Kangourou 2020 Finale nazionale Cadet

Area della regione delimitata da quattro archi uguali

I quattro archi che delimitano la regione ombreggiata hanno tutti la stessa lunghezza, uguale alla lunghezza dei due archi tratteggiati. Questa lunghezza è un quarto della lunghezza di una circonferenza di raggio 1 cm. Quanti centimetri quadrati misura l’area della regione ombreggiata? (vedi figura)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2 Fonte: apri PDF p.1

Area of the region bounded by four equal arcs

The four arches that delimit the shaded region are all the same length, equal to the length of the two stretched arches. This length is a quarter of the length of a radius of 1 cm. How many square inches is the area of the shaded region? (see figure)

Answer: 2 src_kangourou_2020_cadet_finale__QC1

Tragitto minimo tra due punti toccando l asse y

Nel piano cartesiano, quanto è lungo il tragitto più breve che collega il punto $(808,808)$ al punto $(404,-808)$ toccando almeno una volta l’asse delle $y$?

Topic: Geometria analitica Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2020 Fonte: apri PDF p.1

*Minimum distance between two points touching the y axis *

In the Cartesian plane, how long is the shortest path linking the $(808,808)$ point to the $(404,-808)$ point by touching the $y$ axis at least once?

Answer: 2020 src_kangourou_2020_cadet_finale__QC2

Cifra delle unita di n con 7n di 2021 cifre

Sia $n$ il più piccolo intero positivo tale che il numero $7\cdot n$ abbia 2021 cifre. Qual è la cifra delle unità di $n$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9 Fonte: apri PDF p.1

Number of units of n with 7n of 2021 digits

If $n$ is the smallest positive integer such that the number $7\cdot n$ has 2021 digits. What is the unit number of $n$?

Answer: 9 src_kangourou_2020_cadet_finale__QC3

Verita affermazioni su numero in posizione speciale griglia 6x6

Riempiamo una griglia quadrata $6\times 6$ inserendovi i primi 62 numeri interi positivi, uno per casella: se accade che uno dei numeri inseriti è il più grande fra tutti quelli nella sua riga e il più piccolo fra tutti quelli nella sua colonna, diciamo che quel numero è in posizione speciale relativamente al modo in cui abbiamo riempito la griglia. Discuti, motivando la risposta, la verità o la falsità per ciascuna delle seguenti tre affermazioni:

a) relativamente ad ogni modo di riempire la griglia esiste almeno un numero speciale;

b) relativamente a qualche modo di riempire la griglia esiste almeno un numero speciale;

c) relativamente ad ogni modo di riempire la griglia esiste al più un numero speciale.

Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: aF bV cV Fonte: apri PDF p.1

True statements on special grid position number 6x6

We fill a square grid with the first 62 positive integers, one per box: if one of the numbers is the largest of all the numbers in its row and the smallest of all the numbers in its column, let’s say that the number is in the special position**relative to the way we filled the grid. Discuss, justifying the answer, the truth or falsity of each of the following three statements:

(a) there is at least one special number for each method of filling the grid;

(b) there is at least one special number for any method of filling the grid;

(c) for each method of filling the grid there is at most a special number.

Answer: aF bV cV src_kangourou_2020_cadet_finale__QC4

Piu poligoni convessi che contengono p o che non lo contengono

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) circle (2cm);
  \foreach \a in {90, 54, 18, -18, -54, -90, -126, -162, 162, 126} {
    \fill (\a:2cm) circle (2pt);
  }
  \node at (18:2.35cm) {$p$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Su una circonferenza sono marcati 10 punti a due a due distinti fra loro. Si considerino tutti i possibili poligoni convessi (cioè poligoni non intrecciati che abbiano tutti gli angoli interni di misura inferiore a $180°$) i cui vertici siano alcuni dei punti marcati. Sia $p$ uno qualsiasi dei punti marcati. Sono di più i poligoni che contengono $p$ o quelli che non lo contengono, o sono in ugual numero? (vedi figura)

Topic: Combinatoria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: piu p Fonte: apri PDF p.1

Pious convex polygons containing p or not containing p

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) circle (2cm);
  \foreach \a in {90, 54, 18, -18, -54, -90, -126, -162, 162, 126} {
    \fill (\a:2cm) circle (2pt);
  }
  \node at (18:2.35cm) {$p$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

On a circumference, 10 points two to two apart are marked. All possible convex polygons (i.e. non-woven polygons having all the inner angles less than $180°$) whose vertices are some of the marked points shall be considered. Whether $p$ any of the points marked. Are there more polygons containing $p$ or those not containing it, or are they in the same number? (see figure)

Answer: piu p src_kangourou_2020_cadet_finale__QC5

Quante coppie ordinate (x,y) interi con x^2+7y=xy

Quante sono le coppie ordinate $(x,y)$ di numeri interi (non necessariamente positivi) tali che $x^2+7y=xy$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6 Fonte: apri PDF p.1

How many whole pairs (x,y) are ordered with x^2+7y=xy

How many pairs $(x,y)$ of integers (not necessarily positive) such as $x^2+7y=xy$?

Answer: 6 src_kangourou_2020_cadet_finale__QC6