Raccolta Gare di Matematica

Kangourou 2022 Junior — Semifinale individuale

Properties3
competitionKangourou 2022 Junior — Semifinale individuale
year2022
levelkangourou

16 minuti

Cifra delle unità del prodotto finale di 2021..2029

(2 punti) Sandra ha scritto su un foglio ciascuno dei numeri interi da 2021 a 2029. Samuele, che ha a disposizione una calcolatrice, ne sceglie due a caso, li elimina e sostituisce ad essi il loro prodotto. Procede sugli otto numeri rimasti allo stesso modo ottenendone sette e così via, fino a quando sul foglio rimane un solo numero. Qual è la cifra delle unità di questo numero?
A) 0

B) 2

C) 4

D) 6

E) 8

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1

Final product unit number for 2021..2029

(2 points) Sandra wrote on a sheet each of the whole numbers from 2021 to 2029. Samuel, who has a calculator at his disposal, chooses two at random, eliminates them, and replaces them with their product. It proceeds on the eight numbers remaining the same by getting seven and so on, until there is only one number left on the sheet. What is the unit number of this number? A) 0

B) 2

C) 4

D) 6

E) 8

Answer: A src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q01

Concime supplementare prato 30 vs 25 metri di lato

(3 punti) Per concimare un prato quadrato di 25 metri di lato occorre una certa quantità q di concime. Quali dei seguenti numeri è il più vicino alla quantità di concime supplementare che occorre per concimare con la stessa modalità un prato quadrato di 30 metri di lato?
A) q/6

B) q/5
C) q/4
D) q/3
E) q/2

Topic: Geometria piana, Algebra Abilita: Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.1

Additional grass areas 30 vs. 25 metres on the side

(3 points) A certain amount of manure is required to fertilize a 25 square metre lawn. Which of the following figures is closest to the amount of additional manure needed to fertilize a 30 square foot lawn in the same way? A) q/6

B) q/5 C) q/4 D) q/3 E) q/2

Answer: E src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q02

affermazioni vere

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) node[below left] {A} -- (3,0) node[below right] {B} -- (3,3) node[above right] {C} -- (0,3) node[above left] {D} -- cycle;
  \filldraw[red] (0,0) circle (3pt);
  \filldraw[red] (3,0) circle (3pt);
  \filldraw[red] (3,3) circle (3pt);
  \filldraw[red] (0,3) circle (3pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}

(3 punti) In figura vedete un quadrato sul bordo del quale Ada e Bice si allenano a correre, ognuna senza mai cambiare verso, ma non sappiamo se nello stesso verso o in verso opposto. Corrono per molti giri ciascuna a velocità costante, ma quella di Ada è il triplo di quella di Bice. In questo momento Ada è sul vertice A mentre Bice è sul vertice B. Quante delle seguenti affermazioni sono corrette?

Ada e Bice non si troveranno mai insieme nel vertice B.

Ada e Bice non si troveranno mai insieme nel vertice C.

Ada e Bice non si troveranno mai insieme nel vertice D.

Qualche volta Ada e Bice si troveranno insieme nel vertice A.

Ada e Bice non potranno trovarsi insieme se non in uno dei vertici. A) 0 (nessuna)

B) 1

C) 3

D) 4

E) 5 (tutte)

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1

true statements

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) node[below left] {A} -- (3,0) node[below right] {B} -- (3,3) node[above right] {C} -- (0,3) node[above left] {D} -- cycle;
  \filldraw[red] (0,0) circle (3pt);
  \filldraw[red] (3,0) circle (3pt);
  \filldraw[red] (3,3) circle (3pt);
  \filldraw[red] (0,3) circle (3pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}

(3 points) In the figure you see a square on the edge of which Ada and Bice train to run, each without ever moving in the same direction, but we don’t know if it’s in the same direction or in the opposite direction. They run for many laps each at a constant speed, but Ada’s is three times Bice’s. Right now Ada is on top A while Bice is on top B. How many of the following statements are correct? Ada and Bice will never be together at summit B. Ada and Bice will never be together at C Summit. Ada and Bice will never be together at summit D. - Sometimes Ada and Bice will be together at summit A. Ada and Bice can’t be together except at one of the summits. (A) 0 (none)

B) 1

C) 3

D) 4

E) 5 (all)

Answer: C src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q03

stima di chi conosceva la risposta corretta

(4 punti) Ad un quesito di Kangourou a risposta chiusa come questo, con 5 opzioni per la risposta, hanno risposto 10.000 studenti. Di questi, alcuni hanno saputo determinare la risposta corretta in base alle loro conoscenze, gli altri hanno tirato ad indovinare scegliendo in modo del tutto casuale tra le 5 proposte. Le risposte risultate corrette sono state 3.000. Tra i seguenti numeri, quale è più probabile che sia il numero di coloro che conoscevano la risposta corretta? A) 3.000
B) 2.500

C) 1.500

D) 1.250

E) 1.000

Topic: Probabilita e statistica Abilita: Stima e approssimazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1

estimation of who knew the correct answer

(4 points) To a closed answer question by Kangourou like this, with 5 options for the answer, 10,000 students answered. Of these, some have been able to determine the correct answer based on their knowledge, others have tried to guess by choosing quite randomly among the five proposals. The correct answers were 3,000. Which of the following is more likely to be the number of people who knew the correct answer? A) 3.000 B) 2.500

C) 1.500

D) 1.250

E) 1.000

Answer: D src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q04

Numero a 4 cifre con ultima cifra spostata in testa, somma

(4 punti) Simona scrive un numero intero di quattro cifre, poi leva la sua ultima cifra e la sposta in testa al numero (ad esempio, se il numero scritto fosse 1030 otterrebbe 0103). Ora Simona somma i due numeri così ottenuti: quanti dei seguenti numeri 1221, 8612, 4322, 13859 potrebbero essere il risultato? A) 0 (nessuno)

