Massimo N per sconto k% limitato a 4 ingressi
Lo sconto La direzione di un museo, per avviare una campagna promozionale, intende concedere lo sconto del k% sul prezzo del biglietto di ingresso ai gruppi di k persone che acquisteranno un biglietto cumulativo. Non vuole però che l’entità dello sconto superi l’equivalente di 4 ingressi gratuiti per ogni gruppo di persone: deve quindi imporre la limitazione che k non superi un certo intero N. Qual è il valore più grande possibile di N?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0020 Fonte: apri PDF p.3
Maximum N for discount k% limited to 4 entries
Discount The management of a museum intends to grant a discount of k% on the price of the entrance ticket to groups of k people who will purchase a cumulative ticket. However, it does not want the amount of the discount to exceed the equivalent of 4 free entries for each group of people. What’s the greatest possible value of N?
Answer: 0020 src_kangourou_2020_junior_finale__Q01
Quadrato della misura di BD (triangoli simili)
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (3,2.5);
\coordinate (D) at (1.5,1.25);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (B) -- (D);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[left] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Il quadrato Nel triangolo in figura D è il punto medio del lato AC, gli angoli e sono uguali e il lato AB misura 12. Quanto vale il quadrato della misura del segmento BD?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0072 Fonte: apri PDF p.1
*Square of the measurement of BD (similar triangles) *
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (3,2.5);
\coordinate (D) at (1.5,1.25);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (B) -- (D);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[left] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}The square In the triangle in Figure D is the midpoint of the AC side, the angles and are equal and the AB side measures 12. What is the square of the size of the BD segment?
Answer: 0072 src_kangourou_2020_junior_finale__Q02
Minimo concorrenti (Fibonacci sequenze senza due 1)
I concorrenti Una gara Kangourou consisteva di 12 domande numerate. Il rapporto inviato al responsabile ha fornito queste due informazioni:
- ogni partecipante ha risposto a tutte le domande;
- nessun partecipante ha dato la risposta giusta a due domande consecutive.
Il responsabile, senza conoscere i dettagli ma conoscendo il numero dei partecipanti, ne deduce che almeno due candidati hanno risposto allo stesso modo, cioè giusto alle stesse domande e sbagliato alle stesse domande.
Al minimo, quanti concorrenti hanno partecipato alla gara?
Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0378 Fonte: apri PDF p.1
*Minimum competitors (Fibonacci sequences without two 1) *
Competitors A Kangourou competition consisted of 12 numbered questions. The report sent to the manager provided the following two information: - each participant answered all questions; - no participant gave the correct answer to two consecutive questions. The person responsible, without knowing the details but knowing the number of participants, concludes that at least two candidates answered the same way, that is, correctly and incorrectly to the same questions. At least, how many competitors took part in the competition?
Answer: 0378 src_kangourou_2020_junior_finale__Q03
Numero della casa abbattuta (media 995,8)
La casa abbattuta In una lunga strada della mia città le case erano numerate, senza saltare alcun numero, dalla prima all’ultima. Un giorno una di queste case fu abbattuta. La media dei numeri rimanenti divenne allora 995,8. Qual era il numero della casa abbattuta?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1394 Fonte: apri PDF p.1
*Number of houses destroyed (average 995.8) *
On a long street in my town, the houses were numbered, without skipping any number, from first to last. One day one of these houses was torn down. The mean of the remaining numbers then became 995.8. What was the number of the house that was torn down?
Answer: 1394 src_kangourou_2020_junior_finale__Q04
Lunghezza del piu lungo tra CD e CE
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (B) at (0,4);
\coordinate (C) at (0,0);
\coordinate (A) at (5,0);
\coordinate (D) at (10/3, 4/3);
\coordinate (H) at (10/3, 0);
\draw (B) -- (C) -- (A) -- (B);
\draw (C) -- (D);
\draw[dashed] (D) -- (H);
\node[above left] at (B) {$B$};
\node[below left] at (C) {$C$};
\node[below right] at (A) {$A$};
\node[right] at (D) {$D$};
\node[below] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Il più lungo
In un triangolo ABC la misura di AB è 123 quella di BC è 27 e quella di CA è 120. Considerate i due punti D e E che ripartiscono il lato AB in tre segmenti di uguale lunghezza. Qual è la lunghezza del più lungo tra i segmenti CD e CE? (Rispondete scrivendo l’intero più vicino).
