Primo tra 11^2 e 12^2 somma di due quadrati
Numero primo Qual è il numero primo compreso tra 112 e 122 che è somma di due quadrati?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
First between 11^2 and 12^2 sum of two squares
First number What is the first number between 112 and 122 that is the sum of two squares?
src_kangourou_2021_squadre_finale__Q01
Quante famiglie sull’autobus (somma km 2021)
Le famiglie Su un autobus per Mirabilandia, che è Covid free, oltre all’autista viaggiano alcune famiglie. Ogni famiglia è composta esattamente da padre, madre e un figlio, salvo una nella quale i figli sono due. Al termine del viaggio, sommando i chilometri percorsi da tutti i viaggiatori, autista compreso, si ottiene 2021. Quante sono le famiglie?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
*How many households on the bus (sum of km 2021) *
Families On a bus to Mirabilandia, which is Covid free, in addition to the driver, some families travel. Every family is exactly made up of father, mother and one child, except one in which the children are two. At the end of the journey, adding up the kilometres travelled by all travelers, including driver, you get 2021. How many families are there?
src_kangourou_2021_squadre_finale__Q02
Massimo opposto somma prodotti di sequenza 0,1,-1
Somma di prodotti Ogni termine di una sequenza di 2021 numeri interi è 1 oppure 0 oppure −1. Per ogni coppia non ordinata di termini della sequenza si esegue il prodotto dei termini che la compongono; si sommano quindi tutti i prodotti ottenuti. Al variare di tutte le possibili sequenze di questo tipo, qual è il valore massimo che possiamo ottenere per l’opposto di questa somma?
Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
Maximum opposite sum of products of sequence 0,1,-1
Product sum Any term in a sequence of 2021 integers is 1 or 0 or −1. For each unordered pair of terms in the sequence, the product of the terms that make up the sequence is executed; all the products obtained are added. When we vary all the possible sequences of this kind, what is the maximum value we can get for the opposite of this sum?
src_kangourou_2021_squadre_finale__Q03
Angolo phi tra quadrato ottagono ed esagono
L’angolo In figura vedete un quadrato, un ottagono regolare e un esagono regolare, aventi un lato in comune. Vedete anche due triangoli ottenuti congiungendo alcuni vertici delle altre figure. Quanti gradi misura l’angolo ϕ, somma di due angoli consecutivi dei due triangoli, indicato in figura?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
Angle phi between square octagon and hexagon
The angle In the figure you see a square, a regular octagon and a regular hexagon, having one side in common. You can also see two triangles made by joining some of the vertices of the other figures. How many degrees does the angle φ measure, the sum of two consecutive angles of the two triangles shown in the figure?
src_kangourou_2021_squadre_finale__Q04
Somma dei pesi dei numeri di 5 cifre con 1..5
Con 5 cifre Chiamiamo peso di un numero intero positivo di almeno due cifre il numero delle coppie ordinate di sue cifre, non necessariamente adiacenti, per le quali la prima cifra è maggiore della seconda; ad esempio, il peso di 5142 è 4. Considerate tutti i numeri interi positivi di 5 cifre che si possono scrivere usando per ciascuno tutte le cifre 1, 2, 3, 4, 5 e sommate i loro pesi: che numero ottenete?
Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
sum of weights of 5-digit numbers with 1.5.
We call the weight of a positive integer of at least two digits the number of ordered pairs of its digits, not necessarily adjacent, for which the first digit is greater than the second; for example, the weight of 5142 is 4. Consider all the positive five-digit integers that you can write using for each of them all the digits 1, 2, 3, 4, 5 and add up their weights: what number do you get?
src_kangourou_2021_squadre_finale__Q05
Area triangolo AEG con due quadrati adiacenti
Il triangolo Il lato di un quadrato ABCD misura 19 cm. Sul lato CD viene individuato un punto G e, esternamente al quadrato ABCD, viene costruito il quadrato GCEF di lato 14 cm. Qual è l’area in centimetri quadrati del triangolo AEG?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
AEG triangle area with two adjacent squares
The triangle The side of an ABCD square measures 19 cm. On the CD side a G-point is located and, externally to the ABCD square, the 14 cm side GCEF square is constructed. What is the area in square centimetres of the AEG triangle?
