Kangourou 2021 Junior

Minimo prodotto cifre di numero 5 cifre somma 37

Hai un sacchetto di coriandoli e vorresti sapere quanti sono, almeno approssimativamente. Pensi di usare la seguente strategia:

ne estrai 50 e li contraddistingui con un segno, quindi li rimetti nel sacchetto e mescoli tutti i coriandoli in modo che quelli che hai contrassegnato si possano distribuire uniformemente all’interno del sacchetto;

ne estrai quindi 70 a caso e scopri che, fra questi 70, solo due sono stati contrassegnati da te.

Sulla base di questo esperimento, qual è un numero attendibile per i coriandoli contenuti nel sacchetto?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Minimum product number 5 digits sum 37

You have a bag of coriander and you’d like to know how many, at least roughly. Think of using the following strategy:

you extract 50 of them and mark them with a mark, then put them back in the bag and mix all the candies so that the ones you’ve marked can evenly be distributed inside the bag; - you extract 70 of them at random and find out that out of these 70, only two have been marked by you.

Based on this experiment, what is a reliable number for the coriander in the bag?

src_kangourou_2021_junior_finale__Q01

Massimo n con 4^27+4^1025+4^n quadrato perfetto

Osservando da lontano due sfere di raggi diversi, esse ti appaiono della stessa grandezza (come, ad esempio, potrebbe accadere per il sole e per la luna). Tuttavia, la distanza della più grande da te è 100 volte la distanza della più piccola (assumi che le distanze siano stimate tra te e i centri delle sfere). Quanto vale il rapporto fra il volume della più grande e il volume della più piccola?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Maximum n with 4^27 + 4^1025 + 4^n perfect square

When you observe two spheres of different rays from a distance, they appear to you of the same size (as, for example, might happen to the sun and the moon). However, the distance of the largest from you is 100 times the distance of the smallest (assume that the distances are estimated between you and the centers of the spheres). What is the ratio of the volume of the largest to the volume of the smallest?

src_kangourou_2021_junior_finale__Q02

Massimo travasi per ripristinare 10 recipienti

Dieci recipienti, non necessariamente della stessa capacità, che possiamo considerare illimitata, contengono ciascuno acqua, non necessariamente nella stessa quantità. Effettuiamo alcuni travasi tra i recipienti; per ogni recipiente, ad ogni travaso, annotiamo la quantità di acqua immessa o prelevata. Ad esempio denotati i recipienti con A, B ecc. e usando sempre la stessa unità di misura potremmo avere un’annotazione come

A B C D E F G H I J
travaso 1 +1 0 0 0 0 0 0 0 0 −1

Al termine di queste operazioni si vuole ripristinare in ogni recipiente la quantità di acqua iniziale, minimizzando il numero di travasi. Adottando un’opportuna strategia, quanti travasi potranno essere necessari, al massimo?

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
travaso 1	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	−1

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9 Fonte: apri PDF p.2

Maximum time to restore 10 containers

Ten containers, not necessarily of the same capacity, which we can consider unlimited, each contain water, not necessarily in the same quantity. We make some transitions between the containers; for each container, at each transition, we write down the amount of water that is in or out. For example, mark the containers with A, B, etc. And using the same unit of measurement, we could have an annotation like

This is the first time I’ve ever seen a person who’s been in a relationship with a woman who’s been in a relationship with a man who’s been in a relationship with a woman who’s been in a relationship with a man who’s been in a relationship with a woman who’s been in a relationship with a man who’s been in a relationship with a woman who’s been in a relationship with a man who’s been in a relationship with a woman who’s been in a relationship with a man who’s been in a relationship with a woman who’s been in a relationship with a man who’s been in a relationship with a man who’s been in a relationship with a woman who’s been in a relationship with a woman who’s been in a relationship with a man who’s been in a relationship with a man who’s been in a relationship with a woman who’s been in a relationship with a man who’s been in a relationship with a man who’s been in a relationship with a relationship with a woman who’s been in a relationship with her.

At the end of these operations, the initial amount of water in each container is to be restored, thus minimizing the number of transis. If we adopt a proper strategy, how many frames will be needed, at most?

Answer: 9 src_kangourou_2021_junior_finale__Q03

Numero di sviluppi piani diversi di un cubo

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) rectangle (1,1);
  \draw (1,0) rectangle (2,1);
  \draw (2,0) rectangle (3,1);
  \draw (3,0) rectangle (4,1);
  \draw (1,1) rectangle (2,2);
  \draw (1,-1) rectangle (2,0);
\end{tikzpicture}
\end{document}

In figura vedi uno sviluppo piano di un cubo, cioè un possibile accostamento in piano delle facce del cubo in modo da poter ricostruire il cubo piegando opportunamente la figura lungo i lati comuni a due facce. Quanti sviluppi piani diversi fra loro ha un cubo, considerando identici due sviluppi ottenibili uno dall’altro per rotazioni e/o riflessioni? (vedi figura)

