Ogni termine della sequenza 1007,10017,… divisibile per 53
Considera la sequenza di interi i cui primi due termini sono, nell’ordine, e , e ogni termine successivo è ottenuto dal precedente inserendo un’ulteriore cifra dopo le tre cifre iniziali (dunque ). Dimostra che ogni intero della sequenza è divisibile per .
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
Each term of the sequence 1007,10017,… Divisible by 53*
Consider the sequence of integers whose first two terms are, in order, and , and each subsequent term is obtained from the previous one by inserting an additional digit after the first three digits (hence ). It shows that each whole of the sequence is divisible by .
src_kangourou_2022_junior_finale__QJ1
Raggio del cerchio interno alle tre circonferenze
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (1);
\draw (2,0) circle (1);
\draw (1,1.732) circle (1);
\draw (1,0.5774) circle (0.1547);
\end{tikzpicture}
\end{document}In figura vedi tre circonferenze di raggio , ognuna passante per il centro delle altre due, e una circonferenza più piccola contenuta in ciascuna delle tre e ad esse internamente tangente. Quanto vale il raggio di quest’ultima? (vedi figura)
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1 - 1/raddt3 Fonte: apri PDF p.1
Rage of the inner circle at three circumferences
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (1);
\draw (2,0) circle (1);
\draw (1,1.732) circle (1);
\draw (1,0.5774) circle (0.1547);
\end{tikzpicture}
\end{document}In the figure you can see three radius circles , each passing through the centre of the other two, and a smaller circle contained in each of the three and tangent to them internally. How much is the radius of the latter? (see figure)
Answer: 1 - 1/raddt3 src_kangourou_2022_junior_finale__QJ2
Massimo numero di tessere 2x1 nella regione di 36 quadratini
In figura vedi una regione di piano ottenuta accostando quadratini tutti uguali fra loro, e una tessera ottenuta accostando due quadratini identici a quelli della regione (tessera ). Quante tessere di questo tipo puoi disporre al massimo nella regione in modo che ognuna copra esattamente due quadratini della regione e non si sovrappongano (neppure parzialmente)? Puoi utilizzare la figura per indicare come disporre le tessere, ma ricorda che devi anche giustificare il motivo per il quale non ne puoi collocare un numero maggiore. (vedi figura)
Topic: Combinatoria Metodo: parita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 15 Fonte: apri PDF p.2
Maximum number of 2x1 tiles in the 36-square region
In the figure you can see a region of the plane obtained by joining squares all equal to each other, and a card obtained by joining two squares identical to those of the region (the table). How many tiles of this type can you have at most in the region so that each one covers exactly two squares of the region and does not overlap (even partially)? You can use the figure to indicate how to arrange the cards, but remember that you also have to justify why you can’t place a larger number. (see figure)
Answer: 15 src_kangourou_2022_junior_finale__QJ3
Quante coppie (m,n) con 1/m+1/n=1/2022
Per quante coppie ordinate di numeri interi positivi si ha
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 27 Fonte: apri PDF p.2
How many pairs (m,n) with 1/m+1/n=1/2022
For all ordered pairs of positive integers
Answer: 27 src_kangourou_2022_junior_finale__QJ4
Lati rossi e verdi dell’ottagono hanno somma uguale
Due quadrati congruenti, uno con bordo rosso e l’altro con bordo verde, sono disposti nel piano in modo tale che la loro intersezione sia un ottagono (i centri dei due quadrati possono non coincidere). Dimostra che la somma delle lunghezze dei lati rossi dell’ottagono coincide con la somma delle lunghezze dei lati verdi.
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.3
The red and green sides of the octagon have the same sum
Two congruent squares, one with a red and the other with a green edge, are arranged in the plane so that their intersection is an octagon (the centers of the two squares may not coincide). It shows that the sum of the lengths of the red sides of the octagon coincides with the sum of the lengths of the green sides.
src_kangourou_2022_junior_finale__QJ5
Il numero finale di 10 cifre ha almeno due cifre uguali
Considera il numero in notazione decimale; leva la sua prima cifra da destra (quella delle unità) e sommala al numero ottenuto con le cifre rimaste. Procedi in questo modo fino ad ottenere un numero di cifre. Dimostra che questo numero che hai ottenuto possiede almeno due cifre uguali.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.3
The final 10-digit number has at least two equal digits
Consider the number in decimal notation; take its first digit from the right (the number of units) and add it to the number obtained by the remaining digits. Continue this way until you get a number. It shows that this number you got has at least two digits equal.