src_kangourou_2021_squadre_finale__Q06
Velocita dell’autobus (ordine ai due distributori)
L’autobus Un autobus, un camion e un’auto viaggiano a velocità costante, il camion a 63 km/h e l’auto a 126 km/h. Passano in questo ordine davanti ad una stazione di servizio distanziati di intervalli di tempo uguali. Passano poi davanti ad una seconda stazione di servizio ancora distanziati degli stessi intervalli di tempo di prima, ma questa volta nell’ordine autobus, auto, camion. Qual è, in km/h, la velocità dell’autobus?
ϕ
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1
*Bus speed (order to two distributors) *
The bus A bus, a truck and a car travel at a constant speed, the truck at 63 km/h and the car at 126 km/h. They pass in this order in front of a service station spaced at equal intervals. They then pass by a second service station still at the same time intervals as before, but this time in the order of buses, cars, trucks. What is the speed of the bus in km/h?
ϕ
src_kangourou_2021_squadre_finale__Q07
Quanti euro ha Francesco (resti e vincoli)
Monete Quando ha svuotato il suo salvadanaio per contare i suoi risparmi, Francesco ha scoperto che conteneva solo monete da 1 euro. Le ha disposte in pile di 3 monete ciascuna e gli è avanzato un euro. Allora le ha disposte in pile da 4 monete ciascuna e gli è avanzato ancora un euro. La stessa cosa è successa quando le ha disposte in pile da 5 euro ciascuna. Con questi risparmi Francesco potrebbe acquistare un libro del costo di 65 euro, ma non il biglietto per un viaggio del costo di 150 euro. Quanti euro ha Francesco?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
How much does Francesco have (residues and liabilities)
Coin When he emptied his saviour to count his savings, Francis discovered that it contained only one euro coins. He arranged them in stacks of three coins each and got a euro in advance. Then he arranged them in stacks of four coins each and got another euro. The same thing happened when he arranged them in piles of five euros each. With these savings, Francesco could buy a 65-euro book, but not a 150-euro ticket. How many euros does Francesco have?
src_kangourou_2021_squadre_finale__Q08
Quanti vertici (angoli in progressione aritmetica)
Quanti vertici? Gli angoli interni di un poligono convesso hanno misure in progressione aritmetica: il più piccolo misura 106 gradi, il più grande ne misura 194. Quanti vertici ha il poligono?
Topic: Geometria piana, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF p.2
*Quantity of vertices (angles in arithmetic progression) *
How many peaks? The interior angles of a convex polygon are measured in arithmetic progression: the smallest measures 106 degrees, the largest measures 194. How many vertices does the polygon have?
src_kangourou_2021_squadre_finale__Q09
Quanti interi da 1 a 2021 senza la cifra 6
Senza sei Giovanni scrive tutti gli interi da 1 a 2021 tranne quelli che contengono la cifra 6. Quanti numeri scrive?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Integres from 1 to 2021 without the digit 6
Without six John writes all integers from 1 to 2021 except those containing the number 6. How many numbers does he write?
src_kangourou_2021_squadre_finale__Q10
Soluzioni (X,Y) con 135X6Y divisibile per 12
Le lettere Mauro deve sostituire con una cifra ogni lettera che compare nell’allineamento 135X6Y in modo che il numero ottenuto sia divisibile per 12. Quante soluzioni (X,Y ) ammette questo problema? (Non si esclude che X possa coincidere con Y ).
