Tragitto del vertice A in due rotazioni del rettangolo
(Punti 2) I vertici di un rettangolo, nominati in senso orario, sono A, B, C, D. Il lato AB è lungo 15 e il lato BC è lungo 20. Il rettangolo ruota, sempre in senso orario e sempre di 90 gradi, dapprima attorno al vertice C, poi attorno al vertice D (nella nuova posizione in cui si è venuto a trovare). Qual è il numero intero più vicino alla lunghezza del tragitto percorso dal vertice A nelle due rotazioni? A) 78 B) 79 C) 70 D) 71 E) Un numero diverso dai precedenti
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Trajectory of the vertex A in two rotations of the rectangle
(Points 2) The vertices of a rectangle, named in a clockwise direction, are A, B, C, D. The AB side is 15 and the BC side is 20. The rectangle rotates, always clockwise and always 90 degrees, first around the C vertex, then around the D vertex (in the new position in which it came to be). What is the nearest integer to the length of the path traveled from summit A in two rotations? A) 78 B) 79 C) 70 D) 71 E) A number different from the previous one
Answer: D src_kangourou_2019_student_semifinale__Q01
Probabilita che un palindromo di 4 cifre sia divisibile per 7
(Punti 3) Scegliendo a caso un numero intero palindromo di quattro cifre significative, qual è la probabilità che sia divisibile per 7? A) 1/9 B) 1/8 C) 1/7 D) 1/6 E) 1/5
Topic: Probabilita e statistica, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
The probability that a 4-digit palindrome is divisible by 7*
(Points 3) If you randomly pick a four-digit palindrome integer, what is the probability that it is divisible by 7? A) 1/9 B) 1/8 C) 1/7 D) 1/6 E) 1/5
Answer: E src_kangourou_2019_student_semifinale__Q02
Quale spigolo del cubo da area intera nel taglio
(Punti 3) Tagliando un cubo con un piano che passa per due dei suoi vertici opposti e per i punti medi di due spigoli opposti che non contengano tali vertici si ottiene un quadrilatero la cui area, in centimetri quadrati, è espressa da un numero intero. Quale dei seguenti numeri può esprimere la lunghezza, in centimetri, degli spigoli del cubo? A) 1 B) √8 C) √12 D) √27 E) Nessuno
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Which whole area cube shaft in the cut
Cutting a cube with a plane passing through two of its opposite vertices and the midpoints of two opposite vertices not containing these vertices gives a quadrilateral whose area, in square centimetres, is expressed by an integer. Which of the following numbers can express the length, in centimeters, of the cube’s tips? (A) 1 B) √ 8 C) √ 12 D) √ 27 E) None
Answer: E src_kangourou_2019_student_semifinale__Q03
Dove la pallina ricolpisce il bordo sinistro griglia 4x2019
(Punti 4) In figura A, B, C, D ed E denotano (partendo dall’alto) i 5 punti di contatto tra il bor do verticale sinistro di una griglia rettangolare 4×2019 e i segmenti orizzontali che delimitano le celle quadrate di tale griglia. Una pallina (punti forme!) viene lanciata dal punto E verso l’interno della griglia con un angolo di 45 gradi (rispetto ai lati della griglia) e rimbalza regolarmente ogni volta che colpisce i bordi della griglia: la figura ti suggerisce la traiettoria iniziale della pallina. Quando la pallina ritorna per la prima volta a colpire il bordo sinistro della griglia, in quale punto lo colpisce? A) A B) B
C) C D) D E) E
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Where the ball folds the left edge of the grid 4x2019*
(Points 4) In Figure A, B, C, D and E, the 5 points of contact between the left vertical edge of a rectangular grid 4× 2019 and the horizontal segments delimiting the square cells of that grid are indicated (from the top). A ball (shaped points!) is thrown from the point E towards the inside of the grid at an angle of 45 degrees (as opposed to the sides of the grid) and bounces regularly whenever it hits the edges of the grid: the figure suggests the initial trajectory of the ball. When the ball hits the left edge of the grid for the first time, where does it hit it? A) A B) B
C) C D) D E) E
Answer: C src_kangourou_2019_student_semifinale__Q04
Numero centrale nell allineamento 1-17 con somme quadrati
(Punti 4) I numeri interi da 1 a 17 inclusi sono stati allineati in modo che la somma di due numeri consecutivi sia sempre un quadrato perfetto (e ovviamente nell’allineamento ognuno compaia una e una sola volta). Che numero si trova nel posto centrale dell’allineamento? A) 3
