Numeri 7 cifre divisibili per 4 con somma cifre 4
Numeri di sette cifre Quanti sono i numeri di sette cifre divisibili per 4 e tali che la somma delle loro cifre sia 4?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0041 Fonte: apri PDF p.1
7-digit numbers divisible by 4 with digit sum 4
Seven-digit numbers How many seven-digit numbers are divisible by 4 and such that the sum of their digits is 4?
Answer: 0041 src_kangourou_2018_squadre_junior_f__Q01
Massimo prodotto ab con a^2+b^2+1007ab=2018
Il prodotto Due numeri reali a, b sono tali che . Qual è il più grande valore possibile per il prodotto a × b ?
Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0002 Fonte: apri PDF p.1
Maximum product ab with a^2+b^2+1007ab=2018
The product Two real numbers a, b are such that . What is the largest possible value for the product a × b ?
Answer: 0002 src_kangourou_2018_squadre_junior_f__Q02
Massimo n con tripartizione a somma uguale
Tripartizione Fissato un intero positivo n, vogliamo ripartire i primi 3n interi positivi in tre gruppi tali che la somma dei numeri di ciascun gruppo sia la stessa per i tre gruppi. Qual è il più grande intero n ≤ 2018 per cui possiamo farlo?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2018 Fonte: apri PDF p.1
Maximum n with tripartition into equal sum
Tripartition Given a positive integer n, we want to divide the first 3n positive integers into three groups such that the sum of the numbers in each group is the same for the three groups. What is the largest integer n ≤ 2018 for which we can do this?
Answer: 2018 src_kangourou_2018_squadre_junior_f__Q03
Massimo N con sacchi (algoritmo euclideo Fibonacci)
Clemente perde sempre Clemente ha N biglie e le distribuisce in due sacchi in modo che il numero delle biglie riposte nel primo sacco e il numero di quelle riposte nel secondo siano primi fra loro. Clemente gioca a carte con Stefania e, quando perde una partita, deve prelevare dal sacco che in quel momento contiene più biglie (da uno dei sacchi, se contenessero lo stesso numero di biglie) il numero di biglie presenti nell’altro sacco e consegnare quelle prelevate a Stefania. Dopo la 13-ma partita Clemente, che ha sempre perso, si ritrova con uno dei due sacchi vuoto. Quanto può valere, al massimo, N ?
Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0610 Fonte: apri PDF p.1
Maximum N with bags (Fibonacci Euclidean Algorithm)
Clemente always loses Clemente has N marbles and distributes them into two bags so that the number of marbles placed in the first bag and the number of those placed in the second are coprime. Clemente plays cards with Stefania and, when he loses a game, he must take from the bag that at that moment contains more marbles (from one of the bags, if they contained the same number of marbles) the number of marbles present in the other bag and hand over those taken to Stefania. After the 13th game Clemente, who has always lost, finds himself with one of the two bags empty. What can N be worth, at most?
Answer: 0610 src_kangourou_2018_squadre_junior_f__Q04
Massimo numero complementato non multiplo di 10
Numeri complementati Diciamo che un numero intero positivo è complementato se (in notazione decimale) ha almeno due cifre (significative) e se coincide con il prodotto dei complementi a 10 delle sue cifre. Ad esempio, 163 non è complementato mentre lo è 50, come pure lo sono tutti i numeri della forma con k > 1. Si sa che non esistono numeri complementati maggiori di 1000 e non multipli di 10. Qual è il più grande numero complementato che non sia un multiplo di 10?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0315 Fonte: apri PDF p.1
Maximum complementary number not multiple of 10
Complemented numbers We say that a positive integer is complemented if (in decimal notation) it has at least two digits (significant) and if it coincides with the product of the 10’s complements of its digits. For example, 163 is not complemented whereas 50 is, as are all numbers of the form with k > 1. It is known that there are no complemented numbers greater than 1000 and not multiples of 10. What is the largest complemented number that is not a multiple of 10?
Answer: 0315 src_kangourou_2018_squadre_junior_f__Q06
Prodotto dei primi due numeri somma di due quadrati
Quadrati perfetti Siano M e N i primi due interi ciascuno dei quali si può esprimere in due modi diversi come somma di due quadrati perfetti non nulli. Quanto vale M × N ?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3250 Fonte: apri PDF p.2
Product of the first two numbers that are sums of two squares
Perfect squares Let M and N be the first two integers each of which can be expressed in two different ways as the sum of two nonzero perfect squares. What is M × N?
Answer: 3250 src_kangourou_2018_squadre_junior_f__Q07
Maggiore raggio di tre cerchi tangenti a una retta
Tre cerchi Tre cerchi hanno raggi le cui misure sono espresse da numeri interi minori di 100. La misura del maggiore dei raggi è il prodotto delle altre due misure. I tre cerchi sono tangenti a due a due e sono tutti tangenti ad una stessa retta. Quanto misura il maggiore dei raggi?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 0036 Fonte: apri PDF p.2
Largest radius of three circles tangent to a line
Three circles Three circles have radii whose measures are expressed by integers less than 100. The measure of the largest of the radii is the product of the other two measures. The three circles are tangent to each other in pairs and are all tangent to the same line. What is the measure of the largest of the radii?
