Kangourou 2020 Student - finale settembre

Cifra delle unita del minimo n con 7n di 2021 cifre

Sia $n$ il più piccolo intero positivo tale che il numero $7\times n$ abbia $2021$ cifre. Qual è la cifra delle unità di $n$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9 Fonte: apri PDF p.1

Number of units of minimum n with 7n of 2021 digits

Be $n$ the smallest positive integer such that the number $7\times n$ has $2021$ digits. What is the unit number of $n$?

Answer: 9 src_kangourou_2020_student_settembre__Q01

Numeri in posizione speciale in griglia 2020x2020

Riempiamo una griglia quadrata $2020\times 2020$ inserendovi i primi $2020^2$ numeri interi positivi, uno per casella: se accade che uno dei numeri inseriti è il più grande fra tutti quelli nella sua riga e il più piccolo fra tutti quelli nella sua colonna, diciamo che quel numero è in posizione speciale relativamente al modo in cui abbiamo riempito la griglia. Discuti, motivando la risposta, la verità o la falsità per ciascuna delle seguenti tre affermazioni:

a) relativamente ad ogni modo di riempire la griglia esiste almeno un numero speciale;

b) relativamente a qualche modo di riempire la griglia esiste almeno un numero speciale;

c) relativamente ad ogni modo di riempire la griglia esiste al più un numero speciale.

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: a)F b)V c)V Fonte: apri PDF p.1

Special position numbers in the grid 2020x2020

We fill out a square grid $2020\times 2020$ by inserting the first $2020^2$ positive integers, one per box: if it happens that one of the numbers inserted is the largest of all those in its row and the smallest of all those in its column, let’s say that number is in a special position **** relative to the way we filled the grid. Discuss, justifying the answer, the truth or falsity of each of the following three statements:

(a) there is at least one special number for each method of filling the grid;

(b) there is at least one special number for any method of filling the grid;

(c) for each method of filling the grid there is at most a special number.

Answer: a)F b)V c)V src_kangourou_2020_student_settembre__Q02

Coppie intere (x,y) con x^2+7y=xy

Quante sono le coppie ordinate $(x,y)$ di numeri interi (non necessariamente positivi) tali che $x^2+7y=xy$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6 Fonte: apri PDF p.1

Integrated pairs (x,y) with x^2+7y=xy

How many pairs $(x,y)$ of integers (not necessarily positive) such as $x^2+7y=xy$?

Answer: 6 src_kangourou_2020_student_settembre__Q03

Confronto tra 129^29 e 4095^17

Quale tra i due numeri $129^{29}$ e $4095^{17}$ è il maggiore?

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Stima e approssimazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: il secondo Fonte: apri PDF p.1

Comparison between 129^29 and 4095

Which of the two numbers $129^{29}$ and $4095^{17}$ is greater?

Answer: il secondo src_kangourou_2020_student_settembre__Q04

Allineamento di M,N,P nel triangolo con incerchio

Una circonferenza di centro $I$ è inscritta in un triangolo $ABC$: denota con $D$ ed $E$ i suoi punti di tangenza rispettivamente ai lati $BC$ e $AC$. Denota inoltre con $M$ e $N$ rispettivamente i punti medi di $BC$ e $AB$ e con $P$ l’intersezione tra la retta congiungente $A$ con $I$ e quella congiungente $D$ con $E$. Dimostra che $M$, $N$ e $P$ sono allineati.

Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

Alignment of M,N,P in the triangle with inclination

A center circumference $I$ is inscribed in a triangle $ABC$: denotes with $D$ and $E$ its tangent points on the sides $BC$ and $AC$ respectively. Also denote with $M$ and $N$ the mean points of $BC$ and $AB$ respectively and with $P$ the intersection between the connecting line $A$ with $I$ and the connecting line $D$ with $E$. It shows that $M$, $N$ and $P$ are aligned.

src_kangourou_2020_student_settembre__Q05

Limitatezza somme dei cubi di successione convergente a 0

Premessa: una successione di numeri reali $\{c_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ si dice convergente a $0$ se accade che, per ogni numero reale $\epsilon >0$, esiste un indice $i_0$ tale che, per ogni $i>i_0$, si abbia $|c_i|<\epsilon$.

Decidi se la seguente affermazione è vera o falsa, motivando la risposta.

“Sia $\{c_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ una successione di numeri reali convergente a $0$ tale che si abbia $|c_1+c_2+\cdots +c_n|<2$ per ogni $n\in \mathbb{N}$. Allora esiste $M>0$ tale che si abbia $|c_1^3+c_2^3+\cdots +c_n^3|<M$ per ogni $n\in \mathbb{N}$.”

(Può essere utile sapere che, fissato un numero positivo $a$, esiste un numero $M=M(a)$ tale che si abbia $1+\frac{1}{2^a}+\frac{1}{3^a}+\cdots +\frac{1}{n^a}<M$ per ogni $n\in \mathbb{N}$ se e solo se $a>1$.)

Topic: successioni, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: FALSA Fonte: apri PDF p.1

Limited sums of succession cubes converging to 0

**Premise: ** a sequence of real numbers $\{c_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ is said to be convergent to $0$ if, for each real number $\epsilon >0$, there exists an index $i_0$ such that, for each $i>i_0$, $|c_i|<\epsilon$.

Decide whether the following statement is true or false by reasoning the answer.

‘Whether $\{c_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ is a sequence of real numbers converging to $0$ such that $|c_1+c_2+\cdots +c_n|<2$ is obtained for each $n\in \mathbb{N}$. Then there is $M>0$ such that you have $|c_1^3+c_2^3+\cdots +c_n^3|<M$ for every $n\in \mathbb{N}$”.

(It may be useful to know that if a positive $a$ number is set, there is a $M=M(a)$ number such that for each $n\in \mathbb{N}$ $1+\frac{1}{2^a}+\frac{1}{3^a}+\cdots +\frac{1}{n^a}<M$ $a>1$ $1+\frac{1}{2^a}+\frac{1}{3^a}+\cdots +\frac{1}{n^a}<M$ exists.)

Answer: FALSA src_kangourou_2020_student_settembre__Q06