Minimo prodotto cifre di numero 5 cifre somma 37
Il prodotto La somma delle cifre di un numero di cinque cifre è 37. Quanto vale al minimo il loro prodotto?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
Minimum product of digits of a 5-digit number with sum 37
The product The sum of the digits of a five-digit number is 37. What is the minimum possible value of their product?
src_kangourou_2021_squadre_junior_f__Q01
Massimo n con 4^27+4^1025+4^n quadrato perfetto
Il quadrato perfetto Qual è il più grande numero intero n tale che sia un quadrato perfetto?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
Maximum n with 4^27 + 4^1025 + 4^n perfect square
The perfect square What is the largest integer n such that is a perfect square?
src_kangourou_2021_squadre_junior_f__Q02
Quante frazioni ridotte N/D<1 con N+D=2021
“Frazioni dell’anno” Chiamiamo “frazione dell’anno” una frazione di interi positivi minore di , ridotta ai minimi termini e tale che la somma valga . Quante sono le frazioni dell’anno?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
How many reduced fractions N/D<1 with N+D=2021
“Fractions of the year” We call “fraction of the year” a fraction of positive integers less than , reduced to lowest terms and such that the sum equals . How many fractions of the year are there?
src_kangourou_2021_squadre_junior_f__Q03
Area nera comune a due scacchiere 8×8 sovrapposte ruotate di 45°
La scacchiera Su un foglio viene disegnata una scacchiera quadrata tradizionale di celle quadrate, ciascuna di area , a colori bianco e nero alternati. Sopra di essa viene disegnata una seconda scacchiera identica alla prima, concentrica ma ruotata di gradi. Qual è l’area della regione i cui punti erano neri nel primo disegno e rimangono neri nel secondo?
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
Common black area of two overlapping 8×8 chessboards rotated by 45°
The chessboard On a sheet of paper a traditional square chessboard of square cells is drawn, each of area , with alternating white and black colors. On top of it a second chessboard identical to the first is drawn, concentric but rotated by degrees. What is the area of the region whose points were black in the first drawing and remain black in the second?
src_kangourou_2021_squadre_junior_f__Q04
Pile di 12 gettoni (6 rossi, 3 verdi, 3 gialli) senza colori uguali a contatto
I gettoni Matteo ha gettoni rossi, gettoni verdi e gettoni gialli e gettoni dello stesso colore sono indistinguibili. Vuole costruire una pila collocandoli uno sull’altro con l’unico vincolo che gettoni dello stesso colore non siano mai a contatto. Quante diverse pile (di gettoni l’una) può formare? (Due pile si ritengono diverse se in qualche piano è diverso il colore dei gettoni ospitati.)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
Stacks of 12 tokens (6 red, 3 green, 3 yellow) with no equal colors touching
The tokens Matteo has red tokens, green tokens and yellow tokens, and tokens of the same color are indistinguishable. He wants to build a stack by placing them one on top of another with the only constraint that tokens of the same color are never touching. How many different stacks (of tokens each) can he form? (Two stacks are considered different if at some level the color of the tokens placed there is different.)
src_kangourou_2021_squadre_junior_f__Q05
Primo di 25 dispari consecutivi con somma 25^3
Dispari consecutivi Il numero è esprimibile come somma di interi dispari consecutivi. Qual è il primo di essi?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
First of 25 consecutive odd numbers with sum 25^3
Consecutive odd numbers The number can be expressed as the sum of consecutive odd integers. What is the first of them?
src_kangourou_2021_squadre_junior_f__Q06
Data in cui Penelope ha tela lunga 100 m
Penelope Penelope inizia a tessere una tela all’alba del 1 gennaio. Ogni giorno ne tesse 25 metri, ma durante la notte distrugge 1/10 del lavoro fatto fino a quel momento. In quale data Penelope riuscirà ad avere una tela lunga almeno 100 m? (Indicate la data nel formato ggmm, ad esempio 9 luglio deve essere indicato come 0907; se pensate che la risposta sia MAI indicate 9999.)
Topic: successioni, Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
Date on which Penelope has 100 m long canvas
Penelope Penelope begins weaving a cloth at dawn on January 1. Each day she weaves 25 meters of it, but during the night she destroys 1/10 of the work done up to that moment. On what date will Penelope manage to have a cloth at least 100 m long? (Give the date in the format ddmm, for example July 9 must be given as 0907; if you think the answer is NEVER, give 9999.)
src_kangourou_2021_squadre_junior_f__Q07
Somma degli n con 2021 = n + somma cifre di n
A somma 2021 Determinate tutti i numeri interi positivi n tali che 2021 sia esprimibile come la somma di n con la somma delle cifre di n, e sommateli: che risultato ottenete?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
sum of n with 2021 = n + sum of digits of n
A sum 2021 Determine all positive integers n such that 2021 can be expressed as the sum of n with the sum of the digits of n, and add them together: what result do you get?
src_kangourou_2021_squadre_junior_f__Q08
Minimo L per segmenti che coprono il triangolo
Il triangolo equilatero Il lato di un triangolo equilatero misura 2022. Considerate tutti i segmenti di una stessa lunghezza L che abbiano gli estremi sul bordo del triangolo. Qual è il più piccolo valore di L tale che ogni punto del triangolo appartenga ad almeno uno di questi segmenti?
