Lunghezza circonferenza C inscritta nell occhio
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw (1,0) arc[start angle=-45, end angle=225, radius=1.4142];
\draw (-1,0) arc[start angle=135, end angle=-135, radius=1.4142];
\fill[black] (0,0) circle[radius=0.4142];
\node[white] at (0,0) {\small $C$};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 2) L’occhio in figura è realizzato da due quarti di circonferenza ciascuno di lunghezza 1 e dal cerchio C di raggio più grande possibile con tenuto regione limitata da essi individuata. Quanto è lunga la circonferenza che delimita C? A) 2
B) π - 1
C) 3√2 - 2
D) 4√2 - π
E) Un numero diverso dai precedenti.
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Length of circumference C inscribed in the eye
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw (1,0) arc[start angle=-45, end angle=225, radius=1.4142];
\draw (-1,0) arc[start angle=135, end angle=-135, radius=1.4142];
\fill[black] (0,0) circle[radius=0.4142];
\node[white] at (0,0) {\small $C$};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Point 2) The eye in the figure is made up of two quarters of the circumference of each of the lengths 1 and the circle C of the largest possible radius containing the region bounded by them. How long is the circumference of C? A) 2
B) π - 1
C) 3√2 - 2
D) 4√2 - π E) A number different from the previous one.
Answer: E src_kangourou_2018_student_semif__Q01
Probabilita che il numero di Alice superi quello di Barbara
(Punti 3) Alice e Barbara scelgono a caso e separatamente un numero intero compreso fra 1 e 2018. I due numeri vengono quindi confrontati. Qual è la probabilità che il numero scelto da Alice sia più grande di quello scelto da Barbara? A) 2019/4036 B) 2017/4036 C) 2017/4038 D) 1/2 E) Nessuna delle precedenti.
Topic: Probabilita e statistica Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
The probability that Alice’s number exceeds Barbara’s
(Points 3) Alice and Barbara randomly and separately select an integer between 1 and 2018. The two numbers are then compared. What is the probability that the number Alice chose is greater than the number Barbara chose? This appropriation is intended to cover expenditure relating to the implementation of the programme.
Answer: B src_kangourou_2018_student_semif__Q02
Rapporto volume cubo / tetraedro regolare inscritto
(Punti 3) In un cubo viene inscritto un tetraedro regolare i cui spigoli sono diagonali delle facce del cubo. Qual è il rapporto tra il volume del cubo e il volume del tetraedro? A) 2
B) 3
C) 4/3 D) 3/2 E) 5/3
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
*Reported cubic volume/regular tetrahedron entered *
(Points 3) In a cube is inscribed a regular tetrahedron whose edges are diagonal to the faces of the cube. What is the ratio of the volume of the cube to the volume of the tetrahedron? A) 2
B) 3
C) 4/3 D) 3/2 E) 5/3
Answer: B src_kangourou_2018_student_semif__Q03
Quanti primi r somma di due primi con uguale somma cifre
(Punti 4) Un numero primo r è somma di due numeri primi p e q. Accade inoltre che la somma delle cifre di r coincide con la somma delle cifre di p sommata alla somma delle cifre di q. Quanti sono i possibili numeri primi r che si trovano in questa situazione? (Attenzione: 1 non è un numero primo!) A) Solo 1 B) Esattamente 2 C) Esattamente 3 D) Esattamente 4 E) Più di 4
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
*How many prime r sums of two prime numbers with equal sums *
(Points 4) A prime r is the sum of two prime p and q. It also happens that the sum of the digits r coincides with the sum of the digits p plus the sum of the digits q. How many possible prime r numbers are in this situation? A) Only 1 B) Exactly 2 C) Exactly 3 D) Exactly 4 E) More than 4
Answer: E src_kangourou_2018_student_semif__Q04
Valore m+n con 2^m-2^n=240
(Punti 4) m e n sono due numeri interi positivi tali che 2m - 2n = 240. Quanto vale m + n ? A) 10 B) 11 C) 15 D) 16 E) Nessuno dei numeri precedenti è corretto.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Value m+n with 2^m-2^n=240
(Points 4) m and n are two positive integers such that 2m - 2n = 240. How much is m + n ? A) 10 B) 11 C) 15 D) 16 E) None of the above numbers are correct.
Answer: E src_kangourou_2018_student_semif__Q05
Per quanti interi n il numero n/(n-10) e intero
(Punti 4) Per quanti numeri interi n il numero n/(n - 10) è intero? A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) Infiniti
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
*For integers n the number n/(n-10) and integers *
(Points 4) For how many integers n is the number n/(n - 10) an integer? (A) 4 (B) 5 (C) 7 (D) 8 (E) Infinite
Answer: D src_kangourou_2018_student_semif__Q06
Per cosa non e divisibile 20192018^2 - 20182019^2
(Punti 5) Il numero 201920182 - 201820192 non è divisibile per A) 99 B) 101 C) 121 D) 1001 10001
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
This is a list of the countries of the European Economic Area.
