una sola affermazione vera su euro di Lisa
(2 punti) Se delle seguenti tre affermazioni
a) “Lisa ha più di 2021 euro” b) “Lisa ha meno di 2021 euro” c) “Lisa ha almeno 1 euro” una e una sola è vera, quale delle seguenti affermazioni è sicuramente falsa? A) Lisa ha 2021 euro.
B) Lisa non ha alcun euro.
C) Lisa ha 1000 euro. D) L’affermazione c) è falsa. E) L’affermazione c) è quella vera.
Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
one single true statement in euro of Lisa
(2 points) If any of the following three statements
(a) Lisa has more than 2021 euros (b) Lisa has less than 2021 euros (c) Lisa has at least 1 euro one and only one is true, which of the following claims is definitely false? A) Lisa has 2021 euros.
B) Lisa has no euro.
C) Lisa has a thousand euros. (D) Claim (c) is false. E) The statement c) is true.
Answer: C src_kangourou_2021_student_semifinale__Q01
2021 come somma di cinque interi con cifre 3 e 5
(3 punti) Giulio vuol scrivere 2021 come somma di cinque numeri interi positivi che non abbiano cifre diverse da 3 e da 5. Quante cifre 3 ci sono complessivamente nei cinque numeri? A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
2021 as the sum of five integers with digits 3 and 5
(3 points) Julius wants to write 2021 as the sum of five positive integers that have no digits other than 3 and 5. How many digits of 3 are there in all five numbers? A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Answer: B src_kangourou_2021_student_semifinale__Q02
Sottoinsiemi consecutivi con somma quadrato perfetto
(3 punti) Considera l’insieme S = {1, 2, 3, …, 29, 30}. Denota con K un sottoinsieme {a, b, c} di tre elementi diversi di S. Quanti sottoinsiemi K di S sono tali che a + b + c sia un quadrato perfetto, si abbia b = a + 1 e si abbia c = b + 1? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Sequential sub-sets with perfect square sum
Consider the set S = {1, 2, 3, …, 29, 30}. Denotes with K a subset {a, b, c} of three different elements of S. How many K subsets of S are such that a + b + c is a perfect square, you have b = a + 1 and you have c = b + 1? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Answer: D src_kangourou_2021_student_semifinale__Q03
Differenza aree corone circolari poligoni regolari
(4 punti) Denotiamo con An l’area della corona circolare delimitata dalle due circonferenze, inscritta e circoscritta a un poligono regolare di n lati, ciascuno di lunghezza 1.
Quanto vale la differenza A2021 − A2020? A)
B)C)
D)
E) 0
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Differential round coronal areas of regular polygons
(4 points) We denote with an area of the circular crown bounded by two circumferences, inscribed and bounded by a regular polygon of n sides, each of length 1. What is the difference between A2021 − A2020? A) B)
C)
D)
E) 0
Answer: E src_kangourou_2021_student_semifinale__Q04
esiti diversi
(4 punti) Pietro ha arrotondato alle decine tutti i numeri interi positivi minori di 10000, poi ha arrotondato i numeri ottenuti alle centinaia e infine ha arrotondato gli ultimi risultati alle migliaia. Invece Paolo ha arrotondato direttamente alle migliaia tutti i numeri interi positivi minori di 10000. Per quanti dei numeri interi di partenza i due ragazzi ottengono risultati finali diversi? L’arrotondamento va inteso nel senso usuale: ad esempio, per l’arrotondamento alle decine, 10 e 13 vengono arrotondati a 10, 15 e 17 a 20. A) 0
B) 55
C) 110
D) 550
E) 1100
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
The following table shows the results of the calculations:
(4 points) Peter rounded all positive integers less than 10,000 to tens, then rounded the numbers to hundreds, and finally rounded the final results to thousands. Instead, Paul rounded directly to the thousands all positive integers less than 10,000. For how many of the starting integers do the two boys get different end results? Rounding is to be understood in the usual sense: for example, for rounding to tens, 10 and 13 are rounded to 10, 15 and 17 to 20. A) 0
B) 55
C) 110
D) 550
E) 1100
Answer: D src_kangourou_2021_student_semifinale__Q05
Soluzione di equazione in (x^3-76) data x=5
(4 punti) Sapendo che, per una opportuna terna di numeri reali a, b, c, l’equazione a(x3 – 76)8 + b(x3 – 76)4 + c = 0 ammette la soluzione x = 5, quale dei seguenti numeri sicuramente risolve la stessa equazione? A) 125
B) – 5
C) – 4
D) 4
E) 3
Topic: Algebra Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Solution of the equation in (x^3-76) given x=5
(4 points) Knowing that, for a suitable set of real numbers a, b, c, the equation a(x3 76)8 + b(x3 76)4 + c = 0 admits the solution x = 5, which of the following numbers definitely solves the same equation? A) 125
B) – 5
C) – 4
D) 4
E) 3
Answer: E src_kangourou_2021_student_semifinale__Q06
somma diametri impossibile
(5 punti) Usando strumenti di alta precisione, da un unico quadrato di 10 cm di lato si possono ritagliare alcuni cerchi tali che, sommati i loro diametri in centimetri, si ottenga i) 20.