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Stima e approssimazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0081 Fonte: apri PDF p.1
Longest length between CD and CE
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (B) at (0,4);
\coordinate (C) at (0,0);
\coordinate (A) at (5,0);
\coordinate (D) at (10/3, 4/3);
\coordinate (H) at (10/3, 0);
\draw (B) -- (C) -- (A) -- (B);
\draw (C) -- (D);
\draw[dashed] (D) -- (H);
\node[above left] at (B) {$B$};
\node[below left] at (C) {$C$};
\node[below right] at (A) {$A$};
\node[right] at (D) {$D$};
\node[below] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{document}The longest in an ABC triangle the measure of AB is 123 that of BC is 27 and that of CA is 120. Consider the two points D and E that divide the AB side into three segments of equal length. What is the length of the longest of the CD and EC segments? (Answer by writing the nearest whole).
Answer: 0081 src_kangourou_2020_junior_finale__Q05
Anno di nascita dell’avo (sistema diofanteo)
Il mio avo Il numero dell’anno di nascita di uno dei miei avi ha la seguente particolarità: è divisibile per 2, per 3 se gli si toglie 1, per 5 se gli si toglie 2, per 7 se gli si toglie 3 e per 11 se gli si toglie 4. Qual è l’anno di nascita del mio avo, sapendo che è stato sempre un buon cristiano?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1522 Fonte: apri PDF p.1
*Year of birth of the chicken (diophantine system) *
My grandfather My grandfather’s birth year number has the following peculiarity: it is divisible by 2, by 3 if you take 1, by 5 if you take 2, by 7 if you take 3, and by 11 if you take 4. What year was my grandfather born, knowing that he was always a good Christian?
Answer: 1522 src_kangourou_2020_junior_finale__Q06
Posizione della 90-esima coincidenza di cifra 5
Le coincidenze Si considerino il numero (non intero) ottenuto dividendo 1990 per 19 e quello (anch’esso non intero) ottenuto dividendo 1990 per 17, entrambi scritti in notazione decimale. Si immagini poi di incolonnare i due numeri (con le due virgole in corrispondenza); se in una stessa posizione dopo la virgola entrambi i numeri presentano la cifra 5 diciamo che c’è una “coincidenza”. Qual è la posizione, dopo la virgola, della 90-sima coincidenza? Scrivete 0000 se la 90-esima coincidenza non si verifica. A B C D
Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6471 Fonte: apri PDF p.1
Position of the 90th digit match 5
Coincidences Consider the number (not whole) obtained by dividing 1990 by 19 and that (also not whole) obtained by dividing 1990 by 17, both written in decimal notation. Imagine then that you are colonising the two numbers (with the two commas in correspondence); if in the same position after the comma both numbers present the figure 5 we say that there is a coincidence. What is the position after the comma of the 90th coincidence? Write 0000 if the 90th coincidence does not occur. A B C D
Answer: 6471 src_kangourou_2020_junior_finale__Q07
Area del quadrato con tre rette parallele
Tre parallele È dato un quadrato ABCD. Tre rette a, b, c parallele fra loro passano rispettivamente per i vertici A, B e C del quadrato. La distanza di a da b è 7, mentre la distanza di b da c è 9. Quanto misura l’area del quadrato?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0130 Fonte: apri PDF p.2
Area of the square with three parallel lines
Three parallels is given a square ABCD. Three parallel lines a, b, c pass through the vertices A, B and C of the square respectively. The distance from a to b is 7, while the distance from b to c is 9. What is the area of the square?
Answer: 0130 src_kangourou_2020_junior_finale__Q08
*Somma interi n con d(n)s(n)=96
Divisori Per un intero positivo n denotiamo con d(n) il numero dei suoi divisori e con s(n) la loro somma (ad esempio d(8) = 4 perché 8 ha 4 divisori (1, 2, 4, 8), mentre s(8) = 15). Determinare la somma di tutti gli interi n tali che d(n) × s(n) = 96.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0076 Fonte: apri PDF p.2
*Interest sum n with d(n) s(n) = 96
Divisors For a positive integer n we denote with d(n) the number of its divisors and with s(n) their sum (e.g. d(8) = 4 because 8 has 4 divisors (1, 2, 4, 8), while s(8) = 15). Determine the sum of all integers such that n = 96.
Answer: 0076 src_kangourou_2020_junior_finale__Q09
Somma dei numeri flessibili AB
Numeri flessibili Diciamo che un numero (intero positivo) AB di due cifre è flessibile se, quando viene sommato a (A + B)2, cioè al quadrato della somma delle sue cifre, dà come risultato il numero BA. Quanto vale la somma di tutti i numeri flessibili?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0027 Fonte: apri PDF p.2
sum of the flexible numbers AB
Flexible numbers Let’s say a two-digit (positive) integer AB is flexible if, when added to (A + B) 2, that is, squared of the sum of its digits, it gives the resulting number BA. How much is the sum of all the flexible numbers?
