Quanti quadrati perfetti < 100 sono anche cubi perfetti
(Punti 2) Quanti numeri interi positivi che sono quadrati perfetti di un numero minore di 100 sono anche cubi perfetti? A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
How many perfect squares < 100 are also perfect cubes
(Points 2) How many positive integers that are perfect squares of a number less than 100 are also perfect cubes? A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
Answer: A src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q01
In quanti angoli identici a epsilon si ripartisce il piano
(Punti 3) Tracciando in un piano 5 semirette aventi tutte origine in uno stesso punto O, abbiamo ripartito il piano stesso in 5 angoli α, β, γ, δ, ε, tutti diversi tra loro. Altre ripartizioni del piano possono essere ottenute accostando (con vertice nel punto O) 3 angoli identici ad α, oppure 4 identici a β, oppure 5 identici a γ, oppu re 6 identici a δ. In quanti angoli identici a ε può essere ripartito il piano? A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
In how many angles identical to epsilon the plane is distributed
(Points 3) By tracing in a plane 5 semicircles all originating in the same point O, we divided the plane itself into 5 angles α, β, γ, δ, ε, all different from each other. Other plane distributions can be obtained by approximating (with vertices at point O) 3 angles identical to α, or 4 identical to β, or 5 identical to γ, or 6 identical to δ. In how many angles identical to ε can the plan be divided? A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24
Answer: D src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q02
Quale locale e al centro del corridoio (vincoli)
(Punti 3) I cinque locali di un circolo amatoriale di scacchi e bridge si affacciano tutti sullo stesso lato di un corridoio: oltre alla sala degli scacchi e quella del bridge, ci sono una biblioteca, un bar e una sala ristorante. Si sa che la biblioteca confina con la sala degli scacchi ma non con il bar, la sala ristorante confina sia con la sala del bridge sia con il bar e che quest’ultimo non è ad alcuna delle due estremità del corridoio. Quale locale si trova al centro del corridoio? A) La biblioteca
B) La sala degli scacchi
C) La sala ristorante D) La sala del bridge E) Il bar
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
*Which location and in the middle of the corridor (links) *
The five venues of an amateur chess and bridge club all overlook the same side of a hallway: besides the chess hall and the bridge hall, there is a library, a bar and a restaurant. It is known that the library borders on the chess room but not the bar, the restaurant room borders both the bridge room and the bar and that the latter is not at either end of the hall. Which restaurant is in the middle of the hallway? A) The library
B) The chess room
C) The restaurant room D) The bridge room E) The bar
Answer: E src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q03
Quale poligono non si puo staccare con un taglio
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0.000,0.000) -- (9.893,0.000) -- (8.221,5.131) -- (6.945,2.548) -- (4.981,6.548) -- (3.033,2.580) -- (1.758,5.216) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 4) Da un cartoncino abbiamo ritagliato un poligono di 7 lati come quello rappresentato in figura. Ora, con un solo taglio rettilineo, vogliamo staccare da que sto poligono un altro poligono (come questo, non regolare e neppure convesso) con un diverso numero di lati. Quale dei seguenti poligoni non possiamo staccare? A) Un pentagono
B) Un esagono
C) Un ottagono
D) Un decagono
E) Nessuna delle precedenti risposte è corretta
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Which polygon cannot be detached with a cut
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0.000,0.000) -- (9.893,0.000) -- (8.221,5.131) -- (6.945,2.548) -- (4.981,6.548) -- (3.033,2.580) -- (1.758,5.216) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{document}(Points 4) From a cardboard we carved a seven-sided polygon like the one shown in the figure. Now, with a single straight cut, we want to separate from this polygon another polygon (like this one, not regular or even convex) with a different number of sides. Which of the following polygons can’t be detached? A) A pentagon
(b) A hexagon
C) One octagon
D) A decagon
E) None of the above answers is correct