Topic: Geometria solida, Combinatoria Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 11 Fonte: apri PDF p.2

Number of different plane developments of a cube

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) rectangle (1,1);
  \draw (1,0) rectangle (2,1);
  \draw (2,0) rectangle (3,1);
  \draw (3,0) rectangle (4,1);
  \draw (1,1) rectangle (2,2);
  \draw (1,-1) rectangle (2,0);
\end{tikzpicture}
\end{document}

In the figure you see a plane development of a cube, that is, a possible plane approach of the sides of the cube so that you can reconstruct the cube by folding the figure along the common sides of the two sides appropriately. How many different planes of development between them has a cube, considering identical two developments achievable from each other by rotation and/or reflection? (see figure)

Answer: 11 src_kangourou_2021_junior_finale__Q04

Riempire griglia mxn con somme colonna costanti

Hai una griglia rettangolare di $m$ righe e $n$ colonne e vuoi riempirla inserendo, uno per ogni casella, tutti i numeri interi da $1$ a $m \times n$ in modo che la somma dei numeri inseriti in ciascuna colonna sia sempre la stessa al variare delle colonne. Rispondi alle seguenti domande giustificando le tue risposte. Puoi riuscirci quando

a) $m = 2021$ e $n = 2020$ ?

b) $m = 2020$ e $n = 2021$ ?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: a)No b)Si Fonte: apri PDF p.3

Fill the mxn grid with constant column sums

You have a rectangular grid of $m$ rows and $n$ columns and you want to fill it up by entering, one for each box, all the integers from $1$ to $m \times n$ so that the sum of the numbers entered in each column is always the same when the columns vary. Answer the following questions and justify your answers. You can do it when

a) $m = 2021$ e $n = 2020$ ?

b) $m = 2020$ e $n = 2021$ ?

Answer: a)No b)Si src_kangourou_2021_junior_finale__Q05

Dimostrare c1+..+cn>=n se prodotto ci=1 (AM-GM)

Dimostra che, per qualunque $n$ -upla $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ di numeri positivi il cui prodotto sia $1$ , si ha $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} \geq n .$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.3

*Demonstrate c1+..+cn>=n if product ci=1 (AM-GM) *

It shows that for any $n$ -upple $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ of positive numbers the product of which is $1$ , $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} \geq n .$

src_kangourou_2021_junior_finale__Q06

Data in cui Penelope ha tela lunga 100 m

Una jazz band è costituita da sei membri. Giuseppe suona il sassofono, Sergio suona la tromba, Eliana canta e hanno tutti la stessa età. Gli altri tre membri della jazz band hanno 17, 19 e 24 anni. L’età media dei sei membri è 21 anni. Quanti anni ha Eliana?

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

Topic: successioni, Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Date on which Penelope has 100 m long canvas*

A jazz band consists of six members. Joseph plays the saxophone, Sergio plays the trumpet, Eliana sings and they’re all the same age. The other three members of the jazz band are 17, 19, and 24. The average age of the six members is 21. How old is Eliana?

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

src_kangourou_2021_junior_finale__Q07

Somma degli n con 2021 = n + somma cifre di n

Osserva la figura. Un rettangolo di perimetro 30 cm è ripartito in quattro rettangoli, uno dei quali è un quadrato di area $9 cm^{2}$ . Quanti centimetri misura il perimetro del rettangolo $A B C D$ ? (vedi figura)

A) 14 B) 16 C) 18 D) 21 E) 24

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

sum of n with 2021 = n + sum of n

Look at the figure. A rectangle with a perimeter of 30 cm is divided into four rectangles, one of which is a square of area $9 cm^{2}$ . How many centimetres does the perimeter of the $A B C D$ rectangle measure? (see figure)

A) 14 B) 16 C) 18 D) 21 E) 24

src_kangourou_2021_junior_finale__Q08

Minimo L per segmenti che coprono il triangolo

Alberto ha disegnato tre triangoli su una griglia. Di essi, esattamente due hanno la stessa area, esattamente due sono isosceli ed esattamente due sono triangoli rettangoli. Nella figura a destra sono visualizzati due dei tre triangoli. Quale potrebbe essere il terzo? (vedi figura)

A) (vedi figura A) B) (vedi figura B) C) (vedi figura C) D) (vedi figura D) E) (vedi figura E)

Topic: Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2

Minimum L for segments covering the triangle

Alberto drew three triangles on a grid. Of these, exactly two have the same area, exactly two are isosceles and exactly two are rectangular triangles. In the figure to the right, two of the three triangles are shown. What could be the third? (see figure)

(see Figure A) (see Figure B) (see Figure C) (see Figure D) (see Figure D) (see Figure E) (see Figure E)

src_kangourou_2021_junior_finale__Q09

Quanti primi tra interi 3 cifre con cifre 1,3,5

Tom ha 10 candele tutte uguali. Ognuna si consuma in 20 minuti, in modo uniforme lungo la sua altezza. Ne accende una; quando ne rimane solo un decimo ne accende un’altra; quando rimane solo un decimo della seconda ne accende una terza e così via fino a che non le ha accese tutte. Dopo quanto tempo dall’istante in cui ha acceso la prima si spegnerà l’ultima?

