of each of the lengths 1 and the circle C of the largest possible radius contained in the region bounded by them. How long is the circumference of C? A) 2 B) π - 1 C) 3√2 - 2 D) 4√2 - π E) A number different from the previous ones.
Answer: E src_kangourou_2018_junior_semif__Q02
triangolo equilatero, quadrato o cerchio
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[x=0.5cm,y=0.5cm]
% Squared paper: 11 columns (0..10), 5 rows (0..4), y increases upward
\draw[gray, thin] (0,0) grid (10,4);
% B=(col 3, row 0 from top) => tikz (3,4)
% C=(col 6, row 0 from top) => tikz (6,4)
% A=(col 2, row 3 from top) => tikz (2,1)
% D=(col 8, row 3 from top) => tikz (8,1)
\filldraw (3,4) circle[radius=2.5pt] node[below right, font=\small] {$B$};
\filldraw (6,4) circle[radius=2.5pt] node[below right, font=\small] {$C$};
\filldraw (2,1) circle[radius=2.5pt] node[below right, font=\small] {$A$};
\filldraw (8,1) circle[radius=2.5pt] node[below right, font=\small] {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 3) Su un foglio di carta quadrettata (in figura ne vedi una porzione) sono marcati i quattro punti A, B, C, D. Enrico vuole individuare una figura che sia un triangolo equilatero, op pure un quadrato, oppure un cerchio il cui bordo passi per tutti i quattro punti. Allora la figura potrà essere A) sia un triangolo equilatero, sia un quadrato, ma non un cerchio. B) un quadrato, ma non un triangolo equilatero né un cerchio. C) sia un quadrato, sia un cerchio, ma non un triangolo equilatero. D) una qualunque di quelle elencate. E) nessuna di quelle elencate.
Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Analisi per casi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
equilateral triangle, square or circle
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[x=0.5cm,y=0.5cm]
% Squared paper: 11 columns (0..10), 5 rows (0..4), y increases upward
\draw[gray, thin] (0,0) grid (10,4);
% B=(col 3, row 0 from top) => tikz (3,4)
% C=(col 6, row 0 from top) => tikz (6,4)
% A=(col 2, row 3 from top) => tikz (2,1)
% D=(col 8, row 3 from top) => tikz (8,1)
\filldraw (3,4) circle[radius=2.5pt] node[below right, font=\small] {$B$};
\filldraw (6,4) circle[radius=2.5pt] node[below right, font=\small] {$C$};
\filldraw (2,1) circle[radius=2.5pt] node[below right, font=\small] {$A$};
\filldraw (8,1) circle[radius=2.5pt] node[below right, font=\small] {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Points 3) The four points A, B, C and D are marked on a square sheet of paper (see section below). Henry wants to identify a figure that is either an equilateral triangle, or a square, or a circle whose edge passes through all four points. So the figure can be A) either an equilateral triangle or a square, but not a circle. (b) a square, but not an equilateral triangle or a circle. (c) is a square or a circle, but not an equilateral triangle. (d) any of the following: (e) none of those listed.
Answer: A src_kangourou_2018_junior_semif__Q03
Probabilita che il numero di Alice superi quello di Barbara
(Punti 4) Alice e Barbara scelgono a caso e separatamente un numero intero compreso fra 1 e 2018. I due numeri vengono quindi confrontati. Qual è la probabilità che il numero scelto da Alice sia più grande di quello scelto da Barbara? A) 2019/4036 B) 2017/4036 C) 2017/4038 D) 1/2 E) Nessuna delle precedenti.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
The probability that Alice’s number exceeds Barbara’s
(Points 4) Alice and Barbara randomly and separately select an integer between 1 and 2018. The two numbers are then compared. What is the probability that the number Alice chose is greater than the number Barbara chose? This appropriation is intended to cover expenditure relating to the implementation of the programme.
