Kangourou 2022 Cadet semifinale individuale

Quali timbri forniscono la scritta corretta

(2 punti) La ditta Palloni Gonfiati ha ordinato un timbro con il suo nome. La figura mostra cinque timbri che le sono stati consegnati, ma, per un errore, non tutti a contatto con il foglio forniscono la scritta voluta, che è appunto “Palloni Gonfiati”. Quali dei cinque lo fanno?
A) Solo 5. B) Solo 1. C) Solo 2 e 5.
D) Solo 3 e 4.
E) Solo 4 e 5.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1

Which stamps give the correct spelling

(2 points) Palloni Gonfiati has ordered a stamp bearing his name. The figure shows five stamps that were delivered to her, but, by mistake, not all of them in contact with the paper provide the desired writing, which is precisely Palloni Gonfiati. Which of the five do? A) Only five. B) Only one. C) Only 2 and 5. D) Only 3 and 4. E) Only four and five.

Answer: D src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q01

Quante volte le lancette formano angolo retto 6-12

(3 punti) Tra le 6:00 e le 12:00 di uno stesso giorno, quante volte le lancette di un orologio tradizionale formano un angolo retto?
A) 12

B) 11
C) 10
D) 6

E) 5

Topic: Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1

How many times do the hands form a right angle 6-12

(3 points) Between 6:00 a.m. and 12:00 a.m. on the same day, how often do the hands of a traditional clock form a right angle? A) 12

B) 11 C) 10 D) 6

E) 5

Answer: B src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q02

Cifra delle unita del prodotto finale 2021-2029

(3 punti) Sandra ha scritto su un foglio ciascuno dei numeri interi da 2021 a 2029. Samuele, che ha a disposizione una calcolatrice, ne sceglie due a caso, li elimina e sostituisce ad essi il loro prodotto. Procede sugli otto numeri rimasti allo stesso modo ottenendone sette e così via, fino a quando sul foglio rimane un solo numero. Qual è la cifra delle unità di questo numero?
A) 0

B) 2

C) 4

D) 6

E) 8

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1

Unit number of final product 2021-2029

(3 points) Sandra wrote on a sheet each of the whole numbers from 2021 to 2029. Samuel, who has a calculator at his disposal, selects two randomly, eliminates them, and replaces them with their product. It proceeds on the eight numbers remaining the same by getting seven and so on, until there is only one number left on the sheet. What is the unit number of this number? A) 0

B) 2

C) 4

D) 6

E) 8

Answer: A src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q03

Concime supplementare per prato da 25 a 30 metri (frazione)

(4 punti) Per concimare un prato quadrato di 25 metri di lato occorre una certa quantità q di concime. Quali dei seguenti numeri è il più vicino alla quantità di concime supplementare che occorre per concimare con la stessa modalità un prato quadrato di 30 metri di lato?
A) q/6

B) q/5
C) q/4
D) q/3
E) q/2 1 2 3 4 5

Topic: Geometria piana Abilita: Stima e approssimazione Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1

*Additional meadows for grass from 25 to 30 metres (fraction) *

(4 points) A certain quantity of manure is required to fertilize a 25 square metre lawn. Which of the following figures is closest to the amount of additional fertilizer needed to fertilise a 30 square metre lawn in the same way? A) q/6

B) q/5 C) q/4 D) q/3 E) q/2 1 2 3 4 5

Answer: E src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q04

Quante affermazioni corrette su Ada e Bice che corrono

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw[thick] (0,0) -- (3,0) -- (3,3) -- (0,3) -- cycle;
  \fill[red] (0,0) circle (3pt); \node[below left] at (0,0) {A};
  \fill[red] (3,0) circle (3pt); \node[below right] at (3,0) {B};
  \fill[red] (3,3) circle (3pt); \node[above right] at (3,3) {C};
  \fill[red] (0,3) circle (3pt); \node[above left] at (0,3) {D};
\end{tikzpicture}
\end{document}

(4 punti) In figura vedete un quadrato sul bordo del quale Ada e Bice si allenano a correre, ognuna senza mai cambiare verso, ma non sappiamo se nello stesso verso o in verso opposto. Corrono per molti giri ciascuna a velocità costante, ma quella di Ada è il quadruplo di quella di Bice. In questo momento Ada è sul vertice A mentre Bice è sul vertice B. Quante delle seguenti affermazioni sono corrette?

