Frazione ombreggiata dell’esagono regolare
Frazione ombreggiata
Ciascuno dei lati di un esagono regolare è stato suddiviso in tre segmenti di uguale lunghezza. I punti di suddivisione sono stati collegati a coppie da segmenti come mostra la figura. Quale frazione dell’esagono è ombreggiata? (Utilizzate le prime due cifre da sinistra per il numeratore, le altre per il denominatore: ad esempio, per 3/5 scrivete 0305.)
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0209 Fonte: apri PDF p.1
Shaded fraction of the regular hexagon
Shaded fraction Each side of a regular hexagon has been divided into three segments of equal length. The subdivision points have been connected in pairs by segments as shown in the figure. What fraction of the hexagon is shaded? (Use the first two digits left for the numerator, the other for the denominator: for example, for 3/5 write 0305.)
Answer: 0209 src_kangourou_2020_squadre_finale__Q01
Numero al posto 2020 della sequenza dispari ripetuti
Al posto 2020 Qual è il numero al posto 2020 della sequenza 1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, … dove compaiono tutti e soli i numeri interi dispari, in ordine crescente e ciascuno un numero di volte uguale a se stesso?
Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0089 Fonte: apri PDF p.1
Number in place of 2020 of repeated odd sequences
In place 2020 What is the number in place 2020 of the sequence 1, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, … where all and only the odd integers appear, in increasing order and each one a number of times equal to itself?
Answer: 0089 src_kangourou_2020_squadre_finale__Q02
Tra quanti numeri deve indovinare Dario la somma
L’indovinello Carla ha 100 fogliettini: su ognuno di essi è scritto un numero che può essere solo 1 o -1. Carla chiede a Dario di indovinare la somma (algebrica) di tutti i numeri che compaiono sui suoi 100 fogliettini. Tra quanti numeri è costretto ad indovinare Dario?
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0101 Fonte: apri PDF p.1
Of the numbers Darius must guess the sum
Carla’s conundrum has 100 leaflets, each of which has a number that can only be 1 or -1. Carla asks Darius to guess the sum (algebraic) of all the numbers that appear on her 100 leaflets. How many numbers is Darius forced to guess?
Answer: 0101 src_kangourou_2020_squadre_finale__Q03
Prime cifre della differenza tra somme di D e P
Dispari contro pari Dall’insieme di tutti i numeri interi tra 1000 e 9999 inclusi, immagina di selezionare il sottoinsieme D di quelli le cui cifre sono tutte dispari e il sottoinsieme P di quelli le cui cifre sono tutte pari. Ora immagina di sommare tutti i numeri in D e, separatamente, tutti i numeri in P. Quali sono le prime quattro cifre da sinistra della differenza fra le due somme?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7498 Fonte: apri PDF p.1
First digits of the difference between sums of D and P
Dispose against even From the set of all integers between 1000 and 9999 included, imagine selecting the subset D of those whose digits are all odd and the subset P of those whose digits are all equal. Now imagine you add all the numbers in D and, separately, all the numbers in P. What are the first four digits to the left of the difference between the two sums?
Answer: 7498 src_kangourou_2020_squadre_finale__Q04
Alberi piantati a marzo 2017
Gli alberi
A marzo 2017 lungo un viale sono stati piantati degli alberi, molto distanziati. Nel marzo 2018, fra ogni due adiacenti di essi ne è stato piantato un altro. La stessa operazione si è ripetuta a marzo nei due anni successivi. A oggi gli alberi piantati a partire da marzo 2017 sono 81 (oltre a quelli di cui stiamo parlando, non ne sono stati piantati altri). Quanti alberi sono stati piantati a marzo 2017?
Topic: Algebra, successioni Metodo: Ricorsione Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 0011 Fonte: apri PDF p.1
Trees planted in March 2017
Trees A March 2017 along an avenue were planted by trees, very far apart. In March 2018, another one was planted between each of the two adjacent ones. The same operation was repeated in March for the next two years. To date, 81 trees have been planted since March 2017 (in addition to the ones we are talking about, no others have been planted). How many trees were planted in March 2017?
Answer: 0011 src_kangourou_2020_squadre_finale__Q05
Spettatori con resto 1 mod 2..6 e divisibile 7
A teatro In un teatro ci sono più di 1000 spettatori, ma meno di 1500. Se vengono ripartiti in gruppi di 2 persone, oppure di 3, oppure di 4, oppure di 5, oppure di 6, rimane fuori sempre esattamente uno spettatore. Se invece vengono ripartiti in gruppi di 7 persone non rimane fuori nessuno. Quanti spettatori ci sono?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1141 Fonte: apri PDF p.1
*Spectators with remainder 1 mod 2..6 and divisible by 7 *
In a theater there are more than 1,000 spectators, but less than 1,500. If they’re divided into groups of two, or three, or four, or five, or six, there’s always exactly one viewer out. If they are divided into groups of seven people, no one is left out. How many spectators are there?
