Punti interi nel cerchio raggio 10 centrato origine
Coordinate intere Quanti punti a coordinate entrambe intere appartengono al cerchio di raggio 10 centrato nell’origine, circonferenza inclusa? (Si intende che il piano venga dotato di un usuale sistema cartesiano ortogonale monometrico.)
Topic: Geometria analitica, Teoria dei Numeri Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0317 Fonte: apri PDF p.1
Integer points in the circle of radius 10 centered at the origin
Integer coordinates How many points with both coordinates integers belong to the circle of radius 10 centered at the origin, circumference included? (It is intended that the plane be given a usual orthogonal monometric Cartesian system.)
Answer: 0317 src_kangourou_2019_squadre_junior_f__Q01
Area superficie totale del tetraedro
Il tetraedro La figura mostra un tetraedro il cui vertice S si proietta perpendicolarmente in P sul piano che contiene la faccia PQR. Tale faccia è un triangolo rettangolo; gli spigoli SQ, SR e RQ sono tutti lunghi 8 cm. Qual è l’intero più vicino al numero che rappresenta l’area della superficie totale del tetraedro, espressa in centimetri quadrati?
Topic: Geometria solida Abilita: Stima e approssimazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0076 Fonte: apri PDF p.1
Total area of the tetrahedron
The tetrahedron The figure shows a tetrahedron whose vertex S projects perpendicularly to P onto the plane containing the face PQR. This face is a right triangle; the edges SQ, SR and RQ are all 8 cm long. What is the integer closest to the number that represents the area of the total surface of the tetrahedron, expressed in square centimeters?
Answer: 0076 src_kangourou_2019_squadre_junior_f__Q02
Numero 4 cifre automorfico (ultime 4 cifre del quadrato)
Le cifre del quadrato Esiste un solo numero intero positivo di quattro cifre tale che le ultime quattro cifre del suo quadrato siano il numero stesso. Qual è?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9376 Fonte: apri PDF p.1
Number 4 automorphic digits (last 4 digits of the square)
The digits of the square There is only one positive four-digit integer such that the last four digits of its square are the number itself. What is it?
Answer: 9376 src_kangourou_2019_squadre_junior_f__Q03
Probabilita che Giulio totalizzi per primo due vittorie
Il tennis Giulio e Piero giocano alcune partite a tennis. Giulio, che è più bravo, in ogni partita ha 2/3 di probabilità di vincere. Qual è la probabilità che sia Giulio a totalizzare per primo due vittorie? (Scrivete nell’ordine il numeratore e il denominatore della frazione ridotta ai minimi termini.)
Topic: Probabilita e statistica Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2027 Fonte: apri PDF p.1
Probability that Giulio totals two wins first
Tennis Giulio and Piero play several tennis matches. Giulio, who is better, in each match has 2/3 probability of winning. What is the probability that Giulio is the first to total two wins? (Write in order the numerator and the denominator of the fraction reduced to lowest terms.)
Answer: 2027 src_kangourou_2019_squadre_junior_f__Q04
Allineamenti di sei cifre monotoni non tutti uguali
Gli allineamenti Quanti diversi allineamenti formati da sei delle cifre da 0 a 9 si possono costruire, se in ogni allineamento si consente che le cifre possano essere ripetute, ma non tutte uguali, e compaiano in ordine (non strettamente) crescente o decrescente?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9990 Fonte: apri PDF p.1
Alignments of six monotonous digits not all equal
The arrangements How many different arrangements made up of six of the digits from 0 to 9 can be constructed, if in each arrangement the digits are allowed to be repeated, but not all equal, and appear in (not strictly) increasing or decreasing order?
Answer: 9990 src_kangourou_2019_squadre_junior_f__Q05
Quanti n con [n/20]=[n/17]
La parte intera Per ogni numero reale x, con il simbolo [x] si denota il più grande intero che non supera x. Quanti interi positivi n sono tali che [n/20] = [n/17] ?
Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0056 Fonte: apri PDF p.1
How many n with [n/20]=[n/17]
The integer part For every real number x, the symbol [x] denotes the largest integer that does not exceed x. How many positive integers n are such that [n/20] = [n/17] ?
Answer: 0056 src_kangourou_2019_squadre_junior_f__Q06
Angolo convesso P’OQ’ dopo tre ore di corsa
Il circuito Gino e Lino corrono su un circuito circolare di centro O (vedere la figura): Gino parte dal punto P e si muove in verso anti-orario, Lino parte dal punto Q e si muove in verso orario. L’angolo POQ misura 10 gradi. Partono allo stesso istante e nella prima ora ciascuno percorre un quarto del circuito; allo scadere di ogni ora successiva, la velocità media tenuta risulta due terzi della velocità media tenuta nell’ora precedente. Dette P’ la posizione di Gino e Q’ quella di Lino dopo tre ore di corsa, quanti gradi misura l’angolo convesso P’OQ’?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0010 Fonte: apri PDF p.1
P’OQ’ convex angle after three hours of running
The circuit Gino and Lino run on a circular circuit with center O (see the figure): Gino starts from point P and moves counterclockwise, Lino starts from point Q and moves clockwise. The angle POQ measures 10 degrees. They start at the same instant and in the first hour each covers a quarter of the circuit; at the end of each subsequent hour, the average speed maintained turns out to be two thirds of the average speed maintained in the previous hour. Let P’ be the position of Gino and Q’ that of Lino after three hours of running, how many degrees does the convex angle P’OQ’ measure?
Answer: 0010 src_kangourou_2019_squadre_junior_f__Q07
Minimo numero di punti medi distinti per 2019 punti
I punti medi Si considerino 2019 punti distinti in un piano. Per ogni coppia di tali punti si consideri il punto medio del segmento individuato dalla coppia e sia S l’insieme di tali punti medi (eventuali punti medi coincidenti individuano un solo elemento di S). Qual è il minimo numero possibile per gli elementi di S?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 4035 Fonte: apri PDF p.2
Minimum number of distinct mean points for 2019 points
The midpoints Consider 2019 distinct points in a plane. For every pair of such points consider the midpoint of the segment determined by the pair and let S be the set of such midpoints (any coinciding midpoints identify a single element of S). What is the minimum possible number for the elements of S?
Answer: 4035 src_kangourou_2019_squadre_junior_f__Q08
Numero iniziale ABC2 da relazione con riordino
Un numero di 4 cifre La cifra delle unità di un numero di quattro cifre significative è 2. Se la si sposta al primo posto, facendola diventare la cifra delle migliaia e lasciando inalterato l’ordine delle altre, i ¾ del numero che si ottiene è un numero che differisce di 0,5 dal numero iniziale. Qual è il numero iniziale?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1622 Fonte: apri PDF p.2
Initial number ABC2 by correlation with reorder
A 4-digit number The units digit of a four-digit number with significant digits is 2. If it is moved to the first place, making it the thousands digit and leaving the order of the others unchanged, ¾ of the number obtained is a number that differs by 0.5 from the initial number. What is the initial number?
Answer: 1622 src_kangourou_2019_squadre_junior_f__Q09
Coppie di numeri (3 decimali) con somma = prodotto
Somma e prodotto Quante coppie di numeri non negativi, che si scrivono in notazione decimale con al più tre cifre dopo la virgola, hanno la loro somma uguale al loro prodotto? (Considerate come due coppie distinte le coppie in cui gli elementi sono scambiati come ad esempio (1,5; 3) e (3; 1,5))
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0050 Fonte: apri PDF p.2
Pairs of numbers (3 decimals) with sum = product
Sum and product How many pairs of non-negative numbers, written in decimal notation with at most three digits after the decimal point, have their sum equal to their product? (Consider as two distinct pairs the pairs in which the elements are swapped, such as (1.5; 3) and (3; 1.5))
Answer: 0050 src_kangourou_2019_squadre_junior_f__Q10
Lato incognito dei sei rettangoli nella circonferenza
I sei rettangoli In figura vedete una circonferenza di raggio 25 dm all’interno della quale sono disposti sei rettangoli, a due a due congruenti, ciascuno con due vertici sulla circonferenza e gli altri due condivisi con i rettangoli adiacenti. Il lato dei rettangoli avente solo un estremo sulla circonferenza misura 14 dm. Qual è l’intero più vicino alla lunghezza in centimetri dell’altro lato?