Answer: E src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q04
Quanti valori di A+B con A869B divisibile per 12
(Punti 4) A e B sono due cifre tali che il numero intero A869B sia divisibile per 12. Quanti possono essere i diversi valori della somma A + B? A) 4
B) 6
C) 8
D) 10 E) 12
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
How many A+B values with A869B divisible by 12
(Points 4) A and B are two digits such that the integer A869B is divisible by 12. How many different values of the sum A + B can be? A) 4
B) 6
C) 8
D) 10 E) 12
Answer: A src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q05
Minima somma dei quattro numeri d angolo nella griglia
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\fill[gray!60] (1.0,1.0) rectangle (2.0,2.0);
\draw (0,0) grid[step=1.0] (3.0,3.0);
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 4) In ognuna delle celle non ombreggiate della griglia in figura è stato scritto uno e un solo intero da 1 a 8 e tutti questi interi sono stati impiegati. Le quattro somme dei numeri nelle due righe e nelle due colonne ai bordi della griglia sono tutte uguali fra loro. Qual è il minimo valore possibile per la somma dei quattro numeri nelle celle d’angolo? A) 9
B) 10 C) 11 D) 12 E) 16
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Minimum sum of the four angular numbers in the grid
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\fill[gray!60] (1.0,1.0) rectangle (2.0,2.0);
\draw (0,0) grid[step=1.0] (3.0,3.0);
\end{tikzpicture}
\end{document}(Points 4) In each of the unshaded cells of the grid in the figure, one and only one integer from 1 to 8 was written and all these integers were used. The four sums of the numbers in the two rows and in the two columns at the edges of the grid are all equal to each other. What is the minimum possible value for the sum of the four numbers in the corner cells? A) 9
B) 10 C) 11 D) 12 E) 16
Answer: D src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q06
Quanti giorni minimo per cui la seconda proposta conviene
(Punti 5) Maria è in cerca di lavoro e deve valutare due diverse proposte salariali: la prima proposta preve de un salario giornaliero fisso di 100 euro per ogni giorno di lavoro; la seconda prevede un salario che cresce di 10 euro a ogni giornata di lavoro, incominciando il primo giorno con 50 euro e proseguendo il secondo con 60 euro e così via. Quanti giorni come minimo basta che lavori perché la seconda proposta diventi più vantaggiosa? A) 9
B) 10 C) 11 D) 12 E) 20
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Minimum number of days for which the second proposal is suitable
(Points 5) Maria is looking for work and has to consider two different salary proposals: the first proposal for a fixed daily wage of EUR 100 for each working day; the second one for a wage that increases by EUR 10 per working day, starting the first day with EUR 50 and continuing the second with EUR 60 and so on. How many days at least do you have to work for the second proposal to be more advantageous? A) 9
B) 10 C) 11 D) 12 E) 20
Answer: D src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q07
Numero al terzo posto con somme di consecutivi quadrati
(Punti 5) I numeri interi da 1 a 17 inclusi sono stati allineati in modo che la somma di due numeri con secutivi sia sempre un quadrato perfetto, che il numero al primo posto sia maggiore di quello all’ultimo (e ovviamente nell’allineamento ognuno compaia una e una sola volta). Che numero si trova nel terzo posto dell’allineamento? A) 14 B) 13 C) 4
D) 3
E) 1
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Number in third place with sums of consecutive squares
(Points 5) The integers from 1 to 17 included have been aligned so that the sum of two consecutive numbers is always a perfect square, that the number in the first place is greater than the number in the last (and of course in the alignment each one appears only once). What number is in the third position of the alignment? A) 14 B) 13 C) 4
D) 3
E) 1
Answer: E src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q08
Quanti diversi decori di esagoni con triangolini colorati
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\fill[gray!60] (2.500,4.344) -- (2.511,1.500) -- (0.000,0.014) -- cycle;
\fill[gray!60] (5.000,0.000) -- (2.511,1.487) -- (2.500,4.330) -- cycle;
\draw (0.000,0.014) -- (5.000,0.000) -- (2.500,4.344) -- cycle;
\draw (2.500,4.344) -- (2.511,1.494);
