Kangourou 2020 Junior - finale settembre

Tragitto minimo tra due punti toccando l’asse y

Nel piano cartesiano, quanto è lungo il tragitto più breve che collega il punto $(808,808)$ al punto $(404,-808)$ toccando almeno una volta l’asse delle $y$?

Topic: Geometria analitica Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2020 Fonte: apri PDF p.1

*Minimum distance between two points touching the y axis *

In the Cartesian plane, how long is the shortest path linking the $(808,808)$ point to the $(404,-808)$ point by touching the $y$ axis at least once?

Answer: 2020 src_kangourou_2020_junior_settembre__Q01

Cifra delle unita del minimo n con 7n di 2021 cifre

Sia $n$ il più piccolo intero positivo tale che il numero $7\times n$ abbia $2021$ cifre. Qual è la cifra delle unità di $n$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9 Fonte: apri PDF p.1

Number of units of minimum n with 7n of 2021 digits

Be $n$ the smallest positive integer such that the number $7\times n$ has $2021$ digits. What is the unit number of $n$?

Answer: 9 src_kangourou_2020_junior_settembre__Q02

Numeri in posizione speciale in griglia 2020x2020

Riempiamo una griglia quadrata $2020\times 2020$ inserendovi i primi $2020^2$ numeri interi positivi, uno per casella: se accade che uno dei numeri inseriti è il più grande fra tutti quelli nella sua riga e il più piccolo fra tutti quelli nella sua colonna, diciamo che quel numero è in posizione speciale relativamente al modo in cui abbiamo riempito la griglia. Discuti, motivando la risposta, la verità o la falsità per ciascuna delle seguenti tre affermazioni:

a) relativamente ad ogni modo di riempire la griglia esiste almeno un numero speciale;

b) relativamente a qualche modo di riempire la griglia esiste almeno un numero speciale;

c) relativamente ad ogni modo di riempire la griglia esiste al più un numero speciale.

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: a)F b)V c)V Fonte: apri PDF p.1

Special position numbers in the grid 2020x2020

We fill out a square grid $2020\times 2020$ by inserting the first $2020^2$ positive integers, one per box: if it happens that one of the numbers inserted is the largest of all those in its row and the smallest of all those in its column, let’s say that number is in a special position **** relative to the way we filled the grid. Discuss, justifying the answer, the truth or falsity of each of the following three statements:

(a) there is at least one special number for each method of filling the grid;

(b) there is at least one special number for any method of filling the grid;

(c) for each method of filling the grid there is at most a special number.

Answer: a)F b)V c)V src_kangourou_2020_junior_settembre__Q03

Poligoni convessi su 2020 punti che contengono p

Su una circonferenza sono marcati $2020$ punti a due a due distinti fra loro. Si considerino tutti i possibili poligoni convessi (cioè poligoni non intrecciati che abbiano tutti gli angoli interni di misura inferiore a $180°$) i cui vertici siano alcuni dei punti marcati. Sia $p$ uno qualsiasi dei punti marcati. Sono di più i poligoni che contengono $p$ o quelli che non lo contengono, o sono in ugual numero?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: contengono p Fonte: apri PDF p.1

Poligons convex over 2020 points containing p

A circle shall be marked with $2020$ two-by-two distinct points. All possible convex polygons (i.e. unwoven polygons having all the interior angles of size less than $180°$) whose vertices are some of the marked points shall be considered. Whether $p$ any of the points marked. Are there more polygons containing $p$ or those not containing it, or are there the same number?

Answer: contengono p src_kangourou_2020_junior_settembre__Q04

Coppie intere (x,y) con x^2+7y=xy

Quante sono le coppie ordinate $(x,y)$ di numeri interi (non necessariamente positivi) tali che $x^2+7y=xy$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6 Fonte: apri PDF p.1

Integrated pairs (x,y) with x^2+7y=xy

How many pairs $(x,y)$ of integers (not necessarily positive) such as $x^2+7y=xy$?

Answer: 6 src_kangourou_2020_junior_settembre__Q05

Allineamento di M,N,P nel triangolo con incerchio

Una circonferenza di centro $I$ è inscritta in un triangolo $ABC$: denota con $D$ ed $E$ i suoi punti di tangenza rispettivamente ai lati $BC$ e $AC$. Denota inoltre con $M$ e $N$ rispettivamente i punti medi di $BC$ e $AB$ e con $P$ l’intersezione tra la retta congiungente $A$ con $I$ e quella congiungente $D$ con $E$. Dimostra che $M$, $N$ e $P$ sono allineati.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Alignment of M,N,P in the triangle with inclination

A center circumference $I$ is inscribed in a triangle $ABC$: denotes with $D$ and $E$ its tangent points on the sides $BC$ and $AC$ respectively. Also denote with $M$ and $N$ the mean points of $BC$ and $AB$ respectively and with $P$ the intersection between the connecting line $A$ with $I$ and the connecting line $D$ with $E$. It shows that $M$, $N$ and $P$ are aligned.

src_kangourou_2020_junior_settembre__Q06