Attraversamento ponte di notte con una pila, tempo minimo
(2 punti) Di ritorno da un’escursione, Anna, Bob, Carla e Doris devono attraversare un fiume su un ponte tibetano, su cui possono transitare al massimo due persone alla volta; è buio e quindi per l’attraversamento è necessaria una pila, ma ne hanno una sola che può bastare per due persone e non se la possono lanciare da una parte all’altra del fiume. Quanti minuti impiegheranno al minimo per passare tutti sull’altra riva se per l’attraversamento Anna impiega 8 minuti, Bob 7, Carla 5 e Doris 4 e, ovviamente, se due amici attraversano insieme, lo fanno alla velocità del più lento? A) 24
B) 27
C) 28
D) 29
E) 32
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Cross the bridge at night with a stack, minimum time
(2 points) On their return from an excursion, Anna, Bob, Carla and Doris have to cross a river on a Tibetan bridge, on which no more than two people can pass at a time; it is dark and therefore a stack is required for crossing, but they only have one that can accommodate two people and cannot throw it from one side of the river to the other. How many minutes will it take at least to get everyone across if it takes Anna 8 minutes to cross, Bob 7, Carla 5 and Doris 4 and, of course, if two friends cross together, they do it at the slowest speed? A) 24
B) 27
C) 28
D) 29
E) 32
Answer: B src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q01
una sola affermazione vera su euro di Lisa
(3 punti) Se delle seguenti tre affermazioni
a) “Lisa ha più di 2021 euro” b) “Lisa ha meno di 2021 euro” c) “Lisa ha almeno 1 euro” una e una sola è vera, quale delle seguenti affermazioni è sicuramente falsa? A) Lisa ha 2021 euro.
B) Lisa non ha alcun euro.
C) Lisa ha 1000 euro. D) L’affermazione c) è falsa. E) L’affermazione c) è quella vera.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
one single true statement in euro of Lisa
(3 points) If any of the following three statements
(a) Lisa has more than 2021 euros (b) Lisa has less than 2021 euros (c) Lisa has at least 1 euro one and only one is true, which of the following claims is definitely false? A) Lisa has 2021 euros.
B) Lisa has no euro.
C) Lisa has a thousand euros. (D) Claim (c) is false. E) The statement c) is true.
Answer: C src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q02
Rapporto massimo di velocita senza sorpasso su strada
(3 punti) A Carlo piace correre, a Sandro piace andare in bicicletta. Vogliono allenarsi sulla stessa strada, lunga 1,5 km: Sandro parte all’inizio della strada, Carlo 1 km più avanti. Partono nello stesso istante, vanno nella stessa direzione e ciascuno si muove a velocità costante. Se Sandro non sorpassa Carlo, quanto vale al massimo il rapporto tra la velocità di Sandro e quella di Carlo?
A) 3B) 2
C) 1,75
D) 1,7
E) 1,5
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Maximum speed ratio without overtaking on the road
Carlo likes to run, Sandro likes to ride a bike. They want to train on the same road, 1.5 km long: Sandro leaves at the beginning of the road, Carlo 1 km ahead. They start at the same moment, they go in the same direction, and each one moves at a constant speed. If Sandro doesn’t overtake Carlo, how much is the ratio between Sandro’s speed and Carlo’s speed? A) 3
B) 2
C) 1,75
D) 1,7
E) 1,5
Answer: A src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q03
Cifra delle unita della somma 2+5+8+…+2021
(4 punti) Quanto vale la cifra delle unità della somma 2 + 5 + 8 + … + 2021? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Number of units of the sum 2+5+8+…+2021
(4 points) What is the value of the units of the sum 2 + 5 + 8 + … + 2021? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Answer: B src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q04
2021 come somma di cinque interi con sole cifre 3 e 5
(4 punti) Giulio vuol scrivere 2021 come somma di cinque numeri interi positivi che non abbiano cifre diverse da 3 e da 5. Quante cifre 3 ci sono complessivamente nei cinque numeri?