Answer: B src_kangourou_2018_junior_semif__Q04
Rapporto volume cubo / tetraedro regolare inscritto
(Punti 4) In un cubo viene inscritto un tetraedro regolare i cui spigoli sono diagonali delle facce del cubo. Qual è il rapporto tra il volume del cubo e il volume del tetraedro? A) 2
B) 3
C) 4/3 D) 3/2 E) 5/3
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
*Reported cubic volume/regular tetrahedron entered *
(Points 4) A regular tetrahedron is inscribed in a cube whose edges are diagonal to the sides of the cube. What is the ratio of the volume of the cube to the volume of the tetrahedron? A) 2
B) 3
C) 4/3 D) 3/2 E) 5/3
Answer: B src_kangourou_2018_junior_semif__Q05
Cifra A in A111…11 di 2019 cifre divisibile per 7
(Punti 4) Il numero di 2019 cifre (in notazione decimale) A111…11, dove A è una cifra e le rimanen ti 2018 cifre sono tutte 1, è divisibile per 7. Quale cifra è A? A) 2
B) 3 C) 4
D) 5
E) 9
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
A figure in A111…11 of 2019 digits divisible by 7
(Points 4) The number of 2019 digits (in decimal notation) A111…11, where A is a digit and the remaining 2018 digits are all 1, is divisible by 7. What’s the number A? A) 2
B) 3 C) 4
D) 5
E) 9
Answer: D src_kangourou_2018_junior_semif__Q06
Quanti primi r somma di due primi con uguale somma cifre
(Punti 5) Un numero primo r è somma di due numeri primi p e q. Accade inoltre che la somma delle cifre di r coincide con la somma delle cifre di p sommata alla somma delle cifre di q. Quanti sono i possibili numeri primi r che si trovano in questa situazione? (Attenzione: 1 non è un numero primo!) A) Solo 1
B) Esattamente 2
C) Esattamente 3
D) Esattamente 4
E) Più di 4
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
*How many prime r sums of two prime numbers with equal sums *
(Points 5) A prime r is the sum of two prime p and q. It also happens that the sum of the digits r coincides with the sum of the digits p plus the sum of the digits q. How many possible prime r numbers are in this situation? (Warning: 1 is not a prime number!) A) Only 1
B) Exactly 2
C) Exactly 3
D) Exactly 4 E) More than 4
Answer: E src_kangourou_2018_junior_semif__Q07
Per quanti interi n il numero n/(n-10) e intero
(Punti 5) Per quanti numeri interi n il numero n/(n - 10) è intero? A) 4
B) 5
C) 7
D) 8
E) Infiniti
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
*For integers n the number n/(n-10) and integers *
(Points 5) For how many integers n is the number n/(n - 10) an integer? A) 4
B) 5
C) 7
D) 8
E) Infinite
Answer: D src_kangourou_2018_junior_semif__Q08
Per cosa non e divisibile 20192018^2 - 20182019^2
(Punti 6) Il numero 201920182 - 201820192 non è divisibile per A) 99 B) 101 C) 121 D) 1001 E) 10001 A B C D
Quesiti a risposta aperta
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
This is a list of the countries of the European Economic Area.
(Points 6) The number 201920182 - 201820192 is not divisible by A) 99 B) 101 C) 121 D) 1001 E) 10001 A B C D
Open-ended questions
Answer: D src_kangourou_2018_junior_semif__Q09
Prodotto soluzioni intere di (97-x)^(1/4)+x^(1/4)=5
(Punti 4) Le soluzioni (reali) dell’equazione (97 - x) 1/4 + x 1/4 = 5 sono numeri interi. Quanto vale il loro prodotto?
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 1296 Fonte: apri PDF p.2
Product whole solutions of (97-x)^(1/4) +x
(Points 4) The (real) solutions of the equation (97 - x) 1/4 + x 1/4 = 5 are integers. How much is their product worth?
Answer: 1296 src_kangourou_2018_junior_semif__Q10
M-N tra somma dispari e somma pari minori di 1000
(Punti 5) Siano M la somma dei numeri interi positivi dispari minori di 1000 e N la somma dei numeri interi positivi pari strettamente minori di 1000. Quanto vale M - N ?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 500 Fonte: apri PDF p.2
M-N between odd sum and even sum less than 1000
(Points 5) M is the sum of the odd positive integers less than 1000 and N is the sum of the positive integers strictly less than 1000. How much is M-N ?
Answer: 500 src_kangourou_2018_junior_semif__Q11
Rapporto lunghezza fune / pezzo piu corto (dischi)
(Punti 5) Una fune a sezione circolare è ripartita con un taglio in due pezzi. Entrambi vengono arrotolati a spirale su un tavolo in modo da ottenere approssimativamente due dischi. Il raggio di uno dei due è il doppio del raggio dell’altro. Qual è il rapporto tra la lunghezza dell’intera fune e la lunghezza del pezzo più corto? (Se necessario, approssima la risposta all’intero più vicino.)
Topic: Geometria piana Abilita: traduzione del testo Area: Geometria Risposta: 5 Fonte: apri PDF p.2
*Ratio length of strings / shorter piece (discs) *
(Points 5) A circular section rope is cut into two pieces. Both are spirally rolled onto a table to produce approximately two discs. The radius of one of the two is twice the radius of the other. What is the relationship between the length of the whole rope and the length of the shortest piece? (If necessary, approximate the answer to the nearest integer.)