Topic: Geometria piana Abilita: Stima e approssimazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0119 Fonte: apri PDF p.2
Unknown side of the six rectangles in circumference
The six rectangles In the figure you see a circle of radius 25 dm inside which six rectangles are arranged, congruent two by two, each with two vertices on the circle and the other two shared with the adjacent rectangles. The side of the rectangles having only one endpoint on the circle measures 14 dm. What is the integer closest to the length in centimeters of the other side?
Answer: 0119 src_kangourou_2019_squadre_junior_f__Q11
Prime quattro cifre decimali di (sqrt50+7)^4
Le cifre decimali Quali sono le prime quattro cifre decimali (cioè a destra della virgola) nella rappresentazione decimale del numero ?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9999 Fonte: apri PDF p.2
First four decimal places of (sqrt50+7)^4
The decimal digits What are the first four decimal digits (that is, to the right of the decimal point) in the decimal representation of the number ?
Answer: 9999 src_kangourou_2019_squadre_junior_f__Q12
Punti raggiungibili con tre mosse (invariante MCD)
Tre mosse Partendo da un punto (x, y) del piano (dotato di un usuale sistema cartesiano ortogonale monometrico) con x e y interi positivi, compiere una mossa significa raggiungere il punto (x − y, y) oppure il punto (x + y, y) oppure il punto (y, x). Al variare delle possibili scelte del punto di partenza nel cerchio centrato nell’origine di raggio 4 e dopo quantità opportune di mosse, quanti dei punti contenuti nel cerchio di raggio 1000 centrato nel punto (2019, 2019) e che abbiano ascissa o ordinata, o entrambe, uguali a 2019 possono essere raggiunti? (I cerchi nominati si intendono comprensivi della circonferenza che li delimita).
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2664 Fonte: apri PDF p.2
Three-step achievable points (invariant MCD)
Three moves Starting from a point (x, y) in the plane (equipped with a usual orthogonal Cartesian system with equal scales) with x and y positive integers, making a move means reaching the point (x − y, y) or the point (x + y, y) or the point (y, x). As the possible choices of the starting point vary in the circle centered at the origin with radius 4 and after suitable numbers of moves, how many of the points contained in the circle of radius 1000 centered at the point (2019, 2019) and that have x-coordinate or y-coordinate, or both, equal to 2019 can be reached? (The circles mentioned are understood to include the circumference that bounds them).
Answer: 2664 src_kangourou_2019_squadre_junior_f__Q14
Modi di programmare gli inviti a tre feste
Tre feste Voglio fare tre feste e voglio invitare ad ogni festa tre dei miei sei amici; voglio che nessuna terna di amici sia invitata a più di una festa e che nessuno dei miei amici sia presente a tutte le tre feste. In quanti modi diversi posso programmare gli inviti? (Due modi possono essere diversi se le terne coinvolte sono diverse, o anche solo invitate a feste diverse).
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2880 Fonte: apri PDF p.2
How to schedule three party invitations
Three parties I want to hold three parties and I want to invite to each party three of my six friends; I want no triple of friends to be invited to more than one party and that none of my friends is present at all three parties. In how many different ways can I plan the invitations? (Two ways can be different if the triples involved are different, or even just invited to different parties).
Answer: 2880 src_kangourou_2019_squadre_junior_f__Q15