Kangourou 2019 Finale nazionale Junior

Punti interi nel cerchio raggio 10 centrato origine

l’anno N in esame: nei 4 anni successivi si aggiungono giorni secondo lo schema: 1+1+1+2,

Topic: Geometria analitica, Teoria dei Numeri Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0317 Fonte: apri PDF p.1

Integer points in the radius 10 centered circle of origin

year N: in the following 4 years, days are added according to the scheme: 1+1+1+2,

Answer: 0317 src_kangourou_2019_junior_finale__Q01

Area superficie totale del tetraedro

l’anno N + 1: nei 4 anni successivi si aggiungono giorni secondo lo schema: 2+1+1+1,

Topic: Geometria solida Abilita: Stima e approssimazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0076 Fonte: apri PDF p.1

Total area of the tetrahedron

year N + 1: in the following 4 years days are added according to the scheme: 2+1+1+1,

Answer: 0076 src_kangourou_2019_junior_finale__Q02

Numero 4 cifre automorfico (ultime 4 cifre del quadrato)

l’anno N + 2: nei 4 anni successivi si aggiungono giorni secondo lo schema: 1+2+1+1,

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9376 Fonte: apri PDF p.1

*Number 4 automorphic digits (last 4 digits of the square) *

year N + 2: in the following 4 years days are added according to the scheme: 1+2+1+1,

Answer: 9376 src_kangourou_2019_junior_finale__Q03

Probabilita che Giulio totalizzi per primo due vittorie

l’anno N + 3: nei 4 anni successivi si aggiungono giorni secondo lo schema: 1+1+2+1. Dopo i primi 20 anni necessari per aggiungere 25 giorni, bastano altri 3 anni nel primo caso e solo altri 2 nel secondo e nel terzo caso per aggiungere un mese lunare; invece, nel quarto caso 22 anni aggiungono solo 27 giorni e 23 ne aggiungono 29: per aggiungere 28+28=56=55+1 giorni, basta far passare 44 + 1 = 45 anni. Se invece il giorno in esame è compreso tra il 1/1 e il 28/2, gli schemi sono gli stessi ma slittati (2→1, 3→2, 4→3, 1→4). In ogni caso non si arriva mai a 2100. (**) Più in generale si può notare che il più lungo intervallo di tempo minimo dopo il quale si ripresenta una certa fase lunare il 29 febbraio è sempre non maggiore di 248 anni. Dato che il periodo minimo con cui si ripresenta la sequenza di anni bisestili è di 400 anni basta verificare che cosa succede ad esempio negli anni da 2000 compreso a 2400 escluso. • Se l’anno di partenza ha la forma 2000 + 4K o 2100 + 4K o 2200 + 4K con 8 < K < 25 dopo 68 anni si ripete la situazione di partenza: infatti nei 17 quadrienni in esame uno contiene un anno multiplo di 4 non bisestile e 5 × 16 + 4 = 84 = 4 × 28. • Se l’anno di partenza ha la forma 2300 + 4K con 0 ≤ K < 22 la situazione si ripete dopo 112 anni, dato che l’intervallo contiene 2400 (che è bisestile) ma non 2500; se ha la stessa forma ma 22 ≤ K < 25 devono passare 180 anni, poiché dopo 112 anni avanza un giorno (visto che l’intervallo contiene 2500) e per compensarlo servono gli altri 27 giorni che si accumulano nei successivi 44 anni (tutti bisestili visto che 2480 + 4K < 2600). • Se l’anno di partenza ha la forma 2000 + 4K con 0 ≤ K < 5, dopo 68 anni non si supera 2100 e quindi avanza un giorno, ma dopo altri 112 anni tale giorno viene perso in quanto si perde un bisestile (uno solo poiché, se K < 5, 2180 + 4K < 2200) e quindi servono in tutto 180 anni. Lo stesso succede con anni della forma 2100 + 4K, 2200

4K con 0 ≤ K < 5. • Se l’anno di partenza ha la forma 2000 + 4K o 2100 + 4K con 5 ≤ K ≤ 8, valgono le considerazioni fatte sopra e quindi servono 248 anni. Invece se ha la forma 2200 + 4K con 5 ≤ K ≤ 8 bastano 180 anni poiché dopo 68 anni avanza un giorno che viene che viene recuperato nei restanti 112 anni che comprendono il 2300 non bisestile e il bisestile 2400.

J5. (18 punti ) Per quali numeri interi non negativi n, il numero 55n+1 + 45n+2 +35n è divisibile per 11?

Risposta: Per tutti.