B) 4
C) 14 D) 13 E) 12
Topic: Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Central number in alignment 1-17 with sums squared
(Points 4) The integers from 1 to 17 included have been aligned so that the sum of two consecutive numbers is always a perfect square (and of course in the alignment each appears once and only once). What number is in the centre of the alignment? A) 3
B) 4
C) 14 D) 13 E) 12
Answer: E src_kangourou_2019_student_semifinale__Q05
Cifra delle centinaia di 2019xN dati divisori di 3N e 5N
(Punti 4) Di un intero positivo N si sa che l’intero 3 × N ha esattamente 4 divisori e l’intero 5 × N ha esattamente 6 divisori. Qual è la cifra delle centinaia del numero 2019 × N ? Nota: tra i divisori di un numero sono compresi 1 e il numero stesso. A) 1
B) 3
C) 8
D) 9
E) Non è possibile stabilirlo
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Number of the hundreds of 2019xN data dividers of 3N and 5N
(Points 4) Of a positive integer N we know that the integer 3 × N has exactly 4 divisors and the integer 5 × N has exactly 6 divisors. What is the number of hundreds of the 2019 number × N? Note: The divisors of a number include 1 and the number itself. A) 1
B) 3
C) 8
D) 9
E) It cannot be established
Answer: A src_kangourou_2019_student_semifinale__Q06
Quante somme distinte con addendi 3 e 5 (vincoli)
(Punti 5) Quante somme tutte diverse fra loro si possono ottenere sommando al minimo due interi e al massimo nove interi, ciascuno dei quali sia o 3 o 5, se si vuole che non vi siano più di sei addendi uguali a 3 e più di tre addendi uguali a 5? A) 23 B) 25 C) 28 D) 26 E) 27
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*Separate sums with additions 3 and 5 (link) *
How many sums of all the different ones can be obtained by adding up at least two integers and at most nine integers, each of which is either 3 or 5, if you want there to be no more than six additions equal to 3 and no more than three additions equal to 5? A) 23 B) 25 C) 28 D) 26 E) 27
Answer: A src_kangourou_2019_student_semifinale__Q07
Massima somma cifre in base 6 per intero fino a 2019
(Punti 5) Per un intero che non superi 2019, qual è la maggiore somma possibile delle cifre se lo si scrive in base sei (cioè usando le cifre da 0 a 5) e se anche tale somma è scritta in base 6? A) 15 B) 20 C) 22 D) 24 E) 32 A B C D E
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Maximum sum of 6 digits for the whole until 2019
(Points 5) For an integer that does not exceed 2019, what is the largest possible sum of digits if you write it in base six (i.e. using the digits from 0 to 5) and if that sum is also written in base six? A) 15 B) 20 C) 22 D) 24 E) 32 A B C D E
Answer: E src_kangourou_2019_student_semifinale__Q08
Quanti allineamenti di lunghezza 16 di due lettere (vincoli)
(Punti 6) Quanti diversi allineamenti di lunghezza 16 di due lettere sono possibili, se si vuole che ogni allineamento inizi e termini con la stessa lettera, che la lettera iniziale non appaia due volte consecutive e l’altra non appaia tre volte consecutive? A) 28 B) 42 C) 44 D) 46 E) 56 Quesiti a risposta aperta
Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
*Quantity of 16 two-letter length alignments (links) *
(Points 6) How many different alignments of 16 two-letter lengths are possible if each alignment is to begin and end with the same letter, if the initial letter does not appear twice in a row and the other does not appear three times in a row? A) 28 B) 42 C) 44 D) 46 E) 56 Questions to be answered
Answer: E src_kangourou_2019_student_semifinale__Q09
Massimo k appendendo una cifra a destra a N per ottenere kN
(Punti 4) Alla notazione (decimale) di un numero intero positivo N ho aggiunto una cifra a de stra: così facendo ho ottenuto un numero (con una cifra in più di quelle di N) che è k volte N, con k intero. Quanto può valere al massimo k ?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 19 Fonte: apri PDF p.2
Maximum k by hanging a digit to the right of N to get kN
(Points 4) To the (decimal) notation of a positive integer N I added a figure outside: thus I obtained a number (with a figure more than N) which is k times N, with k integers. What ‘s the maximum value of k ?