j) 15.
h) 10 π.k) 2021. Quale delle precedenti affermazioni è falsa? A) La i).
B) La j).
C) La h).
D) La k). E) Nessuna.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
sum of diameters impossible
(5 points) Using high-precision tools, a single square of 10 cm on the side can be cut into circles such that, added together, their diameters in centimetres are obtained. j) 15. h) 10 π.
k) 2021. Which of the foregoing claims is false? A) La i).
B) La j).
C) La h).
D) La k). E) None of them.
Answer: E src_kangourou_2021_student_semifinale__Q07
Bordo esterno unione di quattro cerchi per K
(5 punti) Quattro circonferenze distinte di raggio 1 passano tutte per un punto comune K, come mostra la figura. Quanto è lungo il bordo esterno della figura formata dall’unione dei quattro cerchi? A) π
B) 3π
C) 4π
D) 6π E) Dipende da come sono disposte le circonferenze.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
External edge union of four circles for K
(five points) Four distinct radius 1 circles all pass through a common point K, as shown in the figure. How long is the outer edge of the figure formed by the union of the four circles? A) π
B) 3π
C) 4π
D) 6π E) Depends on how the circumferences are arranged.
Answer: C src_kangourou_2021_student_semifinale__Q08
Minimo L del rettangolo 1xL ripartito con vincoli di area
(6 punti) Un rettangolo di dimensioni 1×L è ripartito in quattro rettangoli da due segmenti paralleli ciascuno a uno dei lati. Di questi quattro rettangoli, uno ha area almeno 2 e ognuno degli altri ha area almeno 1. Qual è il più piccolo valore possibile per L? A) 5 B) 6
C) 3√3 + 1 D) 4√3 E) Un valore diverso dai precedentiQuesiti a risposta aperta
Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Minimum L of the 1xL rectangle divided by area constraints
(6 points) A rectangle of dimension 1×L is divided into four rectangles by two segments parallel to each side. Of these four rectangles, one has area at least 2 and each of the others has area at least 1. What’s the smallest possible value for L? A) 5 B) 6 C) 3√3 + 1 D) 4√3 E) A value different from the previous ones
Open-ended questions
Answer: E src_kangourou_2021_student_semifinale__Q09
Avanzamento del punto P del cingolo
(4 punti) La figura schematizza la fiancata di un mezzo cingolato le cui ruote hanno un raggio di 1/π metri con distanza dei centri di 3 metri. La parte inferiore del cingolo è a contatto con un terreno piano regolare e P denota il punto a metà della parte attualmente superiore del cingolo. Se il mezzo avanza di 20 centimetri, di quanti centimetri avanza, rispetto al terreno, il punto P?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0040 Fonte: apri PDF p.2
Forwarding of the P-point of the groove
(4 points) The figure sketches the rim of a half-circle whose wheels have a radius of 1/π meters with a distance from the centers of 3 meters. The lower part of the ring is in contact with a regular flat ground and P denotes the point halfway up the current upper part of the ring. If the middle moves 20 centimeters, how many centimeters does the point P move, relative to the ground?
Answer: 0040 src_kangourou_2021_student_semifinale__Q10
blocco massimo di neri con blocchi bianchi distinti
(5 punti) Abbiamo 90 gettoni, metà dei quali neri e l’altra metà bianchi. Vogliamo allinearli in modo che i blocchi di gettoni bianchi consecutivi siano quanti più possibili e che nessuna coppia di questi blocchi abbia lo stesso numero di gettoni. Qual è il numero di gettoni nel blocco più grande possibile di gettoni neri consecutivi?
P K
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Principio di estremalita Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0038 Fonte: apri PDF p.2
maximum block of black with distinct white blocks
(5 points) We have 90 tokens, half of which are black and the other half white. We want to align them so that the blocks of consecutive white tokens are as many as possible and that no pair of these blocks have the same number of tokens. What is the number of tokens in the largest possible block of consecutive black tokens?