Answer: 1141 src_kangourou_2020_squadre_finale__Q06
Lato del triangolo piu grande con 2020 cm di filo
Il triangolo più grande È possibile ottenere un triangolo equilatero di lato 3 cm accostando 9 triangoli equilateri ciascuno di lato 1 cm. Accostando con lo stesso criterio un maggior numero di triangoli equilateri, ciascuno di lato 1, si possono ottenere triangoli equilateri più grandi. Volete ricoprire con un filo rigido tutti i segmenti che appaiono nella figura ottenuta, ma avete a disposizione solo 2020 cm di filo (che, se necessario, può essere tagliato). Quanti centimetri è lungo il lato del più grande triangolo su cui potete fare questa operazione?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Stima e approssimazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0036 Fonte: apri PDF p.1
Late of the largest triangle with 2020 cm of wire
The largest triangle You can get an equilateral triangle of 3 cm side by approaching 9 equilateral triangles of 1 cm each side. By approximating a larger number of equilateral triangles, each on side 1, with the same criterion, larger equilateral triangles can be obtained. You want to cover with a rigid thread all the segments that appear in the figure obtained, but you only have 2020 cm of thread (which, if necessary, can be cut). How many centimeters is the length of the side of the largest triangle on which you can do this operation?
Answer: 0036 src_kangourou_2020_squadre_finale__Q07
Minimo ribaltamenti di linee per 2020 gettoni rossi
Gettoni
Su una scacchiera rettangolare 100 × 50 sono disposti 5000 gettoni, uno su ciascuna casella. Ogni gettone ha una faccia nera e una rossa e in questo momento tutti i gettoni mostrano la faccia nera. Il gioco consiste nel ribaltare dei gettoni facendo in modo che appaia un numero di facce rosse prefissato. Unica regola: per ribaltare un gettone bisogna ribaltare la totalità dei gettoni della riga o, a scelta, della colonna cui il gettone appartiene. Si possono ribaltare tutte le linee che si vuole, tante volte quante si desidera. Qual è il numero minimo di ribaltamenti di linee che permette di vedere esattamente 2020 gettoni rossi?
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0022 Fonte: apri PDF p.2
Minimum line reversals for 2020 red tokens
On a rectangular chessboard of 100 × 50 there are 5000 tokens, one on each box. Each token has a black face and a red face, and right now all the tokens show the black face. The game consists of flipping tokens so that a set number of red faces appear. One rule: to overturn a token you have to overturn all the tokens of the line or, if you choose, the column to which the token belongs. You can flip all the lines you want, as many times as you want. What is the minimum number of line flips that allows you to see exactly 2020 red tokens?
Answer: 0022 src_kangourou_2020_squadre_finale__Q08
Altezza delle lastre rettangolari della vetrata
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.04]
\draw[thick] (-125,0) -- (125,0);
\draw[thick] (125,0) arc (0:180:125);
\foreach \x in {-100,-75,-50,-25,0,25,50,75,100} {
\draw (\x,0) -- (\x,{sqrt(125*125-\x*\x)});
}
\draw[thick] (-100,75) -- (100,75);
\end{tikzpicture}
\end{document}La vetrata La figura ti mostra lo schema di una finestra semicircolare chiusa con una vetrata, costituita dalle lastre di vetro che vengono evidenziate. Le basi (lati orizzontali) delle lastre hanno tutte la stessa lunghezza, un decimo del diametro che misura 250 centimetri. Quanti centimetri misura l’altezza di ognuna delle lastre rettangolari?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0075 Fonte: apri PDF p.2
Height of the rectangular sheets of the window
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.04]
\draw[thick] (-125,0) -- (125,0);
\draw[thick] (125,0) arc (0:180:125);
\foreach \x in {-100,-75,-50,-25,0,25,50,75,100} {
\draw (\x,0) -- (\x,{sqrt(125*125-\x*\x)});
}
\draw[thick] (-100,75) -- (100,75);
\end{tikzpicture}
\end{document}The window The figure shows you the pattern of a semi-circular window closed with a window, made up of the glass plates that are highlighted. The bases (horizontal sides) of the plates are all the same length, one tenth of a centimeter in diameter. How many centimetres does the height of each rectangular plate measure?
Answer: 0075 src_kangourou_2020_squadre_finale__Q09
Eta di Sofia con (x-55)(x+55) cubo di primo
L’età di Sofia Sofia ha fatto un calcolo: se moltiplica l’età (in anni) che aveva 55 anni fa per l’età che avrebbe fra 55 anni se fosse ancora viva, ottiene un numero che è il cubo di un numero primo. Quanti anni ha Sofia?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0066 Fonte: apri PDF p.2
Eta of Sofia with (x-55)(x+55) cube of first
Sofia Sofia’s age made a calculation: if you multiply the age (in years) she was 55 years old by the age she would be 55 years old if she was still alive, you get a number that is the cube of a prime number. How old is Sofia?