\draw (0.000,0.014) -- (2.511,1.494);
\draw (5.000,0.000) -- (2.511,1.494);
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 6) Accostando sei triangoli equilateri uguali si ottiene un esagono rego lare. Supponi che i triangoli equilateri di partenza siano ripartiti ciascuno in tre triangolini (uguali) con un vertice nel centro del triangolo equilatero, di cui due grigi e uno bianco (vedi figura). Supponi di accostarli in modo che lungo ciascu no dei lati di congiunzione dei triangoli equilateri compaiano sempre triangolini di ugual colore. Quanti diversi “decori” di esagoni potresti ottenere? A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
Quesiti a risposta aperta
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Sfruttamento della simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
How many different hexagonal decoration with coloured triangles
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\fill[gray!60] (2.500,4.344) -- (2.511,1.500) -- (0.000,0.014) -- cycle;
\fill[gray!60] (5.000,0.000) -- (2.511,1.487) -- (2.500,4.330) -- cycle;
\draw (0.000,0.014) -- (5.000,0.000) -- (2.500,4.344) -- cycle;
\draw (2.500,4.344) -- (2.511,1.494);
\draw (0.000,0.014) -- (2.511,1.494);
\draw (5.000,0.000) -- (2.511,1.494);
\end{tikzpicture}
\end{document}(Points 6) Approaching six equilateral triangles equals a regular hexagon. Assume that the starting equilateral triangles are each divided into three triangles (equal) with one vertex in the center of the equilateral triangle, of which two are grey and one is white (see figure). Suppose that they are brought together so that along each of the conjunction sides of the equilateral triangles there are always triangles of equal colour. How many different hexagonal decorations could you get? A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
Open-ended questions
Answer: B src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q09
Cifra al 2019-esimo posto della sequenza 20189102…
(Punti 4) Accostando alternatamente i numeri 2018 e 9102 si può ottenere una sequenza di cifre lunga quanto si vuole: 20189102201891022018910220189102201891022018910220189102… Qual è la cifra che si trova al 2019-esimo posto di questa sequenza (se si parte con 2018)?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 63 Fonte: apri PDF p.2
This is the total number of units of measurement for each unit of measurement.
(Points 4) Alternatively approaching the numbers 2018 and 9102 you can get a sequence of numbers as long as you want: 20189102201891022018910220189102201891022018910220189102201201201220189102201… What is the figure that is at the 2019-th place of this sequence (if you start with 2018)?
Answer: 63 src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q10
Valore di M numero a due cifre con Mk=2331*
(Punti 5) Davide ha scritto un numero intero positivo M di due cifre (significative). Ha notato che, molti plicandolo per un altro intero positivo minore di M, ottiene il numero 2331. Quanto vale M ?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 63 Fonte: apri PDF p.2
M value is a two digit number with Mk=2331*
David wrote a two-digit positive integer M (significant). He noted that, when many people ask for another positive integer less than M, he gets the number 2331. How much is M ?
Answer: 63 src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q11
Somma dei numeri nei vertici della faccia inferiore del cubo
(Punti 5) Luisa ha scritto alcuni numeri nei vertici di un cubo. Se calcola la somma dei numeri che stanno nei vertici della faccia che vede a destra ottiene 14; se calcola quella dei numeri che stanno nei vertici della faccia che vede a sinistra ottiene 22; se calcola quella dei numeri che stanno nei vertici della faccia superiore, ottiene 18. Qual è la somma dei numeri che stanno nei vertici della faccia inferiore?
Topic: Geometria solida, Algebra Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: 18 Fonte: apri PDF p.2
sum of numbers at the vertices of the lower face of the cube
Luisa wrote some numbers on the tips of a cube. If you count the sum of the numbers that are in the vertices of the face you see on the right, you get 14, if you count the numbers that are in the vertices of the face you see on the left, you get 22; if you count the numbers that are in the vertices of the top face, you get 18. What’s the sum of the numbers at the top of the bottom face?