A) 3h e 10 min B) 3h e 2 min C) 3h D) 2h e 40 min E) 2h e 58 min

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2

Numbers of prime numbers of whole 3 digits with digits 1,3,5

Tom has 10 candles all the same. Each is consumed in 20 minutes, evenly along its height. He lights one; when there is only one tenth left, he lights another; when there is only one tenth left of the second, he lights a third, and so on until he lights them all. How long after the first one is turned on, will the last one go off?

A) 3h and 10 min B) 3h and 2 min C) 3h D) 2h and 40 min E) 2h and 58 min

src_kangourou_2021_junior_finale__Q10

Somma delle taglie dei numeri di 3 cifre distinte

Anna ha scelto un numero $A$ e gli ha sottratto $\frac{1}{10}$ , Beatrice ha scelto un numero $B$ e lo ha moltiplicato per $\frac{1}{10}$ . Anna e Beatrice hanno ottenuto lo stesso risultato. Allora

A) certamente $A < B$ . B) certamente $A > B$ . C) certamente $A \times B > 0$ . D) certamente $A$ è diverso da $B$ , ma potrebbe sia essere $A < B$ , sia essere $A > B$ . E) nessuna delle affermazioni precedenti è corretta.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

Summary of the sizes of three distinct digits of numbers

Anna chose a number $A$ and subtracted it from $\frac{1}{10}$ , Beatrice chose a number $B$ and multiplied it by $\frac{1}{10}$ . Anna and Beatrice got the same result. So, what?

(a) certainly $A < B$ . (b) certainly $A > B$ . (c) certainly $A \times B > 0$ . D) $A$ is certainly different from $B$ , but it could be either $A < B$ or $A > B$ . E) None of the above claims are correct.

src_kangourou_2021_junior_finale__Q11

Lunghezza del ponte (Aldo e Carlo)

Amedeo percorre una scala di legno di 8 gradini salendo 1 o 2 gradini alla volta. Il $6°$ gradino è marcio, quindi per evitare pericoli deve necessariamente saltarlo. In quanti modi diversi Amedeo può raggiungere il gradino più alto?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2

*Length of the bridge (Aldo and Carlo) *

Amedeus walks an eight-stage wooden ladder climbing one or two steps at a time. The $6°$ step is rotten, so to avoid danger you must skip it. How many different ways can Amedeo reach the highest degree?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

src_kangourou_2021_junior_finale__Q12

Quanti termini < 2021 con media dei primi n uguale a n

Osserva la figura: ogni punto in cui due circonferenze si intersecano è coperto da una etichetta circolare. Ogni etichetta deve ospitare uno degli interi da 1 a 6 e ognuno di essi deve essere impiegato. Sommando i numeri che compaiono lungo le singole circonferenze si deve ottenere sempre lo stesso risultato. Il numero 6 è già stato inserito. Quale numero deve essere inserito al posto del punto interrogativo? (vedi figura)

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Topic: successioni, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2

How many terms < 2021 with mean prime n equal to n

Note the figure: each point where two circumferences intersect is covered by a circular label. Each label must contain one of the integers 1 to 6 and each of them must be used. Adding the numbers that appear along the individual circumferences must always yield the same result. Number 6 has already been entered. What number shall be inserted in the place of the question mark? (see figure)

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

src_kangourou_2021_junior_finale__Q13

Valore a+b cifre di 4^2021 e 25^2021

Se si divide 2021 per 6, 7, 8 o 9 si ottiene sempre 5 come resto. Per quanti numeri interi positivi, minori di 2021, succede la stessa cosa, cioè il resto delle quattro divisioni è sempre 5?

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) nessuno

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2

Value a+b figures of 4^2021 and 25^2021

If you divide 2021 by 6, 7, 8 or 9, you always get 5 as the rest. For how many positive integers, less than 2021, does the same thing happen, that is, the rest of the four divisions is always 5?

(a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 1 (e) none

src_kangourou_2021_junior_finale__Q14

Massimo CASE nella moltiplicazione criptata

La figura mostra un semicerchio con centro in $O$ . Sono indicate le misure di due degli angoli che vi compaiono. Qual è la misura, in gradi, dell’angolo $α$ ? (vedi figura)

A) 18 B) 11 C) 17,5 D) 9 E) 16

Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2

Major CASE in encrypted multiplication

The figure shows a semicircle centered in $O$ . The measurements of two of the angles that appear are indicated. What is the measure, in degrees, of the angle $α$ ? (see figure)

A) 18 B) 11 C) 17,5 D) 9 E) 16

src_kangourou_2021_junior_finale__Q15

competition	Kangourou 2021 Junior - finale
year	2021
level	kangourou

Raccolta Gare di Matematica

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Kangourou 2021 Junior - finale

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