A) 2B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
2021 as the sum of five integers with only digits 3 and 5
(4 points) Julius wants to write 2021 as the sum of five positive integers that have no digits other than 3 and 5. How many digits of 3 are there in all five numbers? A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Answer: B src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q05
Sottoinsiemi consecutivi a,b,c di S con somma quadrato perfetto
(4 punti) Considera l’insieme S = {1, 2, 3, …, 29, 30}. Denota con K un sottoinsieme {a, b, c} di tre elementi diversi di S. Quanti sottoinsiemi K di S sono tali che a + b + c sia un quadrato perfetto, si abbia b = a + 1 e si abbia c = b + 1? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Sub-sets of S consecutively a,b,c with a perfect square sum
(4 points) Consider the set S = {1, 2, 3, …, 29, 30}. Denotes with K a subset {a, b, c} of three different elements of S. How many K subsets of S are such that a + b + c is a perfect square, you have b = a + 1 and you have c = b + 1? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Answer: D src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q06
Differenza aree corone circolari poligoni regolari n lati
(5 punti) Denotiamo con An l’area della corona circolare delimitata dalle due circonferenze inscritta e circoscritta a un poligono regolare di n lati, ciascuno di lunghezza 1.
Quanto vale la differenza A2021 − A2020? A)
B)C)
D)
E) 0
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Difference between regular circular polygon crown areas n sides
(5 points) We denote with an area of the circular crown bounded by two inscribed and circumscribed circumferences to a regular polygon of n sides, each of length 1. What is the difference between A2021 − A2020? A) B)
C)
D)
E) 0
Answer: E src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q07
numeri con esito diverso
(5 punti) Pietro ha arrotondato alle decine tutti i numeri interi positivi minori di 10000, poi ha arrotondato i numeri ottenuti alle centinaia e infine ha arrotondato gli ultimi risultati alle migliaia. Invece Paolo ha arrotondato direttamente alle migliaia tutti i numeri interi positivi minori di 10000. Per quanti dei numeri interi di partenza i due ragazzi ottengono risultati finali diversi? L’arrotondamento va inteso nel senso usuale: ad esempio, per l’arrotondamento alle decine, 10 e 13 vengono arrotondati a 10, 15 e 17 a 20. A) 0
B) 55
C) 110
D) 550
E) 1100
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
numbers with different output
(5 points) Peter rounded all positive integers less than 10,000 to tens, then rounded the numbers to hundreds, and finally rounded the final results to thousands. Instead, Paul rounded directly to the thousands all positive integers less than 10,000. For how many of the starting integers do the two boys get different end results? Rounding is to be understood in the usual sense: for example, for rounding to tens, 10 and 13 are rounded to 10, 15 and 17 to 20. A) 0
B) 55
C) 110
D) 550
E) 1100
Answer: D src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q08
somma diametri impossibile
(6 punti) Usando strumenti di alta precisione, da un unico quadrato di 10 cm di lato si possono ritagliare alcuni cerchi tali che, sommati i loro diametri in centimetri, si ottenga i) 20.
j) 15.
h) 10 π.k) 2021. Quale delle precedenti affermazioni è falsa? A) La i).
B) La j).
C) La h).
D) La k). E) Nessuna.
Quesiti a risposta aperta
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
sum of diameters impossible
(6 points) Using high-precision tools, a single square of 10 cm on the side can be cut into circles such that, when their diameters are added together in centimetres, they are obtained. j) 15. h) 10 π.
k) 2021. Which of the foregoing claims is false? A) La i).
B) La j).
C) La h).
D) La k). E) None of them.
Open-ended questions
Answer: E src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q09
Fette di pizza mangiate tra 2/3 e 3/4
(4 punti) Una pizza è stata tagliata in meno di 10 fette tutte della stessa misura. Marco ne ha mangiate alcune: in totale più di ma meno di dell’intera pizza. Quante fette ha mangiato?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Stima e approssimazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0005 Fonte: apri PDF p.2
*Pizza chips eaten between 2/3 and 3/4 *
(4 points) A pizza was cut into less than 10 slices all of the same size. Mark ate some of them: more but less than the whole pizza. How many slices did you eat?
