Kangourou 2022 Cadet finale individuale

Misura dell’angolo evidenziato con tre quadrati accostati

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
  % Three squares: top-left (0,1)-(1,2), bottom-left (0,0)-(1,1), bottom-right (1,0)-(2,1)
  \draw[thick] (0,1) rectangle (1,2);
  \draw[thick] (0,0) rectangle (1,1);
  \draw[thick] (1,0) rectangle (2,1);
  % Diagonal from top-left of top square to bottom-right of bottom-right square
  \draw[blue] (0,2) -- (2,0);
  % Diagonal from top-right of top square to bottom-left of bottom-left square
  \draw[blue] (1,2) -- (0,0);
  % Arc marking the highlighted angle at intersection
  \draw[blue] (0.667,1.333) ++(200:0.15) arc(200:315:0.15);
\end{tikzpicture}
\end{document}

In figura appaiono accostati tre quadrati. Quanti gradi misura l’angolo evidenziato? (vedi figura)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 90 Fonte: apri PDF p.1

Measure of the highlighted angle with three adjacent squares

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
  % Three squares: top-left (0,1)-(1,2), bottom-left (0,0)-(1,1), bottom-right (1,0)-(2,1)
  \draw[thick] (0,1) rectangle (1,2);
  \draw[thick] (0,0) rectangle (1,1);
  \draw[thick] (1,0) rectangle (2,1);
  % Diagonal from top-left of top square to bottom-right of bottom-right square
  \draw[blue] (0,2) -- (2,0);
  % Diagonal from top-right of top square to bottom-left of bottom-left square
  \draw[blue] (1,2) -- (0,0);
  % Arc marking the highlighted angle at intersection
  \draw[blue] (0.667,1.333) ++(200:0.15) arc(200:315:0.15);
\end{tikzpicture}
\end{document}

In the figure, three squares appear to be next to each other. How many degrees does the highlighted angle measure? (see figure)

Answer: 90 src_kangourou_2022_cadet_finale__QC1

Quanti ciclisti almeno hanno mentito se somma e 36

10 ciclisti terminano una gara con tempi di arrivo tutti diversi fra loro. Dopo qualche tempo, un giornalista chiede a ciascuno di loro di comunicargli il proprio ordine di arrivo in quella gara, ovviamente con un numero compreso fra 1 e 10. Il giornalista somma le risposte fornitegli ed ottiene 36. Ne deduce che certamente alcuni hanno mentito: quanti, almeno?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3 Fonte: apri PDF p.1

How many cyclists have at least lied if sum and 36

Ten cyclists finish a race with different arrival times. After a while, a reporter asks each of them to tell them their order of arrival in that race, of course with a number between 1 and 10. The reporter sums up the answers you give him and gets 36. He concludes that some certainly lied - how many, at least?

Answer: 3 src_kangourou_2022_cadet_finale__QC2

Quanti triangoli equilateri congiungendo vertici di un cubo

Dei triangoli ottenuti congiungendo tre vertici di uno stesso cubo, quanti sono equilateri?

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 8 Fonte: apri PDF p.1

Number of equilateral triangles joining vertices of a cube

Of the triangles obtained by joining three vertices of the same cube, how many are equilaterals?

Answer: 8 src_kangourou_2022_cadet_finale__QC3

Ogni termine della sequenza 1007,10017,… divisibile per 53

Considera la sequenza di interi i cui primi due termini sono, nell’ordine, $1007$ e $10017$ e ogni termine successivo è ottenuto dal precedente inserendo una ulteriore cifra $1$ dopo le tre cifre iniziali $100$ (dunque $1007$, $10017$, $100117$, $1001117$, $\dots$). Dimostra che ogni intero della sequenza è divisibile per $53$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Each term of the sequence 1007,10017,… Divisible by 53*

Consider the sequence of integers whose first two terms are, in order, $1007$ and $10017$ and each subsequent term is obtained from the previous one by inserting an additional digit $1$ after the first three digits $100$ (so $1007$, $10017$, $100117$, $1001117$, $\dots$). It shows that each whole of the sequence is divisible by $53$.

src_kangourou_2022_cadet_finale__QC4

Minimo partite perche ognuno sia compagno di tutti

Per allenarsi, i 12 giocatori di una squadra di pallacanestro ogni giorno si ripartiscono in due squadre, ciascuna di 6 giocatori, che disputano una partita una contro l’altra. Qual è il minimo numero di partite che consente a ciascun giocatore di disputare almeno un incontro nella stessa squadra con ognuno degli altri?

Topic: Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3 Fonte: apri PDF p.2

Minimum matches so that everyone is a partner of everyone

To train, the 12 players of a basketball team each day are divided into two teams, each of six players, who play a game against each other. What is the minimum number of matches that allows each player to play at least one match in the same team with each other?

Answer: 3 src_kangourou_2022_cadet_finale__QC5

Quante coppie (m,n) con 1/m+1/n=1/2022

Per quante coppie ordinate $(m,n)$ di numeri interi positivi si ha $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2022}$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 27 Fonte: apri PDF p.2

How many pairs (m,n) with 1/m+1/n=1/2022

For how many ordered pairs of positive integers do you have$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2022}$?

Answer: 27 src_kangourou_2022_cadet_finale__QC6