Answer: 19 src_kangourou_2019_student_semifinale__Q10
Massima somma spigoli parallelepipedo con volume ottaedro 150
(Punti 5) In ogni parallelepipedo rettangolo i centri delle sei facce sono i vertici di un ottaedro. Se le misure degli spigoli del parallelepipedo sono espresse ciascuna da un numero intero di centimetri e il volume dell’ottaedro vale 150 cm3, quanto può valere al massimo la somma delle misure degli spigoli del parallelepipedo?
Topic: Geometria solida Metodo: Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
*Maximum sum of parallel-piped beads with an octahedral volume of 150 *
(Points 5) In each parallel-piped rectangle the centers of the six faces are the vertices of an octahedron. If the measures of the parallel-pipedal shoulders are each expressed in an integer number of centimetres and the volume of the octahedron is 150 cm3, what is the maximum value of the sum of the measures of the parallel-pipedal shoulders?
src_kangourou_2019_student_semifinale__Q11
Quanti votanti hanno mentito nelle due citta del referendum
(Punti 5) In Kanglandia si è tenuto un referendum. In due cittadine, A di 8.400 votanti e B di 6.900 votanti, subito dopo il voto è stato chiesto ad ogni votante come avesse votato: in entrambe le cittadine metà delle risposte ottenute è stata “SI” e metà è stata “NO”. A spoglio avvenuto, però, è risultato che in A ha vinto il “SI” con il 70% dei voti mentre in B ha vinto il “NO” sempre con il 70% dei voti. Se, compatibilmente con i risultati ottenuti, in A ha mentito il minor numero possibile di votanti e in B il massimo, quanti votanti hanno mentito complessivamente nelle due città?
Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
How many voters lied in the two cities of the referendum
(Parliament adopted the legislative resolution) In two cities, A with 8,400 voters and B with 6,900 voters, immediately after the vote, each voter was asked how they voted: in both cities half of the responses received were SI and half were NO. However, it turned out that in A SI won with 70% of the vote while in B NO always won with 70% of the vote. If, consistent with the results obtained, in A as few voters as possible lied and in B as many as possible, how many voters lied overall in the two cities?
src_kangourou_2019_student_semifinale__Q12
Minimo celle da annerire griglia 6x2019 (dominio connesso)
(Punti 6) In una griglia a celle quadrate 6×2019 diciamo che due celle sono adiacenti se condivi dono un lato. Si vogliono annerire alcune celle in modo che
a) ogni cella rimasta bianca sia adiacente a qualche cella annerita;
b) comunque scelte due celle annerite, esse siano collegabili mediante una sequenza
ordinata di celle annerite che parta con una delle due e termini con l’altra, ognuna
(tranne l’ultima della sequenza) adiacente alla successiva. Qual è il più piccolo numero di celle che basta annerire per ottenere lo scopo?