Topic: Probabilita e statistica Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2027 Fonte: apri PDF p.1

The probability that Giulio will total the first two wins.

year N + 3: in the following 4 years days are added according to the scheme: 1+1+2+1. After the first 20 years necessary to add 25 days, it takes another 3 years in the first case and only another 2 in the second and third cases to add a lunar month; instead, in the fourth case, 22 years add only 27 days and 23 add 29: to add 28+28=56=55+1 days, just pass 44 + 1 = 45 years. However, if the day in question is between 1/1 and 28/2, the patterns are the same but split (2→1, 3→2, 4→3, 1→4). You never get to 2100 anyway. (**) More generally, it can be noted that the longest minimum time interval after which a certain lunar phase occurs on 29 February is always no longer than 248 years. Since the minimum period in which the bi-annual sequence is represented is 400 years, it is sufficient to verify what happens, for example, in the years from 2000 to 2400 excluded. • If the year of departure is 2000 + 4K or 2100 + 4K or 2200 + 4K with 8 < K < 25 after 68 years, the starting situation is repeated: in fact, in the 17 quadrennials under consideration, one has a multiple year of 4 non-biestyle years and 5 × 16 + 4 = 84 = 4 × 28. • If the starting year is 2300 + 4K with 0 ≤ K < 22 the situation repeats itself after 112 years, since the interval contains 2400 (which is bisestile) but not 2500; if it has the same shape but 22 ≤ K < 25 must pass 180 years, since after 112 years one day advances (since the interval contains 2500) and to compensate for it the other 27 days that accumulate over the next 44 years (all bisestiles since 2480 + 4K < 2600). • If the starting year is 2000 + 4K with 0 ≤ K < 5, after 68 years it does not exceed 2100 and then advances one day, but after another 112 years that day is lost as one bisetle is lost (one only because, if K < 5, 2180 + 4K < 2200) and thus serve in all 180 years. The same thing happens with years of the form 2100 + 4K, 2200 + 4K with 0 ≤ K < 5. • If the starting year is 2000 + 4K or 2100 + 4K with 5 ≤ K ≤ 8, the above considerations are valid and therefore 248 years are required. Instead, if it has the form 2200 + 4K with 5 ≤ K ≤ 8 is enough 180 years because after 68 years one day goes by which is recovered in the remaining 112 years which include the 2300 non-biestile and the 2400 bisestile.

J5. (18 points) For which non-negative integers n, the number 55n+1 + 45n+2 + 35n is divisible by 11?

Answer: For all of us.

Answer: 2027 src_kangourou_2019_junior_finale__Q04

Allineamenti di sei cifre monotoni non tutti uguali

Una sala ha cinque porte: da ognuna di esse si può sia entrare sia uscire. Se vuoi entrare e uscire da due porte diverse, in quanti modi puoi farlo?

(A) 25

(B) 20

(C) 16

(D) 15

(E) 10

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9990 Fonte: apri PDF p.1

Alignments of six monotonous digits not all equal

A room has five doors: from each of them you can either enter or exit. If you want to go in and out of two different doors, how many ways can you do that?

(A) 25

(B) 20

(C) 16

(D) 15

(E) 10

Answer: 9990 src_kangourou_2019_junior_finale__Q05

Quanti n con [n/20]=[n/17]

Tre oggetti pesano ciascuno un numero intero di chili, ma hanno pesi a due a due diversi. Complessivamente pesano 97 chili. Quanti chili può pesare al massimo l’oggetto più leggero?

(A) 1

(B) 30

(C) 31

(D) 32

(E) 33

Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0056 Fonte: apri PDF p.1

Quantities n with [n/20]=[n/17]

Three objects each weigh an integer of kilograms, but they weigh two to two different things. In total, they weigh 200 pounds. How many kilos can the lightest object weigh at most?

(A) 1

(B) 30

(C) 31

(D) 32

(E) 33

Answer: 0056 src_kangourou_2019_junior_finale__Q06

Angolo convesso P’OQ’ dopo tre ore di corsa

Il quadrato nella figura a lato è ottenuto accostando 9 quadratini identici ed è ripartito in tre settori angolari. $α$ e $β$ sono le misure in gradi di due dei tre angoli che vengono così individuati. Quale delle seguenti uguaglianze è vera?

(A) $α = β$

(B) $β = 30°$

(C) $α + β = 60°$

(D) $2 β + α = 90°$

(E) Nessuna. (vedi figura)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0010 Fonte: apri PDF p.1

P’OQ’ convex angle after three hours of running

The square in the side figure is obtained by approximating 9 identical squares and is divided into three angular sectors. $α$ and $β$ are the measurements in degrees of two of the three angles thus identified. Which of the following equations is true?

