Possono Bruno e Carlo avere giorno di riposo comune (programmi sportivi)
Bruno e Carlo praticano tre sport: calcio, pallavolo e nuoto, non più di uno al giorno. Un giorno di calcio deve essere seguito da due giorni di riposo, un giorno di pallavolo da un giorno di riposo, un giorno di nuoto non richiede giorni di riposo e può sostituire un giorno di riposo. Ciascuno ha un programma di allenamento che si ripete periodicamente: in ogni periodo ognuno pratica ogni sport lo stesso numero di volte e l’intervallo minimo di tempo che trascorre tra due volte consecutive in cui uno di loro pratica uno stesso sport è lo stesso per tutti gli sport. Inoltre il programma prevede che i giorni di riposo siano ridotti al minimo possibile. Bruno e Carlo hanno iniziato ciascuno il proprio programma lo stesso giorno. Oggi stanno praticando sport diversi e vorrebbero andare a divertirsi nel primo giorno che sia di riposo per entrambi. Possono essere certi di riuscire nel loro intento?
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
*Bruno and Carlo can have a common day off (sports programmes) *
Bruno and Carlo practice three sports: soccer, volleyball, and swimming, no more than one a day. A day of football must be followed by two days of rest, a day of volleyball by one day of rest, a day of swimming does not require days of rest and may replace a day of rest. Each person has a training programme that is repeated periodically: in each period each person practices each sport the same number of times and the minimum interval of time between two consecutive times in which one of them practices the same sport is the same for all sports. The programme also provides for the reduction of rest days to the minimum possible. Bruno and Carlo each started their own program on the same day. They’re doing different sports today and they’d like to go out and have fun on the first day of rest for both of them. Can they be sure that they will succeed in their endeavor?
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Determinare lo spigolo VD della piramide a base rettangolare
Di una piramide a base rettangolare sono note le lunghezze di tre dei quattro spigoli obliqui che ne congiungono il vertice con i vertici , , , della base: ; ; . È possibile determinare la lunghezza dello spigolo ? In caso affermativo determina tale lunghezza, in caso negativo individua le misure di due piramidi che rispettino i dati del problema in cui la lunghezza dello spigolo sia diversa.
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 60 m Fonte: apri PDF p.1
- Determine the VD slope of the rectangular base pyramid*
A rectangular-based pyramid is known for the lengths of three of the four oblique vertices connecting its vertex with the vertices , , , of the base: ; ; . Is it possible to determine the length of the beam? If yes, it determines that length; if not, it identifies the measurements of two pyramids that meet the problem data where the length of the beam is different.
Answer: 60 m src_kangourou_2019_student_finale__QS2
Dopo quanti anni torna la luna piena stesso giorno (ciclo 28gg)
In un certo giorno di un certo mese di uno dei prossimi 10 anni ci sarà la luna piena. Se il ciclo lunare fosse composto da esattamente 28 giorni, dopo quanti anni al massimo ci sarebbe di nuovo la luna piena per la prima volta nello stesso giorno dello stesso mese? (Se, ad esempio, accadesse l’anno successivo, dovresti rispondere: dopo 1 anno.)
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 248 Fonte: apri PDF p.1
After how many years the full moon returns on the same day (cycle 28g)
On a certain day in a certain month in one of the next 10 years, there will be a full moon. If the lunar cycle was exactly 28 days long, after how many years at most would there again be a full moon for the first time on the same day of the same month? (If, for example, it happens the following year, you should answer: after 1 year.)
Answer: 248 src_kangourou_2019_student_finale__QS3
Criterio per divisibilita per 11 di 5^a+4^b+3^c
Indicare un criterio che permetta di appurare velocemente, con il solo uso di carta e penna, quando il numero , al variare di , e fra gli interi non negativi, sia divisibile per 11.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.4
Criterion for divisibility by 11 of 5^a+4^b+3^c
Indicate a quick, pen-and-paper determination criterion when the number , when , and are non-negative integers, is divisible by 11.
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Localizzazione del circocentro di AEF (triangolo acutangolo)
è un triangolo acutangolo di ortocentro , con il lato più lungo del lato ; denota con il punto simmetrico di rispetto all’altezza condotta da e con l’intersezione della retta passante per e con la retta passante per e . Sulla base di questi soli dati fornisci una localizzazione (rispetto agli elementi dati dal problema) del circocentro del triangolo .
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.4
*Location of the AEF circus (acute triangle) *
is an orthocentric triangle , with the side longer than the side ; denotes with the symmetrical point of with respect to the height of and with the intersection of the passing line for and with the passing line for and . On the basis of these data alone, you provide a location (relative to the elements given by the problem) of the circumcenter of the triangle.
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Critica della dimostrazione su pavimentazione con ettagoni
Considera la seguente affermazione con successiva dimostrazione. Il tutto ti convince? Giustifica la tua risposta.
AFFERMAZIONE Non è possibile pavimentare l’interno di un cerchio con ettagoni convessi (non ridotti ad un punto) in modo che ogni vertice di ogni ettagono appartenga esattamente a tre ettagoni (“pavimentare” significa ricoprire la figura in modo che ogni punto che cade nell’interno di una piastrella appartenga solo ad essa).
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che sia (teoricamente) possibile. Gli angoli interni di ogni ettagono misurerebbero in media gradi; d’altra parte, in ogni vertice confluirebbero tre ettagoni, dunque la misura media degli angoli in un vertice sarebbe .
Topic: Logica, giochi, strategie, Geometria piana Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.5
Demonstration of ethogonal flooring criticism
Consider the following statement with further demonstration. Does everything convince you? Justify your answer.
AFFIRMATION It is not possible to float the inside of a circle with convex hexagons (not reduced to a point) so that each vertex of each hexagon belongs to exactly three hexagons (floating means covering the figure so that each point falling inside a tile belongs to it alone).
Demonstration. Suppose absurdly that it is (theoretically) possible. The internal angles of each hexagon would average degrees; on the other hand, three hexagons would converge at each vertex, so the average angle measurement in a vertex would be .