Numeri di 4 cifre da 337337 cancellandone due
(2 punti) Quanti numeri diversi di quattro cifre si possono ottenere da 337337 cancellandone due cifre? A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Four-digit numbers from 337337 by deleting two
(2 points) How many different four-digit numbers can be obtained from 337337 by deleting two digits? A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Answer: B src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q01
Minuti minimi per attraversare il ponte tibetano
(3 punti) Di ritorno da un’escursione, Anna, Bob, Carla e Doris devono attraversare un fiume su un ponte tibetano, su cui possono transitare al massimo due persone alla volta; è buio e quindi per l’attraversamento è necessaria una pila, ma ne hanno una sola che può bastare per due persone e non se la possono lanciare da una parte all’altra del fiume. Quanti minuti impiegheranno al minimo per passare tutti sull’altra riva se per l’attraversamento Anna impiega 8 minuti, Bob 7, Carla 5 e Doris 4 e, ovviamente, se due amici attraversano insieme, lo fanno alla velocità del più lento? A) 24
B) 27
C) 28
D) 29
E) 32
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Minimum minutes to cross the Tibetan Bridge
(3 points) On their way back from an excursion, Anna, Bob, Carla and Doris have to cross a river on a Tibetan bridge, on which no more than two people can cross at a time; it is dark and therefore a stack is required for crossing, but they only have one that can accommodate two people and they cannot throw it from one side of the river to the other. How many minutes will it take at least to get everyone across if it takes Anna 8 minutes to cross, Bob 7, Carla 5 and Doris 4 and, of course, if two friends cross together, they do it at the slowest speed? A) 24
B) 27
C) 28
D) 29
E) 32
Answer: B src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q02
Numero nella cella X del quadrato magico 4x4
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
\draw (0,0) grid (4,4);
\node at (0.5,3.5) {$X$};
\node at (3.5,3.5) {\textbf{13}};
\node at (0.5,2.5) {\textbf{5}};
\node at (2.5,2.5) {\textbf{10}};
\node at (1.5,1.5) {\textbf{7}};
\node at (3.5,1.5) {\textbf{12}};
\node at (0.5,0.5) {\textbf{4}};
\node at (3.5,0.5) {\textbf{1}};
\end{tikzpicture}
\end{document}(3 punti) Osserva la figura: in alcune celle di una tabella 4×4 è stato inserito un numero intero. Vogliamo inserire dei numeri interi anche nelle restanti celle in modo che diventi un quadrato magico, cioè che le somme dei numeri contenuti in ciascuna riga, quelle dei numeri contenuti in ciascuna colonna e quelle dei numeri contenuti in ciascuna delle due diagonali siano tutte uguali tra loro. Che numero dobbiamo mettere nella cella indicata con X? A) 11
B) 14
C) 15
D) 16
E) 1
Topic: Algebra, Combinatoria Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Number in cell X of the magic square 4x4
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
\draw (0,0) grid (4,4);
\node at (0.5,3.5) {$X$};
\node at (3.5,3.5) {\textbf{13}};
\node at (0.5,2.5) {\textbf{5}};
\node at (2.5,2.5) {\textbf{10}};
\node at (1.5,1.5) {\textbf{7}};
\node at (3.5,1.5) {\textbf{12}};
\node at (0.5,0.5) {\textbf{4}};
\node at (3.5,0.5) {\textbf{1}};
\end{tikzpicture}
\end{document}(3 points) Note the figure: a whole number has been entered in some cells of a table 4×4. We want to insert integers into the remaining cells too so that it becomes a magic square, that is, the sums of the numbers in each row, the sums of the numbers in each column, and the sums of the numbers in each of the two diagonals are all equal to each other. What number do we have to put in the cell marked with X? A) 11
B) 14
C) 15
D) 16
E) 1
Answer: D src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q03
Affermazione sicuramente falsa (euro di Lisa)
(4 punti) Se delle seguenti tre affermazioni
a) “Lisa ha più di 2021 euro”
b) “Lisa ha meno di 2021 euro” c) “Lisa ha almeno 1 euro” una e una sola è vera, quale delle seguenti affermazioni è sicuramente falsa? A) Lisa ha 2021 euro.B) Lisa non ha alcun euro.