(Points 5) The number 201920182 - 201820192 is not divisible by A) 99 B) 101 C) 121 D) 1001 10001
Answer: D src_kangourou_2018_student_semif__Q07
Probabilita che compaia la cifra 1 tra 1 e 10^7
(Punti 5) Immagina che in un sacco ci siano tutti i numeri interi fra 1 e 107 (estremi inclusi) e di estrarre uno di questi numeri a caso. Detta p la probabilità che nella sua rappresentazione (decimale) compaia la cifra 1, si ha A) p < 35% B) 35% ≤ p < 40% C) 40% ≤ p < 45% D) 45% ≤ p < 50% E) p ≥ 50%
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Probability that the figure 1 is between 1 and 10^7
(Points 5) Imagine that in a bag there are all the integers between 1 and 107 (extremes included) and to extract one of these numbers at random. This p the probability that in its representation (decimal) the figure 1 will be A) p < 35% B) 35% ≤ p < 40% C) 40% ≤ p < 45% D) 45% ≤ p < 50% E) p ≥ 50%
Answer: E src_kangourou_2018_student_semif__Q08
Massime sequenze di 7 lettere AB con distanza Hamming >=3
(Punti 6) Considera le sequenze di 7 lettere scrivibili usando solo le lettere A e/o B. Quante se quenze si possono selezionare, al massimo, se si vuole che, comunque considerate due tra queste, esse differiscano per le lettere che compaiono in almeno 3 posizioni? A) 8 B) 9 C) 12 D) 16 E) 27
Quesiti a risposta aperta
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Maximum sequence of 7 letters AB with Hamming distance >=3
(Points 6) Consider sequences of 7 letters that can be written using only the letters A and/or B. How many sequences can be selected, at most, if two of them are to differ for letters appearing in at least three positions? A) 8 B) 9 C) 12 D) 16 E) 27
Open-ended questions
Answer: D src_kangourou_2018_student_semif__Q09
Rapporto lunghezza fune / pezzo piu corto (dischi)
(Punti 4) Una fune a sezione circolare è ripartita con un taglio in due pezzi. Entrambi vengono arrotolati a spirale su un tavolo in modo da ottenere approssimativamente due dischi. Il raggio di uno dei due è il doppio del raggio dell’altro. Qual è il rapporto tra la lunghezza dell’intera fune e la lunghezza del pezzo più corto? (Se necessario, approssima la risposta all’intero più vicino.)
Topic: Geometria piana Abilita: traduzione del testo Area: Geometria Risposta: 5 Fonte: apri PDF p.2
*Ratio length of strings / shorter piece (discs) *
(Dots 4) A circular section rope is cut into two pieces. Both are spirally rolled onto a table to produce approximately two discs. The radius of one of the two is twice the radius of the other. What is the relationship between the length of the whole rope and the length of the shortest piece? (If necessary, approximate the answer to the nearest integer.)
Answer: 5 src_kangourou_2018_student_semif__Q10
Probabilita di segnare il primo rigore dato p>=uno=0,999
(Punti 5) Marco deve tirare tre calci di rigore. Conoscendosi, sa che la probabilità di segnare è la stessa in tutti e tre e che quella di segnare in almeno uno dei tre è 0,999. Qual è la probabilità che riesca a segnare quando tira il primo rigore? (Indica le cifre decimali dopo la virgola fino alla quarta: ad es. se la probabilità fosse 0,81 scrivi la risposta come 8100.)
Topic: Probabilita e statistica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9000 Fonte: apri PDF p.2
Probability of scoring the first given string p>=one=0,999
Mark must throw three hard kicks. Knowing yourself, you know that the probability of scoring is the same in all three and that the probability of scoring in at least one of the three is 0.999. What’s the likelihood that he’ll score when he draws the first line? (Include decimal places after the comma up to the fourth: e.g. If the probability is 0.81, write the answer as 8100.)
Answer: 9000 src_kangourou_2018_student_semif__Q11
Quanti polinomi x^3+bx^2+cx+4 con p(2)=0 e b,c in [-2018,2018]
(Punti 5) Sia p (x) = x3 + bx2 + cx + 4, con b e c numeri interi relativi compresi fra - 2018 e 2018, estremi inclusi. Per quanti diversi polinomi p (x) si ha p (2) = 0 ?
Topic: Algebra Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi Risposta: 2019 Fonte: apri PDF p.2
How many polynomials x^3+bx^2+cx+4 with p(2)=0 and b,c in [-2018,2018]
(Points 5) Whether p (x) = x3 + bx2 + cx + 4, with b and c relative integers included between - 2018 and 2018, extremes included. For how many different polynomials p (x) do we have p (2) = 0 ?