P K
Answer: 0038 src_kangourou_2021_student_semifinale__Q11
Ultime quattro cifre allineamento 0/1 senza blocchi ripetuti
(5 punti) Utilizzando solo le cifre 0 e 1, Tommaso costruisce un allineamento di più di cinque cifre che inizia con 1001 e rispetta queste condizioni:
a) non ci sono due blocchi identici di cinque cifre consecutive, disgiunti o parzialmente sovrapponentisi; b) l’allineamento termina quando non è possibile aggiungere alcuna delle due cifre senza violare la condizione a). Quali sono le ultime quattro cifre dell’allineamento di Tommaso? Scrivi 9999 se ritieni che non siano univocamente determinate.
Topic: Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1001 Fonte: apri PDF p.3
Last four digits 0/1 alignment without repeated blocks
(5 points) Using only the digits 0 and 1, Thomas constructs an alignment of more than five digits starting with 1001 and satisfying the following conditions:
(a) there are no two identical blocks of five consecutive digits, disjoint or partially overlapping; (b) the alignment ends when neither of the two digits can be added without breaching condition (a). What are the last four digits of Thomas’s alignment? Please dial 9999 if you believe they are not uniquely determined.
Answer: 1001 src_kangourou_2021_student_semifinale__Q12
Resto dividendo per 5 il prodotto dei numeri di 5 cifre
(6 punti) Se moltiplichi tra loro tutti i numeri interi positivi di 5 cifre non divisibili per 5 e dividi per 5 il risultato, che resto ottieni?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0001 Fonte: apri PDF p.3
Remaining by dividing by 5 the product of the 5-digit numbers
(6 points) If you multiply all the positive integers of 5 digits that are not divisible by 5 and divide by 5 the result, what do you get?
Answer: 0001 src_kangourou_2021_student_semifinale__Q13
Scarto massimo tra le due bilance con 2021 oggetti
(6 punti) Abbiamo due bilance di precisione che forniscono il peso in grammi degli oggetti posti sui rispettivi piatti: le azzeriamo. Allineiamo 2021 oggetti in ordine di peso non crescente e collochiamo un oggetto alla volta, a partire dal primo, su una delle due bilance rispettando le seguenti regole:
• non si deve mai rimuovere da alcuna delle due bilance un oggetto posto in precedenza; • ad ogni passo, se il peso indicato dalle due bilance è lo stesso si può collocare l’oggetto di turno su una qualunque delle due, altrimenti si deve collocarlo sulla bilancia che indica il peso minore.
Se ogni oggetto pesa un numero intero (positivo) di grammi e il loro peso complessivo è di 4040 grammi, quando avremo collocato tutti i 2021 oggetti, qual è lo scarto maggiore che potrebbe presentarsi fra i due pesi indicati?
Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: monovarianti Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0000 Fonte: apri PDF p.3
Maximum gap between the two balances with 2021 items
(6 points) We have two accuracy balances that give the weight in grams of the objects placed on the respective plates: we are going to zero them. We align 2021 objects in order of non-increasing weight and place one object at a time, starting from the first, on one of the two balances in accordance with the following rules: • one must never remove from either of the two balances an object previously placed; • at each step, if the weight indicated by the two balances is the same one can place the turn object on either of the two, otherwise it must be placed on the balance indicating the lesser weight. If each object weighs an integer (positive) of grams and their total weight is 4040 grams, when we have placed all 2021 objects, what is the biggest difference that could arise between the two indicated weights?
Answer: 0000 src_kangourou_2021_student_semifinale__Q14
Quanti primi della forma (m^2+m+1)/n
(6 punti) Quanti sono i numeri primi della forma
dove m e n sono numeri interi positivi? (Scrivi 9999 se ritieni che siano infiniti).
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9999 Fonte: apri PDF p.3
Numbers of prime of the form (m^2+m+1)/n
(6 points) What are the prime numbers of the form
where m and n are positive integers? (Write 9999 if you believe they are infinite).