Topic: Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Minimum L for segments covering the triangle
The equilateral triangle The side of an equilateral triangle measures 2022. Consider all segments of the same length L that have their endpoints on the boundary of the triangle. What is the smallest value of L such that every point of the triangle belongs to at least one of these segments?
src_kangourou_2021_squadre_junior_f__Q09
Quanti primi tra interi 3 cifre con cifre 1,3,5
Primi Tra i numeri interi positivi di tre cifre che si possono scrivere utilizzando solo cifre scelte nell’insieme {1, 3, 5}, quanti sono primi?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Numbers of prime numbers of whole 3 digits with digits 1,3,5
Primes Among the positive three-digit integers that can be written using only digits chosen from the set {1, 3, 5}, how many are prime?
src_kangourou_2021_squadre_junior_f__Q10
Somma delle taglie dei numeri di 3 cifre distinte
Le taglie Chiamiamo taglia di un numero intero positivo di almeno due cifre il numero delle coppie ordinate di sue cifre, non necessariamente adiacenti, per le quali la prima cifra è maggiore della seconda; ad esempio, la taglia di 5142 è 4. Considerate tutti i possibili numeri di 3 cifre significative diverse fra loro, e sommate le loro taglie: che numero ottenete?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Sum of the sizes of the numbers with 3 distinct digits
The sizes We call the size of a positive integer with at least two digits the number of ordered pairs of its digits, not necessarily adjacent, for which the first digit is greater than the second; for example, the size of 5142 is 4. Consider all possible 3-digit numbers with significant digits different from one another, and add up their sizes: what number do you get?
src_kangourou_2021_squadre_junior_f__Q11
Lunghezza del ponte (Aldo e Carlo)
Il ponte Aldo sta già attraversando un ponte quando Carlo inizia ad attraversarlo dalla stessa estremità da cui è partito Aldo. Entrambi camminano a velocità costanti, ma diverse. Se, al momento della partenza di Carlo, Aldo ritornasse indietro di 150 metri, incontrerebbe Carlo esattamente a metà del ponte; se invece proseguisse, Aldo e Carlo arriverebbero alla fine del ponte nello stesso istante. Quanti metri è lungo il ponte?
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Length of the bridge (Aldo and Carlo)
The bridge Aldo is already crossing a bridge when Carlo begins to cross it from the same end from which Aldo started. Both walk at constant but different speeds. If, at the moment Carlo starts, Aldo were to go back 150 meters, he would meet Carlo exactly at the middle of the bridge; if instead he continued, Aldo and Carlo would reach the end of the bridge at the same instant. How many meters long is the bridge?
src_kangourou_2021_squadre_junior_f__Q12
Quanti termini < 2021 con media dei primi n uguale a n
La media Una successione di numeri interi positivi gode della seguente proprietà: per ogni n ≥ 1, la media aritmetica dei primi n termini della successione è n. Quanti sono i termini della successione minori di 2021?
Topic: successioni, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
How many terms < 2021 with mean prime n equal to n
The mean A sequence of positive integers enjoys the following property: for every n ≥ 1, the arithmetic mean of the first n terms of the sequence is n. How many terms of the sequence are less than 2021?
src_kangourou_2021_squadre_junior_f__Q13
Valore a+b cifre di 4^2021 e 25^2021
Le cifre della somma Sia a il numero delle cifre di e sia b il numero delle cifre di . Quanto vale a + b?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
Value a+b figures of 4^2021 and 25^2021
The digits of the sum Let a be the number of digits of and let b be the number of digits of . What is the value of a + b?
src_kangourou_2021_squadre_junior_f__Q14
Massimo CASE nella moltiplicazione criptata
CASE In figura è visualizzata una moltiplicazione eseguita con il metodo tradizionale. Ad ogni lettera corrisponde una cifra, a lettere diverse corrispondono cifre diverse; ogni asterisco denota una cifra; quella più a sinistra in ogni riga è certamente diversa da 0. I numeri di quattro cifre possibili per CASE sono più di uno: qual è il più grande? (Schema in figura: CASE × CASE = …, con prodotti parziali ****C, ****A, ****S, ****E, ciascuno spostato di un posto a sinistra, e risultato ********.)
Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Major CASE in encrypted multiplication
CASE The figure shows a multiplication carried out using the traditional method. Each letter corresponds to a digit, different letters correspond to different digits; each asterisk denotes a digit; the leftmost one in each row is certainly different from 0. The four-digit numbers possible for CASE are more than one: which is the largest? (Diagram in the figure: CASE × CASE = …, with partial products ****C, ****A, ****S, ****E, each shifted one place to the left, and result ********.)