Answer: 2019 src_kangourou_2018_student_semif__Q12
Numeri tra 1 e 9999 con somma prime due cifre = altre due
(Punti 6) Quanti numeri interi compresi fra 0001 e 9999 incluso sono tali che la somma delle pri me due cifre coincide con la somma delle altre due?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 669 Fonte: apri PDF p.2
Numbers between 1 and 9999 with the sum of the first two digits = two more
(Points 6) How many integers between 0001 and 9999 inclusive are such that the sum of the first two digits coincides with the sum of the other two?
Answer: 669 src_kangourou_2018_student_semif__Q13
Valori m e n con 46 nuovi tipi di biglietti
(Punti 6) Una compagnia ferroviaria gestisce una linea con m stazioni. Ne fa poi costruire altre n, con n > 1. Per ogni nuova tratta viene stampato un nuovo tipo di biglietto (attenzione: la tratta dalla stazione A alla stazione B è diversa da quella da B ad A). Se in totale vengono stampati 46 nuovi tipi di biglietti, quanto valgono, nell’ordine, m e n? (Ad esempio, se fosse m = 25 e n = 4, scrivi come risposta 2504.)
Topic: Combinatoria Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1102 Fonte: apri PDF p.2
Values m and n with 46 new ticket types
(Points 6) A railway company operates a line with m stations. He then builds other n’s, with n > 1. For each new route a new type of ticket is printed (note: the route from station A to station B is different from that from B to A). If a total of 46 new types of tickets are printed, how much are they worth, in order, m and n? (For example, if m = 25 and n = 4, write 2504.)
Answer: 1102 src_kangourou_2018_student_semif__Q14
Area del triangolo ABP con tangenti perpendicolari
(Punti 6) Due circonferenze α e β di centri rispettivamente A e B hanno raggi rispettivamente 10 e 20 e i due centri distano fra loro 10√2. Sia P un punto su β tale che le semirette tangenti ad α uscenti da P siano perpendicolari fra loro. Quanto vale l’area del triangolo ABP?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 100 Fonte: apri PDF p.2
Area of the ABP triangle with perpendicular tangents
(Points 6) Two centers α and β of centers A and B have radii of 10 and 20 respectively and the two centers are 10√2. P is a point on β such that the α tangent semicircles from P are perpendicular to each other. How much is the area of the ABP triangle?
Answer: 100 src_kangourou_2018_student_semif__Q15
Quante terne ordinate (a,b,c) interi con abc=45000
(Punti 7) Per quante terne ordinate (a, b, c) di numeri interi relativi accade che a × b × c = 45.000?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3600 Fonte: apri PDF p.2
How many whole ternes (a,b,c) are ordered with abc=45000
(Points 7) For how many ordered ternes (a, b, c) of relative integers does a × b × c = 45,000?
Answer: 3600 src_kangourou_2018_student_semif__Q16
Numero di lati n dell orto-poligono vicino a 2019
(Punti 7) Un orto-poligono nel piano è un poligono non intrecciato tale che ogni coppia di lati con secutivi sia costituita da lati fra loro perpendicolari. Di un orto-poligono di n lati si sa che, numerando a partire da 1 i suoi lati in uno dei due versi possibili, la lunghezza di ogni lato corrisponde al nu mero assegnato al lato stesso; si sa anche che n è l’intero più vicino possibile a 2019. Quanto vale n ?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 2016 Fonte: apri PDF p.2
Number of n sides of the garden near 2019
(Points 7) An ortho-polygon in the plane is an unwoven polygon such that each pair of consecutive sides consists of sides perpendicular to each other. A n-sided ortho-polygon is known that, by numbering its sides from 1 in one of the two possible vertices, the length of each side corresponds to the number assigned to the side itself; it is also known that n is the whole as close as possible to 2019. How much is n ?
Answer: 2016 src_kangourou_2018_student_semif__Q17
Minimo n per cui due interi hanno somma/diff div per 100
(Punti 8) Si vuole essere certi che, comunque vengano scelti n numeri interi positivi a due a due distinti, fra di essi ve ne siano almeno due la cui somma o la cui differenza è divisibile per 100. Qual è il più piccolo valore di n che consente di avere questa certezza?
0005 9000 2019 0669 1102 0100 3600 2016 0052
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 52 Fonte: apri PDF p.2
Minimum n for which two integers have sum/diff div for 100
(Points 8) It is to be ensured that, whatever positive integers are chosen, at least two of them have a sum or a difference of which is divisible by 100. What’s the smallest value of n that allows us to have this certainty?
0005 9000 2019 0669 1102 0100 3600 2016 0052
Answer: 52 src_kangourou_2018_student_semif__Q18