Ada e Bice non si troveranno mai insieme nel vertice B.

Ada e Bice non si troveranno mai insieme nel vertice C.

Ada e Bice non si troveranno mai insieme nel vertice D.

Qualche volta Ada e Bice si troveranno insieme nel vertice A.

Ada e Bice non potranno trovarsi insieme se non in uno dei vertici. A) 0 (nessuna)

B) 1

C) 3
D) 4

E) 5 (tutte)

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2

How many correct statements about Ada and Bice running

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw[thick] (0,0) -- (3,0) -- (3,3) -- (0,3) -- cycle;
  \fill[red] (0,0) circle (3pt); \node[below left] at (0,0) {A};
  \fill[red] (3,0) circle (3pt); \node[below right] at (3,0) {B};
  \fill[red] (3,3) circle (3pt); \node[above right] at (3,3) {C};
  \fill[red] (0,3) circle (3pt); \node[above left] at (0,3) {D};
\end{tikzpicture}
\end{document}

(4 points) In the figure you can see a square on the edge of which Ada and Bice train to run, each without ever changing direction, but we don’t know whether in the same direction or in the opposite direction. They run for many laps each at a constant speed, but Ada’s is four times Bice’s. Right now Ada is on top A while Bice is on top B. How many of the following statements are correct? Ada and Bice will never be together at summit B. Ada and Bice will never be together at C Summit. Ada and Bice will never be together at summit D. - Sometimes Ada and Bice will be together at summit A. Ada and Bice can’t be together except at one of the summits. (A) 0 (none)

B) 1

C) 3 D) 4

E) 5 (all)

Answer: D src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q05

Percorso minimo della formica sul cilindro

(4 punti) Il cilindro circolare retto in figura è alto 8 cm e la circonferenza di base è lunga 12 cm. I due diametri visualizzati nelle due basi sono paralleli. Una formica parte dall’estremo A del diametro della base inferiore e vuole raggiungere l’estremo B del diametro della base superiore, muovendosi sulla superficie laterale del cilindro. Quanti centimetri è lungo il percorso più breve che può percorrere? A) 8

B) 10
C) 14
D) 15
E) 20

Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

Minimum path of the ant on the cylinder

(4 points) The straight circular cylinder in the figure is 8 cm high and the base circumference is 12 cm long. The two diameters shown in the two bases are parallel. An ant starts from the A-end of the diameter of the lower base and wants to reach the B-end of the diameter of the upper base, moving on the lateral surface of the cylinder. How many centimeters is the shortest path you can take? A) 8

B) 10 C) 14 D) 15 E) 20

Answer: B src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q06

Numero piu probabile di chi conosceva la risposta

(5 punti) Ad un quesito di Kangourou a risposta chiusa come questo, con 5 opzioni per la risposta, hanno risposto 10.000 studenti. Di questi, alcuni hanno saputo determinare la risposta corretta in base alle loro conoscenze, gli altri hanno tirato ad indovinare scegliendo in modo del tutto casuale tra le 5 proposte. Le risposte risultate corrette sono state 3.000. Tra i seguenti numeri, quale è più probabile che sia il numero di coloro che conoscevano la risposta corretta? A) 3.000
B) 2.500

C) 1.500

D) 1.250

E) 1.000

Topic: Probabilita e statistica Abilita: Stima e approssimazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2

*Most likely number of people who knew the answer *

Kangourou’s closed answer question, with 5 answer options, was answered by 10,000 students. Of these, some have been able to determine the correct answer based on their knowledge, others have tried to guess by choosing quite randomly among the five proposals. The correct answers were 3,000. Which of the following is more likely to be the number of people who knew the correct answer? A) 3.000 B) 2.500

C) 1.500

D) 1.250

E) 1.000

Answer: D src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q07

Quanti dei numeri possono essere la somma (cifra spostata)

(5 punti) Simona scrive un numero intero di quattro cifre, poi leva la sua ultima cifra e la sposta in testa al numero (ad esempio, se il numero scritto fosse 1030 otterrebbe 0103). Ora Simona somma i due numeri così ottenuti: quanti dei seguenti numeri 1221, 8612, 4322, 13859 potrebbero essere il risultato? A) 0 (nessuno)