Answer: 0027 src_kangourou_2020_junior_finale__Q10
Somma somme estreme dei riordinamenti ammissibili primi
Primi riordinati Considerate i 9 più piccoli numeri interi primi di due cifre (significative). Un loro riordinamento si dice ammissibile se la differenza tra il maggiore e il minore di due suoi numeri consecutivi è una potenza di 2. Per ogni riordinamento ammissibile, sommate il primo e l’ultimo numero del riordinamento; sommate quindi tutte le somme così ottenute al variare di tutti i riordinamenti ammissibili. Che valore ottenete?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio, Teoria dei grafi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0220 Fonte: apri PDF p.2
*Extreme sums of eligible first readjustments *
Rearranged prime Consider the 9 smallest prime integers of two digits (significant). A rearrangement of these numbers is said to be admissible if the difference between the greater and the lesser of its two consecutive numbers is a power of 2. For each eligible reorganisation, add up the first and last number of the reorganisation; then add up all the sums thus obtained from the variation of all eligible reorganisations. What value do you get?
Answer: 0220 src_kangourou_2020_junior_finale__Q11
Somma seste potenze delle radici dell’equazione
Le radici Considerate tutte le soluzioni dell’equazione x6 – 16x4 + 16x2 = 1 ed elevate alla sesta ciascuna di esse. Sommate quindi i risultati così ottenuti. Quanto ottenete?
Topic: Algebra, successioni Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 6662 Fonte: apri PDF p.2
sum of six powers of the roots of the equation
The roots Consider all solutions of the equation x6 16x4 + 16x2 = 1 and raise to the sixth each of them. Then add up the results obtained. How much do you get?
Answer: 6662 src_kangourou_2020_junior_finale__Q12
Quante volte ha vinto Martino in 7 giorni
Al casinò Martino gioca in un casinò. Ha messo a punto un metodo che consiste nel giocare 5 volte di fila un euro il primo giorno, 5 volte di fila 5 € il secondo giorno, 5 volte di fila 25 € il terzo giorno, 5 volte di fila 125 € il quarto giorno e così via continuando a moltiplicare per 5 la posta fino al settimo giorno. Se vince a un gioco, gli viene resa la puntata più 2 volte la puntata stessa mentre se perde, perde la puntata. Nessun giorno l’ha visto sempre vincere e nessun giorno l’ha visto sempre perdere. Dopo 7 giorni di gioco Martino ha guadagnato 22.066 €. Quante volte ha vinto in questi 7 giorni?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0015 Fonte: apri PDF p.3
How many times did Martino win in 7 days?
At the casino, Martino plays in a casino. He developed a method that consisted of playing 5 times in a row one euro on the first day, 5 times in a row 5 € on the second day, 5 times in a row 25 € on the third day, 5 times in a row 125 € on the fourth day and so on, continuing to multiply the bet by 5 until the seventh day. If he wins a game, he’s given the bet twice the same bet, while if he loses, he loses the bet. He’s never seen him win or lose. After 7 days of playing, Martino earned €22,066. How many times have you won in the last seven days?
Answer: 0015 src_kangourou_2020_junior_finale__Q13
Quante terne {a,b,c} con b media di a e c
La media Sia S = {1, 2, 3, …, 100, 101} l’insieme dei primi centouno numeri naturali. Quante terne {a, b, c} con a < c esistono in S tali che b = (a + c)/2?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2500 Fonte: apri PDF p.2
*How many ternes {a,b,c} with b mean of a and c *
The mean be S = {1, 2, 3, …, 100, 101} the sum of the first one hundred and one natural numbers. How many terns {a, b, c} with a < c exist in S such that b = (a + c)/2?
Answer: 2500 src_kangourou_2020_junior_finale__Q14
Distanza del piano per volume 3/4 del cono
Il cappello Ho costruito un cappello di carta a forma di cono circolare retto, alto 32 cm. Ora rovescio la punta del cono al suo interno in modo che il bordo superiore che rimane visibile sia ancora una circonferenza (vedi figura). Quanti centimetri deve distare il piano di questa circonferenza dal piano di base del cono se voglio che il volume del solido compreso tra il piano di base e la superficie del cappello rovesciato sia i 3/4 di quello del cono originario?
Quesiti e soluzioni
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0016 Fonte: apri PDF p.2
Plane distance by 3/4 volume of cone
The hat I built a straight circular cone-shaped paper hat, 32 cm high. Now I reverse the tip of the cone inside so that the upper edge that remains visible is still a circumference (see figure). How many centimeters must the plane of this circumference be separated from the base plane of the cone if I want the volume of the solid between the base plane and the surface of the cap overturned to be 3/4 of that of the original cone?
Questions and solutions
Answer: 0016 src_kangourou_2020_junior_finale__Q15