(A) $α = β$

(B) $β = 30°$

(C) $α + β = 60°$

(D) $2 β + α = 90°$

(E) - None of them. (see figure)

Answer: 0010 src_kangourou_2019_junior_finale__Q07

Minimo numero di punti medi distinti per 2019 punti

Un quadrato è stato parzialmente ombreggiato nei cinque diversi modi elencati nelle figure. In quale dei disegni l’area della parte ombreggiata è massima?

(A) (vedi figura A)

(B) (vedi figura B)

(C) (vedi figura C)

(D) (vedi figura D)

(E) (vedi figura E) (vedi figura)

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 4035 Fonte: apri PDF p.2

Minimum number of distinct mean points for 2019 points

A square has been partially shaded in the five different ways listed in the figures. In which of the drawings is the area of the shaded part the largest?

(A) (see Figure A)

(B) (see Figure B)

(C) (see Figure C)

(D) (see Figure D)

(E) (see Figure E) (see Figure)

Answer: 4035 src_kangourou_2019_junior_finale__Q08

Numero iniziale ABC2 da relazione con riordino

Una bevanda va confezionata miscelando sciroppo di lampone e acqua nel rapporto $1 : 7$ . Una bottiglia da mezzo litro è piena di sciroppo di lampone. Che frazione del contenuto di quella bottiglia si dovrà usare per confezionare due litri di bevanda?

(A) $\frac{1}{4}$

(B) $\frac{1}{2}$

(C) $\frac{2}{7}$

(D) $\frac{4}{7}$

(E) $1$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1622 Fonte: apri PDF p.3

Initial number ABC2 by correlation with reorder

A beverage should be packaged by mixing raspberry syrup with water in the $1 : 7$ ratio. A half-liter bottle is full of raspberry syrup. What fraction of the contents of that bottle will be used to pack two liters of beverage?

(A) $\frac{1}{4}$

(B) $\frac{1}{2}$

(C) $\frac{2}{7}$

(D) $\frac{4}{7}$

(E) $1$

Answer: 1622 src_kangourou_2019_junior_finale__Q09

Coppie di numeri (3 decimali) con somma = prodotto

Tre numeri di cinque cifre sono stati scritti ciascuno su una targa. La figura mostra come sono sovrapposte le targhe e le cifre rimaste visibili. Si sa che la somma dei tre numeri vale 57263. Quali sono le cifre nascoste?

(A) 0, 2 e 2.

(B) 2, 4 e 9.

(C) 2, 7 e 8.

(D) 5, 7 e 8.

(E) Nessuna delle terne precedenti. (vedi figura)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0050 Fonte: apri PDF p.2

Pairs of numbers (3 decimals) with sum = product

Three five-digit numbers were each written on a plate. The figure shows how the plates and figures that remain visible are overlapped. You know the sum of the three numbers is 57263. What are the hidden numbers?

(A) 0, 2 e 2.

(B) 2, 4 e 9.

(C) 2, 7 e 8.

(D) 5, 7 e 8.

(E) None of the previous ones. (see figure)

Answer: 0050 src_kangourou_2019_junior_finale__Q10

Lato incognito dei sei rettangoli nella circonferenza

I vertici di un quadrato sono, in senso orario, $A$ , $B$ , $C$ e $D$ . I vertici di un triangolo equilatero sono, in senso orario, $A$ , $B$ e $E$ , dove $A$ e $B$ sono gli stessi vertici del quadrato. Qual è la misura in gradi dell’angolo $∠ C B E$ ?

(A) 30

(B) 45

(C) 135

(D) 145

(E) 150

Topic: Geometria piana Abilita: Stima e approssimazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0119 Fonte: apri PDF p.2

Unknown side of the six rectangles in circumference

The vertices of a square are $A$ , $B$ , $C$ and $D$ in the time direction. The vertices of an equilateral triangle are $A$ , $B$ and $E$ in the time direction, where $A$ and $B$ are the same vertices of the square. What is the measurement in degrees of the angle $∠ C B E$ ?

(A) 30

(B) 45

(C) 135

(D) 145

(E) 150

Answer: 0119 src_kangourou_2019_junior_finale__Q11

Prime quattro cifre decimali di (sqrt50+7)^4

I numeri $a$ , $b$ , $c$ e $d$ sono quattro diversi interi fra 1 e 10, estremi inclusi. Qual è il più piccolo valore possibile per l’espressione $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ ?