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Solutions (X,Y) with 135X6Y divisible by 12
The letters Mauro must replace with a digit each letter appearing in the 135X6Y alignment so that the resulting number is divisible by 12. How many solutions (X,Y) does this problem admit? (It is not excluded that X may coincide with Y).
src_kangourou_2021_squadre_finale__Q11
Ultime quattro cifre del piu grande numero forte
Numeri “forti” Diciamo che un numero è “forte” se ogni coppia di sue cifre consecutive costituisce un numero che è potenza, almeno di secondo grado, di un numero intero positivo. Ad esempio 325 è un numero forte poiché 32 e 25 sono potenze di interi. Quali sono le ultime quattro cifre del più grande numero forte? Scrivete nell’ordine la cifra delle migliaia, quella delle centinaia ecc.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
*The last four digits of the largest strongest number *
Numbers strong Let’s say a number is strong if every pair of its consecutive digits is a number that is power, at least second degree, of a positive integer. For example, 325 is a strong number because 32 and 25 are powers of integers. What are the last four digits of the largest strongest number? Write the number of thousands, the number of hundreds, etc. in the order.
src_kangourou_2021_squadre_finale__Q12
F in centesimi (raccolta regalo)
Il regalo Alice compie gli anni durante un campo estivo e i suoi compagni vogliono farle un regalo: per acquistarlo, i 20 ragazzi mettono ciascuno lo stesso numero M di euro e le 10 ragazze mettono ciascuna lo stesso numero F di euro. La media degli importi complessivamente raccolti supera del 50% l’importo M versato da ogni ragazzo. Quanti centesimi vale il quoziente della divisione M : F ?
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
*F in cents (gift collection) *
Alice’s birthday present is at a summer camp and her friends want to give her a gift: to buy it, the 20 boys each put the same M-euro number and the 10 girls each put the same F-euro number. The average total amount collected exceeds 50% of the M sum paid by each child. How many cents is the quotient of the division M: F ?
src_kangourou_2021_squadre_finale__Q13
Area del quadrato col rettangolo nero 8x4
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw (0,0) rectangle (4,4);
\draw (2,2) circle (2);
\fill[black] (2.4,3.2) rectangle (4,4);
\end{tikzpicture}
\end{document}Il rettangolo nero Il rettangolo nero in figura ha dimensioni 8 × 4. Esso è collocato nell’intercapedine tra il bordo di un quadrato e la circonferenza inscritta, ha un vertice su di essa e quello opposto coincidente con un vertice del quadrato. Quanto vale l’area del quadrato?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Area of the square with black rectangle 8x4
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw (0,0) rectangle (4,4);
\draw (2,2) circle (2);
\fill[black] (2.4,3.2) rectangle (4,4);
\end{tikzpicture}
\end{document}Black rectangle The black rectangle in the figure has dimensions of 8 × 4. It is located in the intersection between the edge of a square and the inscribed circumference, has a vertex on it and the opposite one coincides with a vertex of the square. How much is the area of the square?
src_kangourou_2021_squadre_finale__Q14
Piu piccolo numero anticipato di 4 cifre
Numeri anticipati Se scriviamo tutti i numeri interi a partire da 1, uno dopo l’altro e senza lasciare spazi tra uno e l’altro, otteniamo la sequenza 123456789101112131415…. Isolando due o più cifre che compaiono come consecutive in questo allineamento, può accadere che il numero da esse formato appaia per la prima volta molto in anticipo rispetto alla sua naturale posizione: ad esempio 12 compare all’inizio, e ricompare poi anche nella sua naturale posizione fra 11 e 13. Numeri di questo tipo vengono detti anticipati. Qual è il più piccolo numero anticipato di 4 cifre?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
*Little advance number of 4 digits *
If we write all the integers starting with 1, one after the other and without leaving any spaces between them, we get the sequence 123456789101112131415… By isolating two or more digits that appear as consecutive in this alignment, it may happen that the number formed by them appears for the first time much earlier than its natural position: for example, 12 appears at the beginning, and then again in its natural position between 11 and 13. This kind of numbers are called advance. What’s the smallest four-digit advance number?