B) 1

C) 2
D) 3

E) 4 (tutti)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

*How many of the numbers can be the sum (switched figure) *

(5 points) Simona writes an integer of four digits, then raises her last digit and moves it head to the number (for example, if the number written was 1030 it would get 0103). Now Simona sums up the two numbers thus obtained: how many of the following numbers 1221, 8612, 4322, 13859 could be the result? A) 0 (none)

B) 1

C) 2 D) 3

E) 4 (all)

Answer: B src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q08

Area della regione nera con due cerchi inscritti

(6 punti) Nella figura vedi un quadrato ripartito in due rettangoli grigi e due quadrati. I due rettangoli sono congruenti e all’interno di ciascuno dei due quadrati è inscritto un cerchio. In ciascuno dei quadrati, la parte esterna al cerchio è verniciata di nero. La somma delle aree dei cerchi è 20π. Qual è l’area della regione verniciata di nero? A) 4(5π – 4) B) 20(4 – π)
C) 4 + π D) 8π

E) 2022(2022 – π) A B

Quesiti a risposta aperta

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

Black region area with two inscribed circles

(6 points) In the figure you see a square divided into two gray rectangles and two squares. The two rectangles are congruent and inside each of the two squares is inscribed a circle. In each of the squares, the outside of the circle is painted black. The sum of the circle areas is 20π. What is the area of the region painted black? A) 4(5π – 4) B) 20(4 – π) C) 4 + π D) 8π

E) 2022(2022 – π) A B

Open-ended questions

Answer: B src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q09

Distanza tra le oasi A e B con i due cammelli

(4 punti) Nel deserto, due oasi A e B sono agli estremi di una lunga pista rettilinea. Un cammello parte da A diretto a B nello stesso istante in cui un altro cammello parte da B diretto ad A; i due cammelli viaggiano lungo la pista a velocità costante, uno di 4 km all’ora, l’altro di 2 km all’ora. Dopo un’ora che si sono incontrati, il cammello più veloce raggiunge la sua destinazione. Quanti chilometri distano le due oasi?

Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 12 Fonte: apri PDF p.3

Distance between oases A and B with two camels

(4 points) In the desert, two oases A and B are at the ends of a long straight track. A camel leaves from A to B at the same time as another camel leaves from B to A; the two camels travel along the track at constant speed, one at 4 km/h, the other at 2 km/h. After an hour of meeting, the fastest camel reaches its destination. How many miles apart are the two oases?

Answer: 12 src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q10

Cifre del quoziente di 111…999 diviso 111

(5 punti) Il numero 111.222.333.444.555.666.777.888.999 (ognuna delle cifre da 1 a 9 compare esattamente 3 volte) è divisibile per 111. Quante cifre ha il quoziente di tale divisione?

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 25 Fonte: apri PDF p.3

Coefficient number of 111…999 divided by 111

(5 points) The number 111.222.333.444.555.666.777.888.999 (each of the digits from 1 to 9 appears exactly 3 times) is divisible by 111. How many digits does the quotient of that division have?

Answer: 25 src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q11

Quante ciliegie ha mangiato Donatella

(5 punti) Donatella ha comperato 756 ciliegie e ne ha fatto diversi sacchetti tutti contenenti lo stesso numero di ciliegie, senza avanzarne alcuna. Uno l’ha tenuto per sé e gli altri li ha dati alle sue amiche. Donatella ha subito divorato tutte le sue ciliegie. Allora tre delle sue amiche le hanno dato, ciascuna, un numero di ciliegie esattamente pari a un quarto di quelle che c’erano all’inizio nel loro sacchetto. Dopo che ha mangiato anche queste, Donatella in tutto ha mangiato più di 150 ciliegie: quante esattamente?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 189 Fonte: apri PDF p.3

How many cherries did Donatella eat

(5 points) Donatella bought 756 cherries and made several bags of them all containing the same number of cherries, without advancing any. One kept it for himself and the others gave it to his friends. Donatella ate all her cherries right away. So three of her friends gave her, each, exactly a quarter of the number of cherries they had in their bag. After eating these too, Donatella ate more than 150 cherries altogether - exactly how many?

Answer: 189 src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q12

Misura dell’angolo ABC tra due esagoni regolari

(6 punti) La figura mostra due esagoni regolari congruenti che hanno in comune solo un vertice. Due dei lati che confluiscono in quel vertice sono perpendicolari. Quanti gradi misura l’angolo 𝐴𝐵𝐶 ̂ indicato?