Answer: 0005 src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q10
Lunghezza striscia di carta ripiegata su triangolo equilatero
(5 punti) Una striscia di carta rettangolare è ripiegata in modo da ottenere la forma esagonale in figura, che contorna un triangolo equilatero di lato 8 cm (rimanendovi aderente); i lati corti della striscia si saldano nel punto mostrato. Il lato corto della striscia misura √3 cm. Quanti centimetri è lunga la striscia?
saldatura √3 cm
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0033 Fonte: apri PDF p.2
Length of strip of paper folded over an equilateral triangle
(5 points) A rectangular strip of paper is folded to form the hexagonal shape in the figure, which surrounds an equilateral triangle of 8 cm side (staying attached); the short sides of the strip are welded at the point shown. The short side of the strip measures √ 3 cm. How long is the strip? Welding √3 cm
Answer: 0033 src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q11
Avanzamento del punto P del cingolo se mezzo avanza 20cm
(5 punti) La figura schematizza la fiancata di un mezzo cingolato le cui ruote hanno un raggio di 1/π metri con distanza dei centri di 3 metri. La parte inferiore del cingolo è a contatto con un terreno piano regolare e P denota il punto a metà della parte attualmente superiore del cingolo. Se il mezzo avanza di 20 centimetri, di quanti centimetri avanza, rispetto al terreno, il punto P?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0040 Fonte: apri PDF p.3
Forwarding of the P-point of the beam if half forward 20 cm
(5 points) The figure outlines the rim of a half-circle whose wheels have a radius of 1/π meters with a centre distance of 3 meters. The lower part of the ring is in contact with a regular flat ground and P denotes the point halfway up the current upper part of the ring. If the middle moves 20 centimeters, how many centimeters does the point P move, relative to the ground?
Answer: 0040 src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q12
Massimo numero di stanze visitabili in triangolo n=100
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
% Equilateral triangle n=3, subdivided into 9 unit equilateral triangles
% Grid points: p(i,j) = (i + j/2, j*sqrt(3)/2) for i+j <= 3, i,j >= 0
% Horizontal segments (constant j)
\draw (0,0) -- (1,0) -- (2,0) -- (3,0);
\draw (0.5,0.866) -- (1.5,0.866) -- (2.5,0.866);
\draw (1,1.732) -- (2,1.732);
% Left-leaning segments (constant i)
\draw (0,0) -- (0.5,0.866) -- (1,1.732) -- (1.5,2.598);
\draw (1,0) -- (1.5,0.866) -- (2,1.732);
\draw (2,0) -- (2.5,0.866);
% Right-leaning segments (constant i+j)
\draw (3,0) -- (2.5,0.866) -- (2,1.732) -- (1.5,2.598);
\draw (2,0) -- (1.5,0.866) -- (1,1.732);
\draw (1,0) -- (0.5,0.866);
\end{tikzpicture}
\end{document}(6 punti) Un triangolo equilatero di lato n =100 è ripartito in triangoli equilateri di lato 1 secondo lo schema che ti suggerisce la figura, in cui è rappresentato il caso n = 3. Immagina che ogni triangolo piccolo rappresenti una stanza e che, in ogni suo muro condiviso con una stanza adiacente, ci sia una porta. Scegliendo opportunamente la stanza da cui partire, qual è il massimo numero di stanze che puoi visitare se puoi passare una sola volta da ogni stanza che visiti?
Topic: Combinatoria Metodo: parita, Teoria dei grafi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9901 Fonte: apri PDF p.3
Maximum number of rooms to be visited in triangle n=100
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
% Equilateral triangle n=3, subdivided into 9 unit equilateral triangles
% Grid points: p(i,j) = (i + j/2, j*sqrt(3)/2) for i+j <= 3, i,j >= 0
% Horizontal segments (constant j)
\draw (0,0) -- (1,0) -- (2,0) -- (3,0);
\draw (0.5,0.866) -- (1.5,0.866) -- (2.5,0.866);
\draw (1,1.732) -- (2,1.732);
% Left-leaning segments (constant i)
\draw (0,0) -- (0.5,0.866) -- (1,1.732) -- (1.5,2.598);
\draw (1,0) -- (1.5,0.866) -- (2,1.732);
\draw (2,0) -- (2.5,0.866);
% Right-leaning segments (constant i+j)
\draw (3,0) -- (2.5,0.866) -- (2,1.732) -- (1.5,2.598);
\draw (2,0) -- (1.5,0.866) -- (1,1.732);
\draw (1,0) -- (0.5,0.866);
\end{tikzpicture}
\end{document}(6 points) An equilateral triangle of side n =100 is divided into equilateral triangles of side 1 according to the pattern suggested by the figure, in which case n = 3 is represented. Imagine that each small triangle represents a room and that in each of its walls shared with an adjacent room, there is a door. When choosing the appropriate room to leave, what is the maximum number of rooms you can visit if you can only pass once from each room you visit?