Answer: 9999 src_kangourou_2021_student_semifinale__Q15
Valore di n per stanze visitate vicino a 2021
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[thick] (0,0) -- (3,0) -- (1.5,2.598) -- cycle;
\draw[thick] (0.5,0.866) -- (2.5,0.866);
\draw[thick] (1.0,1.732) -- (2.0,1.732);
\draw[thick] (1,0) -- (1.5,0.866);
\draw[thick] (2,0) -- (2.5,0.866);
\draw[thick] (0.5,0.866) -- (1.0,1.732);
\draw[thick] (1.5,0.866) -- (2.0,1.732);
\draw[thick] (1,0) -- (0.5,0.866);
\draw[thick] (2,0) -- (1.5,0.866);
\draw[thick] (1.5,0.866) -- (1.0,1.732);
\draw[thick] (2.5,0.866) -- (2.0,1.732);
\end{tikzpicture}
\end{document}(7 punti) Un triangolo equilatero di lato n è ripartito in triangoli equilateri di lato 1 secondo lo schema che ti suggerisce la figura, in cui è rappresentato il caso n = 3. Immagina che ogni triangolo piccolo rappresenti una stanza e che, in ogni suo muro condiviso con una stanza adiacente, ci sia una porta. Scegliendo opportunamente la stanza da cui partire, il massimo numero di stanze che possono essere visitate passando una sola volta da ogni stanza visitata è il più vicino possibile a 2021. Quanto vale n?
Topic: Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0045 Fonte: apri PDF p.3
Value of n for rooms visited near 2021
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[thick] (0,0) -- (3,0) -- (1.5,2.598) -- cycle;
\draw[thick] (0.5,0.866) -- (2.5,0.866);
\draw[thick] (1.0,1.732) -- (2.0,1.732);
\draw[thick] (1,0) -- (1.5,0.866);
\draw[thick] (2,0) -- (2.5,0.866);
\draw[thick] (0.5,0.866) -- (1.0,1.732);
\draw[thick] (1.5,0.866) -- (2.0,1.732);
\draw[thick] (1,0) -- (0.5,0.866);
\draw[thick] (2,0) -- (1.5,0.866);
\draw[thick] (1.5,0.866) -- (1.0,1.732);
\draw[thick] (2.5,0.866) -- (2.0,1.732);
\end{tikzpicture}
\end{document}(7 points) An equilateral triangle on side n is divided into equilateral triangles on side 1 according to the pattern suggested by the figure, in which case n = 3 is represented. Imagine that each small triangle represents a room and that in each of its walls shared with an adjacent room, there is a door. By selecting appropriately the room from which to depart, the maximum number of rooms that can be visited by passing once from each room visited is as close as possible to 2021. How much is n?
Answer: 0045 src_kangourou_2021_student_semifinale__Q16
Lunghezza AB con due cerchi tangenti in angolo 60 gradi
(7 punti) La figura mostra due circonferenze esternamente tangenti inserite in un angolo di 60° ed entrambe tangenti alle semirette che delimitano l’angolo: M e N sono i due punti di tangenza alla semiretta orizzontale. Le rette per A e per B sono parallele e tangenti rispettivamente alla circonferenza piccola e alla grande. Il raggio della circonferenza piccola è √12. Se AM è lungo 3 quanto è lungo AB?
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0027 Fonte: apri PDF p.4
Length AB with two tangent circles at an angle of 60 degrees
(7 points) The figure shows two externally tangent circumferences inserted into an angle of 60° and both tangents to the semicircles delimiting the angle: M and N are the two tangent points to the horizontal semicircle. The lines for A and B are parallel and tangent to the small and the large circumference respectively. The radius of the small circumference is √12. If AM is 3 how long is AB?
Answer: 0027 src_kangourou_2021_student_semifinale__Q17
Minimo numero di domande sul prodotto di terne su 98 numeri
(8 punti) Su una circonferenza sono disposti 98 numeri, ognuno uguale a 1 oppure a – 1 (senza escludere che siano tutti uguali tra loro). Vuoi conoscere il loro prodotto senza poterli vedere: allo scopo puoi chiedere, per quante terne vuoi, il prodotto dei numeri che formano una terna di numeri consecutivi (rispetto a come appaiono sulla circonferenza). Qual è il più piccolo numero di domande che ti basta porre?
Risposte
0040 0038 1001 0001 0000 9999 0045 0027 0098
M N B O A
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0098 Fonte: apri PDF p.4
Minimum number of requests for the product of tern out of 98 numbers
(8 points) 98 numbers are arranged on a circumference, each equal to 1 or 1 (without excluding that they are all equal to each other). You want to know their product without being able to see them: for the purpose you can ask, for how many dice you want, the product of the numbers that form a dice of consecutive numbers (regardless of how they appear on the circumference). What’s the smallest number of questions you can ask?
Answers
0040 0038 1001 0001 0000 9999 0045 0027 0098
M N B O A
Answer: 0098 src_kangourou_2021_student_semifinale__Q18