C) Lisa ha 1000 euro. D) L’affermazione c) è falsa. E) L’affermazione c) è quella vera.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
*Certainly false claim (Lisa’s euro) *
(4 points) If any of the following three statements
(a) Lisa has more than 2021 euros (b) Lisa has less than 2021 euros (c) Lisa has at least 1 euro one and only one is true, which of the following claims is definitely false? A) Lisa has 2021 euros.
B) Lisa has no euro.
C) Lisa has a thousand euros. (D) Claim (c) is false. E) The statement c) is true.
Answer: C src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q04
Resto per 9 del numero accostando 21..0
(4 punti) Qual è il resto della divisione per 9 del numero 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0, ottenuto accostando le cifre dei primi 22 numeri naturali in ordine decrescente? A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
X
13 5 10
7 12 4
1
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Remaining by 9 of the number approaching 21.0
(4 points) What is the remainder of the division by 9 of the number 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 10 , obtained by approximating the numbers of the first 22 natural numbers in descending order? A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
X
13 5 10
7 12 4
1
Answer: D src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q05
Massimo rapporto velocita Sandro/Carlo senza sorpasso
(4 punti) A Carlo piace correre, a Sandro piace andare in bicicletta. Vogliono allenarsi sulla stessa strada, lunga 1,5 km: Sandro parte all’inizio della strada, Carlo 1 km più avanti. Partono nello stesso istante, vanno nella stessa direzione e ciascuno si muove a velocità costante. Se Sandro non sorpassa Carlo, quanto vale al massimo il rapporto tra la velocità di Sandro e quella di Carlo?
A) 3B) 2
C) 1,75
D) 1,7
E) 1,5
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Maximum speed ratio between Sandro and Carlo without overtaking
(4 points) Carlo likes to run, Sandro likes to ride a bike. They want to train on the same road, 1.5 km long: Sandro leaves at the beginning of the road, Carlo 1 km ahead. They start at the same moment, they go in the same direction, and each one moves at a constant speed. If Sandro doesn’t overtake Carlo, how much is the ratio between Sandro’s speed and Carlo’s speed? A) 3
B) 2
C) 1,75
D) 1,7
E) 1,5
Answer: A src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q06
Somma 2+5+8+…+2021
(5 punti) Quanto vale la somma 2 + 5 + 8 + … + 2021? A) 681750
B) 681751C) 681752
D) 681753
E) 681754
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
This is the total amount of the loan.
(5 points) What is the sum of 2 + 5 + 8 + … + 2021? A) 681750 B) 681751
C) 681752
D) 681753
E) 681754
Answer: B src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q07
Quante cifre 3 scrivendo 2021 come somma di cinque numeri
(5 punti) Giulio vuol scrivere 2021 come somma di cinque numeri interi positivi che non abbiano cifre diverse da 3 e da 5. Quante cifre 3 ci sono complessivamente nei cinque numeri?
A) 2B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
How many digits 3 writing 2021 as the sum of five digits
(5 points) Julius wants to write 2021 as the sum of five positive integers that have no digits other than 3 and 5. How many digits of 3 are there in all five numbers? A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Answer: B src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q08
Differenza A2021-A2020 delle corone circolari
(6 punti) Denotiamo con An l’area della corona circolare delimitata dalle due circonferenze inscritta e circoscritta a un poligono regolare di n lati, ciascuno di lunghezza 1.