Answer: 9901 src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q13
blocco massimo di neri con blocchi bianchi distinti
(6 punti) Abbiamo 90 gettoni, metà dei quali neri e l’altra metà bianchi. Vogliamo allinearli in modo che i blocchi di gettoni bianchi consecutivi siano quanti più possibili e che nessuna coppia di questi blocchi abbia lo stesso numero di gettoni. Qual è il numero di gettoni nel blocco più grande possibile di gettoni neri consecutivi?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Principio di estremalita Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0038 Fonte: apri PDF p.3
maximum block of black with distinct white blocks
(6 points) We have 90 tokens, half of which are black and the other half white. We want to align them so that the consecutive blocks of white tokens are as many as possible and that no pair of these blocks have the same number of tokens. What is the number of tokens in the largest possible block of consecutive black tokens?
Answer: 0038 src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q14
Ultime quattro cifre allineamento 0/1 senza blocchi ripetuti
(6 punti) Utilizzando solo le cifre 0 e 1, Tommaso costruisce un allineamento di più di cinque cifre che inizia con 1001 e rispetta queste condizioni:
a) non ci sono due blocchi identici di cinque cifre consecutive, disgiunti o parzialmente sovrapponentisi; b) l’allineamento termina quando non è possibile aggiungere alcuna delle due cifre senza violare la condizione a). Quali sono le ultime quattro cifre dell’allineamento di Tommaso? Scrivi 9999 se ritieni che non siano univocamente determinate.
Topic: Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1001 Fonte: apri PDF p.3
Last four digits 0/1 alignment without repeated blocks
(6 points) Using only the digits 0 and 1, Thomas constructs an alignment of more than five digits starting with 1001 and satisfying the following conditions:
(a) there are no two identical blocks of five consecutive digits, disjoint or partially overlapping; (b) the alignment ends when neither of the two digits can be added without breaching condition (a). What are the last four digits of Thomas’s alignment? Please dial 9999 if you believe they are not uniquely determined.
Answer: 1001 src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q15
Resto dividendo per 5 il prodotto dei numeri di 5 cifre
(7 punti) Se moltiplichi tra loro tutti i numeri interi positivi di 5 cifre non divisibili per 5 e dividi per 5 il risultato, che resto ottieni?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0001 Fonte: apri PDF p.3
Remaining by dividing by 5 the product of the 5-digit numbers
(7 points) If you multiply all positive integers by 5 that are not divisible by 5 and divide by 5 the result, what do you get?
Answer: 0001 src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q16
Quanti primi della forma (m^2+m+1)/n
(7 punti) Quanti sono i numeri primi della forma
dove m e n sono numeri interi positivi? (Scrivi 9999 se ritieni che siano infiniti). P
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9999 Fonte: apri PDF p.3
Numbers of prime of the form (m^2+m+1)/n
(7 points) What are the prime numbers of the form
where m and n are positive integers? (Write 9999 if you believe they are infinite).
P
Answer: 9999 src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q17
Lunghezza AB con due cerchi tangenti in angolo di 60 gradi
(8 punti) La figura mostra due circonferenze esternamente tangenti inserite in un angolo di 60° ed entrambe tangenti alle semirette che delimitano l’angolo: M e N sono i due punti di tangenza alla semiretta orizzontale. Le rette per A e per B sono parallele e tangenti rispettivamente alla circonferenza piccola e alla grande. Il raggio della circonferenza piccola è √12. Se AM è lungo 3, quanto è lungo AB?
Risposte
0005 0033 0040 9901 0038 1001 0001 9999 0027
M N B O A
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0027 Fonte: apri PDF p.4
Length AB with two tangent circles at an angle of 60 degrees
(8 points) The figure shows two externally tangent circumferences inserted into an angle of 60° and both tangents to the semicircles delimiting the angle: M and N are the two tangent points to the horizontal semicircle. The lines for A and B are parallel and tangent to the small and the large circumference respectively. The radius of the small circumference is √12. If AM is long 3, how long is AB?
Answers
0005 0033 0040 9901 0038 1001 0001 9999 0027
M N B O A
Answer: 0027 src_kangourou_2021_junior_semifinale__Q18