Answer: 0036 src_kangourou_2018_squadre_junior_f__Q08
Per quanti secondi funziona il contatore del treno
I segnali Un treno viaggia a velocità costante. Per ragioni di sicurezza, ogni 35 metri percorsi il macchinista riceve un segnale in cabina. Immediatamente dopo aver ricevuto un segnale, il macchinista inserisce un contatore del numero di segnali ricevuti. Per quanti secondi dovrà funzionare il contatore affinché il numero di segnali ricevuti uguagli la velocità del treno espressa in chilometri all’ora?
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 0126 Fonte: apri PDF p.2
For how many seconds the train counter is running
The signals A train travels at constant speed. For safety reasons, every 35 metres travelled the driver receives a signal in the cab. Immediately after receiving a signal, the driver starts a counter of the number of signals received. For how many seconds must the counter run for the number of signals received to equal the speed of the train expressed in kilometres per hour?
Answer: 0126 src_kangourou_2018_squadre_junior_f__Q09
Massimo primo 3 cifre con cascata di somme prime
Il numero primo Qual è il più grande numero primo di tre cifre tale che la somma delle sue cifre sia un numero primo di due cifre, la somma delle cui cifre sia a sua volta un numero primo?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0977 Fonte: apri PDF p.2
Maximum first 3 digits with cascade of prime sums
The prime number What is the largest three-digit prime number such that the sum of its digits is a two-digit prime number, the sum of whose digits is in turn a prime number?
Answer: 0977 src_kangourou_2018_squadre_junior_f__Q10
Palindromo 4 cifre con 17n quadrato perfetto
Palindromi C’è un solo numero palindromo n di quattro cifre tale che 17 × n sia un quadrato perfetto. Qual è?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 8228 Fonte: apri PDF p.2
Four-digit palindrome with 17n perfect square
Palindromes There is only one four-digit palindromic number n such that 17 × n is a perfect square. What is it?
Answer: 8228 src_kangourou_2018_squadre_junior_f__Q11
Area intersezione di due cerchi l’occhio
L’occhio I due cateti di un triangolo rettangolo misurano √3 e 1 metri. Si considerino i due cerchi ciascuno dei quali ha come diametro uno dei cateti. Quanti decimetri quadrati misura l’area dell’intersezione di questi due cerchi? Scrivete la risposta approssimata all’intero più vicino, assumendo che valgano esattamente le uguaglianze √3 = 1,73 e π = 3,14.
Topic: Geometria piana Abilita: Stima e approssimazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0022 Fonte: apri PDF p.2
Area of intersection of two circles of the eye
The eye The two legs of a right triangle measure √3 and 1 meters. Consider the two circles each of which has one of the legs as its diameter. How many square decimeters does the area of the intersection of these two circles measure? Write the answer rounded to the nearest integer, assuming that the equalities √3 = 1.73 and π = 3.14 hold exactly.
Answer: 0022 src_kangourou_2018_squadre_junior_f__Q12
Valore di m^3+n^5 dato m^5+n^3=7901
Potenze scambiate Per due interi positivi m e n accade che . Quanto vale ?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Analisi per casi Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3341 Fonte: apri PDF p.2
Value of m^3+n^5 given m^5+n^3=7901
Swapped powers For two positive integers m and n it happens that . What is the value of ?
Answer: 3341 src_kangourou_2018_squadre_junior_f__Q13
Minimo k per gioco infinito sui gettoni 50x50
I gettoni In una griglia quadrata 50 × 50 le celle sono quadrati tutti uguali fra loro; due celle si dicono adiacenti se condividono un lato. Su ogni cella vengono depositati alcuni gettoni, eventualmente nessuno, e il numero complessivo dei gettoni presenti sulla griglia è k. Si fa il seguente gioco: ad ogni mossa si parte da una cella, se esiste, che contenga un numero di gettoni non inferiore al numero di celle adiacenti e da questa cella si trasferisce un gettone in ognuna delle celle adiacenti. Il gioco termina se non esistono più celle dalle quali partire. Qual è il minimo valore di k che permette di continuare indefinitamente il gioco, qualunque sia la configurazione iniziale e qualunque sia, ad ogni mossa, la scelta della cella ammissibile a cui sottrarre i gettoni?
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7301 Fonte: apri PDF p.2
Minimum k for infinite play on 50x50 tokens
The tokens In a 50 × 50 square grid the cells are all equal squares; two cells are said to be adjacent if they share a side. On each cell some tokens are placed, possibly none, and the total number of tokens present on the grid is k. The following game is played: at each move one starts from a cell, if one exists, that contains a number of tokens not less than the number of adjacent cells, and from this cell one token is transferred to each of the adjacent cells. The game ends if there are no more cells from which to start. What is the minimum value of k that allows the game to continue indefinitely, whatever the initial configuration and whatever, at each move, the choice of the admissible cell from which to subtract the tokens?
Answer: 7301 src_kangourou_2018_squadre_junior_f__Q14
Coppie intere con 2|x|+3|y|<23
Coppie di interi Per quante coppie (ordinate) di numeri interi (x,y) si ha 2|x| + 3|y| < 23 ?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0169 Fonte: apri PDF p.2
Integer pairs with 2|x|+3|y|<23
Pairs of integers For how many (ordered) pairs of integers (x,y) is 2|x| + 3|y| < 23 ?
Answer: 0169 src_kangourou_2018_squadre_junior_f__Q15