Answer: 18 src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q12
Quanti minuti per riempire il serbatoio con 10 rubinetti
(Punti 6) Un serbatoio può essere riempito con 10 rubinetti. Uno di essi può riempirlo in 1 giorno; due dei rimanenti lo possono riempire ciascuno in 12 ore, 3 dei rimanenti lo possono riempire ciascuno in 8 ore e i rimanenti 4 lo possono riempire ciascuno in 6 ore. Se tutti i rubinetti vengono aperti simultaneamente, quanti minuti sono necessari (e sufficienti) per riempire il serbatoio?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 48 Fonte: apri PDF p.2
How many minutes to fill the tank with 10 taps
(Points 6) A tank can be filled with 10 taps. One of them can fill it in 1 day; two of the remaining can fill it each in 12 hours, three of the remaining can fill it each in 8 hours and the remaining 4 can fill it each in 6 hours. If all the taps are opened simultaneously, how many minutes (and enough) are needed to fill the tank?
Answer: 48 src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q13
Piu piccolo intero non pari, non quadrato, non primo, non mult3
(Punti 6) Qual è il più piccolo numero intero positivo che non è pari, non è un quadrato perfetto, non è un numero primo e non è multiplo di 3?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 35 Fonte: apri PDF p.2
Little whole number not equal, not square, not prime, not mult3
(Points 6) What is the smallest positive integer that is not equal, is not a perfect square, is not a prime number and is not a multiple of 3?
Answer: 35 src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q14
Quale carta non e stata pescata (resti mod 3,4,5)
(Punti 6) Da uno stesso mazzo di 7 sette carte, ognuna numerata con un diverso numero da 1 a 7, Alice, Bianca e Carla prendono ciascuna due carte. Scoprono che entrambe le carte pescate da Alice danno lo stesso resto quando divise per 3, entrambe quelle pescate da Bianca danno lo stesso resto quando divise per 4 ed entrambe quelle pescate da Carla danno lo stesso resto quando divise per 5. Quale carta non è stata pescata? Date come risposta 9999 se pensate che non sia possibile stabilirlo con certezza.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4 Fonte: apri PDF p.2
*Which paper has not been fished (residues mod 3.4,5) *
From the same deck of seven cards, each numbered with a different number from 1 to 7, Alice, Bianca, and Carla each take two cards. They find that both of Alice’s cards give the same remainder when she divides by 3, both of Bianca’s cards give the same remainder when she divides by 4, and both of Carla’s cards give the same remainder when she divides by 5. What paper hasn’t been caught? Give 9999 as an answer if you think it’s impossible to establish for sure.
Answer: 4 src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q15
Perimetro del rettangolo R diviso in 4 rettangoli
(Punti 7) Un rettangolo R è ripartito da due rette in 4 rettangoli. Si sa che tre dei perimetri di tali rettan goli sono 11 cm, 16 cm e 19 cm e che il perimetro del quarto non è né il più piccolo né il più grande. Quanti centimetri misura il perimetro del rettangolo R ?
Topic: Geometria piana, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: 30 Fonte: apri PDF p.2
Perimeter of rectangle R divided by 4 rectangles
(Points 7) A rectangle R is divided by two straight lines into 4 rectangles. It is known that three of the perimeter of these rectangles are 11 cm, 16 cm and 19 cm and that the perimeter of the fourth is neither the smallest nor the largest. How many centimeters does the perimeter of the R rectangle measure ?