Quanto vale la differenza A2021 − A2020? A)
B)C)
D)
E) 0
Quesiti a risposta aperta
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Differential A2021-A2020 of circular crowns
(6 points) We denote with an the area of the circular crown bounded by two enclosed and enclosed circumferences to a regular polygon of n sides, each of length 1. What is the difference between A2021 − A2020? A) B)
C)
D)
E) 0
Open-ended questions
Answer: E src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q09
Max lanci per essere certi che un numero esca 3 volte
(4 punti) Qual è il massimo numero di volte che potrebbe essere necessario lanciare un dado perché almeno un numero esca per 3 volte?
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 13 Fonte: apri PDF p.2
Max tosses to make sure a number goes out 3 times
(4 points) What is the maximum number of times it may be necessary to roll a dice for at least one number to come out 3 times?
Answer: 13 src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q10
Anni dall ultimo anno = due interi consecutivi accostati
(5 punti) Il numero 2021 è formato accostando due numeri interi consecutivi in ordine crescente. Quanti anni sono trascorsi dall’ultima volta in cui ciò è successo?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 101 Fonte: apri PDF p.2
Years since the last year = two consecutive integers approximated
(5 points) The 2021 number is formed by joining two consecutive integers in increasing order. How many years have passed since the last time this happened?
Answer: 101 src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q11
Max numero 4 cifre divisibile per 6 con cifre crescenti
(5 punti) Quanto vale il più grande numero di 4 cifre divisibile per 6 le cui cifre siano in ordine (strettamente) crescente da sinistra a destra?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4578 Fonte: apri PDF p.2
Max number 4 digits divisible by 6 with increasing digits
(5 points) What is the greatest number of 4 digits divisible by 6 whose digits are in (strictly) increasing order from left to right?
Answer: 4578 src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q12
Piu piccola somma di due numeri con 9 cifre diverse
(6 punti) La somma di due numeri di tre cifre, tutte e sei diverse tra loro, dà un numero di tre cifre diverse dalle precedenti e diverse tra loro. Qual è la più piccola somma che puoi ottenere in questo modo? Ricorda che un numero di tre cifre non può avere 0 come prima cifra.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 356 Fonte: apri PDF p.2
*The smallest sum of two numbers with nine digits *
(6 points) The sum of two three-digit numbers, all six of which are different from each other, gives a three-digit number different from the previous ones and different from each other. What’s the smallest amount you can get this way? Remember, a three-digit number cannot have 0 as its first digit.
Answer: 356 src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q13
Lunghezza della striscia attorno al triangolo equilatero
(6 punti) Una striscia di carta rettangolare è ripiegata in modo da ottenere la forma esagonale in figura, che contorna un triangolo equilatero di lato 8 cm (rimanendovi aderente); i lati corti della striscia si saldano nel punto mostrato. Il lato corto della striscia misura √3 cm. Quanti centimetri è lunga la striscia?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 33 Fonte: apri PDF p.3
Length of strip around the equilateral triangle
(6 points) A rectangular strip of paper is folded to obtain the hexagonal shape in the figure, which surrounds an equilateral triangle of side 8 cm (staying attached); the short sides of the strip are welded at the point shown. The short side of the strip measures √ 3 cm. How long is the strip?
Answer: 33 src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q14
Avanzamento del punto P del cingolo
(6 punti) La figura schematizza la fiancata di un mezzo cingolato le cui ruote hanno un raggio di 1/π metri con distanza dei centri di 3 metri. La parte inferiore del cingolo è a contatto con un terreno piano regolare e P denota il punto a metà della parte attualmente superiore del cingolo. Se il mezzo avanza di 20 centimetri, di quanti centimetri avanza, rispetto al terreno, il punto P?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 40 Fonte: apri PDF p.3
Forwarding of the P-point of the groove
(6 points) The figure sketches the rim of a half-circle whose wheels have a radius of 1/π meters with a centre distance of 3 meters. The lower part of the ring is in contact with a regular flat ground and P denotes the point halfway up the current upper part of the ring. If the middle moves 20 centimeters, how many centimeters does the point P move, relative to the ground?