(A) $\frac{2}{10}$

(B) $\frac{3}{19}$

(C) $\frac{14}{45}$

(D) $\frac{29}{90}$

(E) $\frac{25}{72}$

First four decimal places of (sqrt50+7)^4

The numbers $a$ , $b$ , $c$ and $d$ are four different integers between 1 and 10, extremes included. What is the smallest possible value for $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ ?

(A) $\frac{2}{10}$

(B) $\frac{3}{19}$

(C) $\frac{14}{45}$

(D) $\frac{29}{90}$

(E) $\frac{25}{72}$

Answer: 9999 src_kangourou_2019_junior_finale__Q12

Punti raggiungibili con tre mosse (invariante MCD)

Il triathlon è una disciplina che richiede di svolgere tre prove: nuoto, corsa a piedi e corsa in bicicletta. Si deve pedalare per tre quarti della distanza totale da percorrere, correre a piedi per un quinto della distanza totale e il percorso da coprire a nuoto è lungo 2 km. Quanti chilometri è lungo l’intero percorso?

(A) 10

(B) 20

(C) 38

(D) 40

(E) 60

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2664 Fonte: apri PDF p.2

*Three-step achievable points (invariant MCD) *

Triathlon is a discipline that requires three trials: swimming, running, and cycling. Three-quarters of the total distance to be covered shall be cycled, one-fifth of the total distance shall be covered on foot, and the distance to be covered by swimming shall be 2 km. How many miles is the entire route?

(A) 10

(B) 20

(C) 38

(D) 40

(E) 60

Answer: 2664 src_kangourou_2019_junior_finale__Q14

Modi di programmare gli inviti a tre feste

Un rettangolo $3 \times 2$ può essere piastrellato con piastrelle a forma di “L” nei due diversi modi mostrati. In quanti diversi modi può essere piastrellata, con piastrelle dello stesso tipo, la figura indicata?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 48 (vedi figura)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2880 Fonte: apri PDF p.2

How to schedule three party invitations

A rectangle $3 \times 2$ may be tiled with L-shaped tiles in the two different ways shown. How many different ways can the figure be tiled with tiles of the same type?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 48 (see figure)

Answer: 2880 src_kangourou_2019_junior_finale__Q15

Strategia vincente nel gioco dei 66 gettoni (chi prende l ultimo perde)

Gianni ed Elvira giocano in questo modo. Ci sono 66 gettoni sul tavolo: ad ogni turno ognuno di essi può prendere 1 o 2 o 3 o 4 o 5 gettoni. Chi è costretto a prendere l’ultimo gettone perde. Elvira, che vuole vincere, vuole a tutti i costi essere lei ad iniziare. Perché?

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 35 Fonte: apri PDF p.1

*Winning strategy in the 66-token game (who takes the last loss) *

Gianni and Elvira play like this. There are 66 tokens on the table, each of which can take 1 or 2 or 3 or 4 or 5 tokens at each turn. Whoever is forced to take the last token loses. Elvira, who wants to win, wants to be the one to start at all costs. Why? Why?

Answer: 35 src_kangourou_2019_junior_finale__QJ1

Minima somma di 4 interi ai vertici con vincoli di divisibilita

In ogni vertice di un quadrato è stato scritto un intero positivo. Se due vertici sono adiacenti, uno dei due interi corrispondenti divide l’altro; se due vertici sono opposti, nessuno dei due interi corrispondenti divide l’altro. Qual è il più piccolo valore possibile per la somma di questi quattro interi?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 35 Fonte: apri PDF p.1

Minimum sum of 4 integers at vertices with divisibility constraints

Every vertex of a square has a positive integer written on it. If two vertices are adjacent, one of the two corresponding integers divides the other; if two vertices are opposite, neither of the two corresponding integers divides the other. What’s the smallest possible value for the sum of these four integers?

Answer: 35 src_kangourou_2019_junior_finale__QJ2

Possono Bruno e Carlo avere un giorno di riposo comune (programmi sportivi)

Bruno e Carlo praticano tre sport: calcio, pallavolo e nuoto, non più di uno al giorno. Un giorno di calcio deve essere seguito da due giorni di riposo, un giorno di pallavolo da un giorno di riposo, un giorno di nuoto non richiede giorni di riposo e può sostituire un giorno di riposo. Ciascuno ha un programma di allenamento che si ripete periodicamente: in ogni periodo ognuno pratica ogni sport lo stesso numero di volte e l’intervallo minimo di tempo che trascorre tra due volte consecutive in cui uno di loro pratica uno stesso sport è lo stesso per tutti gli sport. Inoltre il programma prevede che i giorni di riposo siano ridotti al minimo possibile. Bruno e Carlo hanno iniziato ciascuno il proprio programma lo stesso giorno. Oggi stanno praticando sport diversi e vorrebbero andare a divertirsi nel primo giorno che sia di riposo per entrambi. Possono essere certi di riuscire nel loro intento?

Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

*Bruno and Carlo can have a day of rest together (sports programmes) *

Bruno and Carlo practice three sports: soccer, volleyball, and swimming, no more than one a day. A day of football must be followed by two days of rest, a day of volleyball by one day of rest, a day of swimming does not require days of rest and may replace a day of rest. Each person has a training programme that is repeated periodically: in each period each person practices each sport the same number of times and the minimum interval of time between two consecutive times in which one of them practices the same sport is the same for all sports. The programme also provides for the reduction of rest days to the minimum possible. Bruno and Carlo each started their own program on the same day. They’re doing different sports today and they’d like to go out and have fun on the first day of rest for both of them. Can they be sure that they will succeed in their endeavor?

src_kangourou_2019_junior_finale__QJ3

Dopo quanti anni torna la luna piena stesso giorno (ciclo 28 gg)

l’anno N + 3: nei 4 anni successivi si aggiungono giorni secondo lo schema: 1+1+2+1. Dopo i primi 20 anni necessari per aggiungere 25 giorni, bastano altri 3 anni nel primo caso e solo altri 2 nel secondo e nel terzo caso per aggiungere un mese lunare; invece, nel quarto caso 22 anni aggiungono solo 27 giorni e 23 ne aggiungono 29: per aggiungere 28+28=56=55+1 giorni, basta far passare 44 + 1 = 45 anni. Se invece il giorno in esame è compreso tra il 1/1 e il 28/2, gli schemi sono gli stessi ma slittati (2→1, 3→2, 4→3, 1→4). In ogni caso non si arriva mai a 2100. (**) Più in generale si può notare che il più lungo intervallo di tempo minimo dopo il quale si ripresenta una certa fase lunare il 29 febbraio è sempre non maggiore di 248 anni. Dato che il periodo minimo con cui si ripresenta

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 248 Fonte: apri PDF p.3

*After how many years the full moon returns on the same day (cycle 28 days) *

year N + 3: in the following 4 years days are added according to the scheme: 1+1+2+1. After the first 20 years necessary to add 25 days, it takes another 3 years in the first case and only another 2 in the second and third cases to add a lunar month; instead, in the fourth case, 22 years add only 27 days and 23 add 29: to add 28+28=56=55+1 days, just pass 44 + 1 = 45 years. However, if the day in question is between 1/1 and 28/2, the patterns are the same but split (2→1, 3→2, 4→3, 1→4). You never get to 2100 anyway. (**) More generally, it can be noted that the longest minimum time interval after which a certain lunar phase occurs on 29 February is always no longer than 248 years. Since the minimum period for which it is represented

Answer: 248 src_kangourou_2019_junior_finale__QJ4

Per quali n il numero 5^(5n+1)+4^(5n+2)+3^(5n) e divisibile per 11

Per quali numeri interi non negativi $n$ , il numero $5^{5 n + 1} + 4^{5 n + 2} + 3^{5 n}$ è divisibile per 11?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: tutti Fonte: apri PDF p.4

For which n the number 5^(5n+1)+4^(5n+2)+3^(5n) is divisible by 11

For which non-negative integers $n$ , the number $5^{5 n + 1} + 4^{5 n + 2} + 3^{5 n}$ is divisible by 11?

Answer: tutti src_kangourou_2019_junior_finale__QJ5

Circocentro di AEF giace sulla semiretta AB (triangolo acutangolo ortocentro)

$A B C$ è un triangolo acutangolo di ortocentro $H$ , con il lato $A B$ più lungo del lato $A C$ ; denota con $E$ il punto simmetrico di $C$ rispetto all’altezza condotta da $A$ e con $F$ l’intersezione della retta passante per $E$ e $H$ con la retta passante per $A$ e $C$ . Dimostra che il circocentro del triangolo $A E F$ giace sulla semiretta uscente da $A$ e passante per $B$ .

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

*AEF circle lies on the semicircle AB (acute triangle orthocentric) *

$A B C$ is an orthocentric triangle $H$ , with the side $A B$ longer than the side $A C$ ; denotes with $E$ the symmetrical point of $C$ with respect to the height of $A$ and with $F$ the intersection of the passing line for $E$ and $H$ with the passing line for $A$ and $C$ . It shows that the circumcenter of the $A E F$ triangle lies on the semicircle exiting $A$ and passing through $B$ .

src_kangourou_2019_junior_finale__QJ6

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