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
*Minimum grid blackout cells 6x2019 (connected domain) *
(Points 6) In a grid of 6 square cells we say that two cells are adjacent if we share one side. You want to blacken some cells so that
(a) each white cell is adjacent to a black cell;
(b) either two blackened cells are selected, they can be connected by a sequence
order of black cells starting with one of the two and terminating with the other, each
(except the last of the sequence) adjacent to the next one. What is the smallest number of cells that you can blacken to get the purpose?
src_kangourou_2019_student_semifinale__Q13
Minimo punteggio Giraffe (geometrica vs aritmetica)
(Punti 6) La squadra dei Canguri e quella delle Giraffe si sono affrontate in una partita di pallaca nestro. La partita è durata quattro tempi: al termine del primo le squadre erano in parità, ma alla fine i Canguri hanno vinto con un punto di scarto. I punteggi dei Canguri, singolarmente considerati nei quattro tempi, sono in progressione geometrica, mentre quelli delle Giraffe in progressione aritmetica. Qual è il minimo valore possibile per il punteggio totalizzato alla fine della partita dalle Giraffe?
Topic: Algebra Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Minimum score Giraffe (geometric vs arithmetic)
The Kangaroos and the Giraffes faced each other in a basketball game. The match lasted four times: at the end of the first the teams were tied, but in the end the Kangaroos won with a margin of victory. The Crab scores, individually considered in the four times, are in geometric progression, while those of the Giraffe are in arithmetic progression. What’s the minimum score for the total score at the end of the Giraffe game?
src_kangourou_2019_student_semifinale__Q14
Somma raggi cerchi inscritti in T, P, Q (triangolo rettangolo)
(Punti 6) I cateti di un triangolo rettangolo T misurano 30 e 40. L’altezza relativa all’ipotenusa suddivide T in due triangoli P e Q. Quanto vale la somma dei raggi dei cerchi inscritti in T, P e Q?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
*Sum of circle rays inscribed in T, P, Q (rectangular triangle) *
(Points 6) The catheters of a right triangle T are 30 and 40. The height relative to the hypotenuse divides T into two triangles P and Q. What is the sum of the radii of the circles inscribed in T, P and Q?
src_kangourou_2019_student_semifinale__Q15
Minima somma delle due tacche di rottura del righello
(Punti 7) Enrica aveva un righello con più di cinque tacche, numerate in sequenza: accidental mente lo ha spezzato in due parti con il punto di rottura a cavallo fra due tacche. Casualmente, la somma dei numeri presenti sulle due parti è la stessa. Quanto deve valere al minimo la somma dei numeri che denotano le due tacche a cavallo delle quali si è rotto il righello?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Minimum sum of the two brake pads of the reel
(Points 7) Enrica had a reel with more than five tails, numbered in sequence: accidentally she broke it in two with the breaking point on horseback between the two tails. By chance, the sum of the numbers on both sides is the same. What is the minimum value of the sum of the numbers denoting the two horse-drawn ticks whose reel has been broken?
src_kangourou_2019_student_semifinale__Q16
Minimo elementi insieme per 2019 modi di scegliere due sottoinsiemi disgiunti
(Punti 7) Qual è il minimo numero di elementi che deve avere un insieme, affinché ci siano alme no 2019 modi diversi di sceglierne due sottoinsiemi non vuoti disgiunti?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Minimum elements together for 2019 ways to choose two disjoint sub-sets
(Points 7) What is the minimum number of elements that a set must have in order for there to be at least two different ways of choosing two non-empty sub-sets?
src_kangourou_2019_student_semifinale__Q17
In quanti modi acquistare 30 pezzi tra tre tipi (max 20 ciascuno)
(Punti 8) In un negozio vi sono tre diversi tipi di articoli e, per ogni tipo, vi sono 20 pezzi. Un cliente che voglia acquistare 30 di quei pezzi, indipendentemente dalla tipologia, in quanti modi diversi rispetto alle tipologie può farlo?
0019 0902 7200 4040 0074 0024 0029 0008 0331
Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
*How many ways to buy 30 pieces between three types (max 20 each) *
(Documents 8) In a shop there are three different types of items, and for each type, there are 20 pieces. A customer who wants to buy 30 of those pieces, regardless of the type, how many different ways than the types can he do it?
0019 0902 7200 4040 0074 0024 0029 0008 0331