Answer: 0066 src_kangourou_2020_squadre_finale__Q10
Valore a^3+b^3 dato a^3-b^3=485
Somma di cubi Due numeri interi positivi a e b sono tali che a3 b3 = 485. Quanto vale a3 + b3 ?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0539 Fonte: apri PDF p.2
Value of a^3+b^3 given that a^3-b^3=485
Sum of cubes Two positive integers a and b are such that a3 b3 = 485. How much is a3 + b3 ?
Answer: 0539 src_kangourou_2020_squadre_finale__Q11
Somma dei due numeri sbagliati nella progressione
Sandro il pasticcione
Sei numeri interi erano scritti in progressione aritmetica (cioè la differenza di ciascuno, a parte il primo, con il precedente era sempre la stessa). Nel ricopiarli, Sandro il pasticcione non solo ne ha dimenticato uno, ma ne ha anche sbagliato un altro. Così ha scritto: 11, 25, 32, 37, 46. Qual è la somma dei due numeri della progressione iniziale che Sandro ha sbagliato o dimenticato?
Topic: Algebra, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0057 Fonte: apri PDF p.2
sum of the two wrong numbers in the progression
Six whole numbers were written in arithmetic progression (i.e. the difference of each, except the first, with the previous one was always the same). In copying them, Sandro the Pasticcio not only forgot one, but he also mistook another. So he wrote, 11, 25, 32, 37, 46. What is the sum of the two numbers in the initial progression that Sandro misread or forgot?
Answer: 0057 src_kangourou_2020_squadre_finale__Q12
Massimo bigliettini distinti (5 quadrati 4 colori rotazione)
Bigliettini Per identificare ogni partecipante ad una gara vengono usati bigliettini rettangolari. Una faccia è grigia, uguale per tutti; l’altra è ripartita in 5 quadrati (congruenti) allineati che possono venire colorati avendo a disposizione 4 colori diversi; questi colori possono venire impiegati in qualunque posizione, anche solo in parte (ad esempio, è possibile che in un bigliettino venga impiegato un solo colore). Non vi sono altri segni distintivi sui bigliettini. Quanti partecipanti possono essere ammessi, al massimo?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Sfruttamento della simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0544 Fonte: apri PDF p.2
*Maximum number of distinct tickets (5 squares 4 colours rotating) *
Tickets Rectangular tickets are used to identify each participant in a competition. One face is gray, equal for all; the other is divided into 5 aligned squares (congruents) which can be coloured with 4 different colours available; these colours can be used in any position, even partially (e.g. it is possible that only one colour is used in a ticket). There’s no other marks on the tickets. How many participants can be admitted at most?
Answer: 0544 src_kangourou_2020_squadre_finale__Q13
Quante casseforti per il bottino 44100
Il bottino Un bottino di guerra di 44.100 monete d’oro viene ripartito in sacchetti: uno di 1, uno di 3, uno di 5, uno di 7 monete … e così via. Uno dei sacchetti viene poi riposto in una cassaforte, due dei rimanenti insieme in un’altra cassaforte, tre dei rimanenti insieme in una terza cassaforte e così via. Quante sono, in totale, le casseforti impiegate?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0020 Fonte: apri PDF p.2
How many safe deposit boxes for 44100
The spoil A spoil of 44,100 gold coins is divided into bags: one of 1, one of 3, one of 5, one of 7 coins … and so on. One of the bags is then placed in a safe, two of the remaining bags together in another safe, three of the remaining bags together in a third safe and so on. How many safe houses are in total?
Answer: 0020 src_kangourou_2020_squadre_finale__Q14
Spesa massima per rose e tulipani 2020 sedie
Rose e tulipani Un politico organizza una festa in una enorme piazza dove sono disposte in cerchio 2020 sedie. Il politico sa che tutte le sedie verranno occupate e che i partecipanti si siederanno in modo che ogni donna abbia a fianco almeno un uomo. Decide di regalare ad ogni donna una rosa e ad ogni uomo un tulipano, che ordinerà ad un fiorista una volta che le sedie verranno occupate. Una rosa gli costa 3 euro, un tulipano 2 euro. Qual è la spesa massima in euro che potrebbe dover sostenere?
Quesiti e soluzioni
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5386 Fonte: apri PDF p.2
Maximum cost for roses and tulips 2020 chairs
Roses and tulips A politician organizes a party in a huge square where they are arranged in a circle 2020 chairs. The politician knows that all the seats will be occupied and that the participants will sit down so that every woman has at least one man by her side. He decides to give every woman a rose and every man a tulip, which he will order to a florist once the chairs are occupied. A rose costs him three euros, a tulip two euros. What is the maximum expenditure in euro that you may have to pay?
Questions and solutions
Answer: 5386 src_kangourou_2020_squadre_finale__Q15