Answer: 5 src_kangourou_2018_junior_semif__Q12
Probabilita di segnare il primo rigore dato p>=uno=0,999
(Punti 6) Marco deve tirare tre calci di rigore. Conoscendosi, sa che la probabilità di segnare è la stessa in tutti e tre e che quella di segnare in almeno uno dei tre è 0,999. Qual è la probabilità che riesca a segnare quando tira il primo rigore? (Indica le cifre decimali dopo la virgola fino alla quarta: ad es. se la probabilità fosse 0,81 scrivi la risposta come 8100.)
Topic: Probabilita e statistica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9000 Fonte: apri PDF p.2
Probability of scoring the first given string p>=one=0,999
Mark must take three hard kicks. Knowing yourself, you know that the probability of scoring is the same in all three and that the probability of scoring in at least one of the three is 0.999. What’s the likelihood that he’ll score when he draws the first line? (Include decimal places after the comma up to the fourth: e.g. If the probability is 0.81, write the answer as 8100.)
Answer: 9000 src_kangourou_2018_junior_semif__Q13
Quante coppie (a,b) interi in [-2018,2018] con 2a+b+6=0
(Punti 6) Per quante diverse coppie ordinate (a, b) di numeri interi relativi compresi fra - 2018 e 2018, estremi inclusi, risulta 2a + b + 6 = 0?
Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2019 Fonte: apri PDF p.2
How many whole pairs (a,b) in [2018,2018] with 2a+b+6=0
(Points 6) For how many different pairs (a, b) of relative integers between - 2018 and 2018, extremes included, is 2a + b + 6 = 0?
Answer: 2019 src_kangourou_2018_junior_semif__Q14
Minimo valore tra quelli assegnati ai punti a media
(Punti 6) A ogni punto P del piano a coordinate intere è assegnato un numero intero non nega tivo che risulta essere la media dei quattro numeri assegnati ai quattro punti che distano 1 da P. Al punto (2018, 2018) è assegnato il numero 2018. Qual è il più piccolo dei valori che compaiono fra quelli assegnati al variare di P?
Topic: successioni, Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2018 Fonte: apri PDF p.2
Minimum value among those assigned to mean points
(Points 6) Each point P of the whole-coordinate plane is assigned a nonnegative integer which is the average of the four numbers assigned to the four points 1 to P. The item (2018, 2018) is assigned the number 2018. What is the smallest of the values that appear among those assigned to the P variable?
Answer: 2018 src_kangourou_2018_junior_semif__Q15
Numeri tra 1 e 9999 con somma prime due cifre = altre due
(Punti 7) Quanti numeri interi compresi fra 0001 e 9999 incluso sono tali che la somma delle pri me due cifre coincide con la somma delle altre due?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 669 Fonte: apri PDF p.2
Numbers between 1 and 9999 with the sum of the first two digits = two more
(Points 7) How many integers between 0001 and 9999 inclusive are such that the sum of the first two digits coincides with the sum of the other two?
Answer: 669 src_kangourou_2018_junior_semif__Q16
Valori m e n con 46 nuovi tipi di biglietti
(Punti 7) Una compagnia ferroviaria gestisce una linea con m stazioni. Ne fa poi costruire altre n, con n > 1. Per ogni nuova tratta viene stampato un nuovo tipo di biglietto (attenzione: la tratta dalla stazione A alla stazione B è diversa da quella da B a A). Se in totale vengono stampati 46 nuovi tipi di biglietti, quanto valgono, nell’ordine, m e n? (Ad esempio, se fosse m = 25 e n = 4, scrivi come risposta 2504.)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1102 Fonte: apri PDF p.2
Values m and n with 46 new ticket types
(Points 7) A railway company operates a line with m stations. He then builds other n’s, with n > 1. For each new route a new type of ticket is printed (note: the route from station A to station B is different from that from B to A). If a total of 46 new types of tickets are printed, how much are they worth, in order, m and n? (For example, if m = 25 and n = 4, write 2504.)
Answer: 1102 src_kangourou_2018_junior_semif__Q17
Quante terne ordinate (a,b,c) interi con abc=45000
(Punti 8) Per quante terne ordinate (a, b, c) di numeri interi relativi accade che a × b × c = 45.000?
1296 0500 0005 9000 2019 2018 0669 1102 3600
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3600 Fonte: apri PDF p.2
How many whole ternes (a,b,c) are ordered with abc=45000
(Points 8) For how many ordered sets (a, b, c) of relative integers does a × b × c = 45,000 occur?
1296 0500 0005 9000 2019 2018 0669 1102 3600
Answer: 3600 src_kangourou_2018_junior_semif__Q18