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 15 Fonte: apri PDF p.3

Measurement of the ABC angle between two regular hexagons

(6 points) The figure shows two congruent regular hexagons that have only one vertex in common. Two of the sides that converge at that summit are perpendicular. How many degrees does the indicated angle ABC measure?

Answer: 15 src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q13

Modi di sedersi in auto con vincoli

(6 punti) Cinque persone devono salire su un’auto che ha cinque posti, due davanti e tre dietro. Solo una di esse può guidare, due delle altre quattro non possono sedere una accanto all’altra, mentre sulle restanti due non vi sono vincoli. In quanti modi diversi possono prendere posto nell’auto? (Due modi vanno considerati diversi se almeno uno dei posti dell’auto è occupato da persone diverse.)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 16 Fonte: apri PDF p.3

How to sit in cars with constraints

(6 points) Five people must board a car which has five seats, two in front and three in the back. Only one of them can drive, two of the other four cannot sit next to each other, while the other two are not bound. How many different ways can they get in the car? (Two ways are considered different if at least one of the car seats is occupied by different people.)

Answer: 16 src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q14

Cifra non usata scrivendo 2022 come somma di tre numeri

(6 punti) Il numero 2022 può essere scritto come somma di tre numeri che in tutto usano 9 delle 10 cifre ciascuna esattamente una volta. Quale cifra non viene usata nella somma? Scrivete 9999 se pensate che vi sia più di una risposta possibile.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3 Fonte: apri PDF p.3

Unused digit by writing 2022 as a sum of three digits

(6 points) The number 2022 can be written as the sum of three numbers that in total use 9 of the 10 digits each exactly once. What number is not used in the sum? Write 9999 if you think there’s more than one possible answer.

Answer: 3 src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q15

Minimo operazioni per raggiungere 2022 da 1

(7 punti) Una piccola macchina calcolatrice può eseguire solo quattro operazioni a scelta su un numero che venga assegnato: sottrarre 1, dividere per 2, moltiplicare per 3, sommare 4. Partendo dal numero 1 ed eseguendo in sequenza una alla volta operazioni come queste sui risultati via via ottenuti, qual è il minimo numero di operazioni che sono sufficienti per raggiungere 2022? (Ad esempio per raggiungere 6 ne occorrono e bastano 3: 1 × 3 + 4 − 1.)

A B C

Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9 Fonte: apri PDF p.3

Minimum operations to be achieved by 2022 by 1

(7 points) A small calculator can only perform four optional operations on a number that is assigned: subtract 1, divide by 2, multiply by 3, add up 4. Starting from number 1 and running in sequence one at a time operations like these on the road results obtained, what is the minimum number of operations that are sufficient to reach 2022? (For example, to reach 6 it takes and only 3: 1 × 3 + 4 − 1.)

A B C

Answer: 9 src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q16

Quante coppie m,n con 1/m+1/n=1/3

(7 punti) Quante coppie di interi m, n con m  n soddisfano l’uguaglianza
1 𝑚+ 1 𝑛= 1 3 ?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3 Fonte: apri PDF p.4

How many pairs m,n with 1/m+1/n=1/3

(7 points) How many pairs of integers m, n with m n satisfy the equality 1 m + 1 n = 13?

Answer: 3 src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q17

*probabilita che vinca Anna 100

(8 punti) Anna ed Ernesto giocano nel modo seguente. Sul tavolo ci sono 6 carte coperte, numerate da 1 a 6. Anna ne gira una e poi Ernesto ne gira un’altra. Si moltiplicano quindi i numeri ottenuti: se il prodotto è un numero pari vince Anna, se è un numero dispari vince Ernesto. Denota la probabilità che vinca Anna con p/100: quanto vale p?

12 25 189 15 16 3 9 3 80

Topic: Probabilita e statistica Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 80 Fonte: apri PDF p.4

The probability of Anna winning

(8 points) Anna and Ernesto play as follows. On the table, there are six cards, numbered from 1 to 6. Anna turns one and then Ernesto turns another. The resulting numbers are then multiplied: if the product is an even number Anna wins, if it is an odd number Ernesto wins. Determine the probability of Anna winning with p/100: how much is p worth?

12 25 189 15 16 3 9 3 80

Answer: 80 src_kangourou_2022_cadet_semifinale__Q18