Answer: 40 src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q15
Massimo blocco di gettoni neri consecutivi
(7 punti) Abbiamo 90 gettoni, metà dei quali neri e l’altra metà bianchi. Vogliamo allinearli in modo che i blocchi di gettoni bianchi consecutivi siano quanti più possibili e che nessuna coppia di questi blocchi abbia lo stesso numero di gettoni. Qual è il numero di gettoni nel blocco più grande possibile di gettoni neri consecutivi?
Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 38 Fonte: apri PDF p.3
Maximum block of consecutive black tokens
(7 points) We have 90 tokens, half black and half white. We want to align them so that the consecutive blocks of white tokens are as many as possible and that no pair of these blocks have the same number of tokens. What is the number of tokens in the largest possible block of consecutive black tokens?
Answer: 38 src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q16
Max stanze visitabili nel triangolo lato 100
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw[thick] (0,0) -- (3,0) -- (1.5,2.598) -- cycle;
\draw (0.5,0.866) -- (2.5,0.866);
\draw (1.0,1.732) -- (2.0,1.732);
\draw (1,0) -- (0.5,0.866);
\draw (2,0) -- (1.5,0.866);
\draw (1.5,0.866) -- (1.0,1.732);
\draw (2.5,0.866) -- (2.0,1.732);
\draw (1,0) -- (1.5,0.866);
\draw (2,0) -- (2.5,0.866);
\draw (0.5,0.866) -- (1.0,1.732);
\draw (1.5,0.866) -- (2.0,1.732);
\end{tikzpicture}
\end{document}(7 punti) Un triangolo equilatero di lato n =100 è ripartito in triangoli equilateri di lato 1 secondo lo schema che ti suggerisce la figura, in cui è rappresentato il caso n = 3. Immagina che ogni triangolo piccolo rappresenti una stanza e che, in ogni suo muro condiviso con una stanza adiacente, ci sia una porta. Scegliendo opportunamente la stanza da cui partire, qual è il massimo numero di stanze che puoi visitare se puoi passare una sola volta da ogni stanza che visiti?
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: parita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9901 Fonte: apri PDF p.3
Max rooms to be visited in the triangle side 100
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw[thick] (0,0) -- (3,0) -- (1.5,2.598) -- cycle;
\draw (0.5,0.866) -- (2.5,0.866);
\draw (1.0,1.732) -- (2.0,1.732);
\draw (1,0) -- (0.5,0.866);
\draw (2,0) -- (1.5,0.866);
\draw (1.5,0.866) -- (1.0,1.732);
\draw (2.5,0.866) -- (2.0,1.732);
\draw (1,0) -- (1.5,0.866);
\draw (2,0) -- (2.5,0.866);
\draw (0.5,0.866) -- (1.0,1.732);
\draw (1.5,0.866) -- (2.0,1.732);
\end{tikzpicture}
\end{document}(7 points) An equilateral triangle of side n =100 is divided into equilateral triangles of side 1 according to the pattern suggested by the figure, in which case n = 3 is represented. Imagine that each small triangle represents a room and that in each of its walls shared with an adjacent room, there is a door. When choosing the appropriate room to leave, what is the maximum number of rooms you can visit if you can only pass once from each room you visit?
Answer: 9901 src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q17
Resto per 5 del prodotto dei numeri di 5 cifre non div per 5
(8 punti) Se moltiplichi tra loro tutti i numeri interi positivi di 5 cifre non divisibili per 5 e dividi per 5 il risultato, che resto ottieni?
Risposte 0013 0101 4578 0356 0033 0040 0038 9901 0001
P saldatura √3 cm
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1 Fonte: apri PDF p.3
Remaining 5 of the product of non-divi-digit 5-digit numbers for 5
(8 points) If you multiply all positive integers by 5 that are not divisible by 5 and divide the result by 5, what do you get?
The Commission has not yet taken any further action.
P Welding √ 3 cm
Answer: 1 src_kangourou_2021_cadet_semifinale__Q18