Answer: 30 src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q16
Massimo pedine sul 21-agono con distanze tutte diverse
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw
(0.000,2.500) -- (-0.737,2.389) -- (-1.408,2.066) -- (-1.955,1.559) -- (-2.327,0.913) --
(-2.493,0.187) -- (-2.437,-0.556) -- (-2.165,-1.250) -- (-1.700,-1.833) -- (-1.085,-2.252) --
(-0.373,-2.472) -- (0.373,-2.472) -- (1.085,-2.252) -- (1.700,-1.833) -- (2.165,-1.250) --
(2.437,-0.556) -- (2.493,0.187) -- (2.327,0.913) -- (1.955,1.559) -- (1.408,2.066) --
(0.737,2.389) -- cycle;
\foreach \x/\y in {
0.000/2.500, -0.737/2.389, -1.408/2.066, -1.955/1.559, -2.327/0.913,
-2.493/0.187, -2.437/-0.556, -2.165/-1.250, -1.700/-1.833, -1.085/-2.252,
-0.373/-2.472, 0.373/-2.472, 1.085/-2.252, 1.700/-1.833, 2.165/-1.250,
2.437/-0.556, 2.493/0.187, 2.327/0.913, 1.955/1.559, 1.408/2.066, 0.737/2.389
} {
\draw[fill=white] (\x,\y) circle (0.12);
}
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 7) In figura vedi un poligono regolare di 21 lati. Andrea ha molte pedine che vuole disporre sui vertici di tale poligono in modo tale che, per ogni coppia di vertici coperti da pedine, le distanze tra i vertici siano tutte differenti. Quante pedine al massimo può posizionare?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 5 Fonte: apri PDF p.2
Major pedals on the 21-axle with all different distances
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw
(0.000,2.500) -- (-0.737,2.389) -- (-1.408,2.066) -- (-1.955,1.559) -- (-2.327,0.913) --
(-2.493,0.187) -- (-2.437,-0.556) -- (-2.165,-1.250) -- (-1.700,-1.833) -- (-1.085,-2.252) --
(-0.373,-2.472) -- (0.373,-2.472) -- (1.085,-2.252) -- (1.700,-1.833) -- (2.165,-1.250) --
(2.437,-0.556) -- (2.493,0.187) -- (2.327,0.913) -- (1.955,1.559) -- (1.408,2.066) --
(0.737,2.389) -- cycle;
\foreach \x/\y in {
0.000/2.500, -0.737/2.389, -1.408/2.066, -1.955/1.559, -2.327/0.913,
-2.493/0.187, -2.437/-0.556, -2.165/-1.250, -1.700/-1.833, -1.085/-2.252,
-0.373/-2.472, 0.373/-2.472, 1.085/-2.252, 1.700/-1.833, 2.165/-1.250,
2.437/-0.556, 2.493/0.187, 2.327/0.913, 1.955/1.559, 1.408/2.066, 0.737/2.389
} {
\draw[fill=white] (\x,\y) circle (0.12);
}
\end{tikzpicture}
\end{document}(Points 7) In the figure you see a regular polygon of 21 sides. Andrea has a lot of pedals that she wants to place on the vertices of this polygon so that, for each pair of pedal-covered vertices, the distances between the vertices are all different. How many pedals can he place?
Answer: 5 src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q17
Rapporto eta mamma/Mara tra lo stesso numero di anni
(Punti 8) Oggi è il compleanno di Mara e di sua mamma: l’età della mamma è il quintuplo di quella di Mara e un certo numero di anni fa era addirittura sette volte l’età di Mara. Tra lo stesso numero di anni, divi dendo l’età della mamma per quella di Mara che numero si otterrà?
0001 0063 0018 0048 0035 0004 0030 0005 0004
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4 Fonte: apri PDF p.2
*Mother/Mother ratio between the same number of years *
Today is the birthday of Mara and her mother: her mother’s age is five times Mara’s and a number of years ago it was even seven times Mara’s. Between the same number of years, dividing the age of the mother by that of Mara, what number will be obtained?
0001 0063 0018 0048 0035 0004 0030 0005 0004
Answer: 4 src_kangourou_2019_benjamin_semif__Q18