B) 1

C) 2
D) 3

E) 4 (tutti)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

Four-digit number with the last digit shifted to the head, sum

(4 points) Simona writes a four-digit integer, then raises her last digit and moves it head to the number (for example, if the number written was 1030 it would get 0103). Now Simona sums up the two numbers thus obtained: how many of the following numbers 1221, 8612, 4322, 13859 could be the result? A) 0 (none)

B) 1

C) 2 D) 3

E) 4 (all)

Answer: B src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q05

quale perimetro impossibile

(4 punti) Le dimensioni di quattro rettangoli sono a × b, b × c, c × d e d × a, dove tutti i numeri a, b, c e d sono interi positivi ed esprimono lunghezze in metri. La somma delle loro aree è 105 metri quadrati. Quale dei seguenti numeri certamente non è la somma dei loro perimetri in metri? A) 88
B) 104
C) 124
D) 152
E) Nessuno, tutti potrebbero esserlo.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

which perimeter is impossible

(4 points) The dimensions of four rectangles are a × b, b × c, c × d and d × a, where all numbers a, b, c and d are positive integers and express lengths in metres. Their total area is 105 square meters. Which of the following numbers is certainly not the sum of their perimeter in meters? A) 88 B) 104 C) 124 D) 152 E) None, all could be.

Answer: C src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q06

Quadrato con due cerchi inscritti, area nera

(5 punti) Nella figura vedi un quadrato ripartito in due rettangoli grigi e due quadrati. I due rettangoli sono congruenti e all’interno di ciascuno dei due quadrati è inscritto un cerchio. In ciascuno dei quadrati, la parte esterna al cerchio è verniciata di nero. La somma delle aree dei cerchi è 20π. Qual è l’area della regione verniciata di nero?
A) 4(5π – 4) B) 20(4 – π)
C) 4 + π

D) 8π
E) 2022(2022 – π)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

Square with two inscribed circles, black area

(5 points) In the figure you see a square divided into two gray rectangles and two squares. The two rectangles are congruent and inside each of the two squares is inscribed a circle. In each of the squares, the outside of the circle is painted black. The sum of the circle areas is 20π. What is the area of the region painted black? A) 4(5π – 4) B) 20(4 – π) C) 4 + π

D) 8π E) 2022(2022 – π)

Answer: B src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q07

Quattro circonferenze raggio 1, lunghezza bordo esterno

(5 punti) La figura mostra quattro circonferenze di raggio 1 con esattamente un punto in comune a tutte. Quanto è lungo il bordo esterno della figura evidenziato dagli archi a tratto nero inspessito?
A) 3π

B) 3π/2 C) 8π/3

D) 4π
E) 11π/5

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2

Four radii circles 1, outer edge length

(5 points) The figure shows four radius 1 circumferences with exactly one point in common with all of them. How long is the outer edge of the figure highlighted by the black striped arches? A) 3π

B) 3π/2 C) 8π/3

D) 4π E) 11π/5

Answer: D src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q08

prodotto pari/dispari, prob 4x, trova n

(6 punti) Anna ed Ernesto giocano nel modo seguente. Sul tavolo ci sono n carte coperte numerate da 1 a n, dove n è un numero pari. Anna ne gira una e poi Ernesto ne gira un’altra. Si moltiplicano quindi i numeri ottenuti: se il prodotto è un numero pari vince Anna, se è un numero dispari vince Ernesto. Si sa che la probabilità che vinca Anna è quattro volte la probabilità che vinca Ernesto. Quanto vale n?
A) 6

B) 8

C) 10
D) 12
E) 16

Quesiti a risposta aperta

Topic: Probabilita e statistica Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.2

  • equal to or less than 4x, find n*

(6 points) Anna and Ernesto play as follows. On the table there are n covered cards numbered from 1 to n, where n is an even number. Anna turns one and then Ernesto turns another. The resulting numbers are then multiplied: if the product is an even number Anna wins, if it is an odd number Ernesto wins. You know, the probability of Anna winning is four times the probability of Ernesto winning. How much is n? A) 6

B) 8

C) 10 D) 12 E) 16

Open-ended questions

Answer: A src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q09

Cifre del quoziente di 111222…999 diviso 111

(4 punti) Il numero 111.222.333.444.555.666.777.888.999 (ognuna delle cifre da 1 a 9 compare esattamente 3 volte) è divisibile per 111. Quante cifre ha il quoziente di tale divisione?

K

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 25 Fonte: apri PDF p.2

Coefficient number of 111222…999 divided by 111

(4 points) The number 111.222.333.444.555.666.777.888.999 (each of the digits from 1 to 9 appears exactly 3 times) is divisible by 111. How many digits does the quotient of that division have?

K

Answer: 25 src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q10

Due esagoni regolari con lati perpendicolari, angolo ABC

(5 punti) La figura mostra due esagoni regolari congruenti che hanno in comune solo un vertice. Due dei lati che confluiscono in quel vertice sono perpendicolari. Quanti gradi misura l’angolo 𝐴𝐵𝐶 ̂ indicato?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 15 Fonte: apri PDF p.3

Two regular hexagons with perpendicular sides, angle ABC

(5 points) The figure shows two congruent regular hexagons that have only one vertex in common. Two of the sides that converge at that summit are perpendicular. How many degrees does the indicated angle ABC measure?

Answer: 15 src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q11

Cinque persone in auto con vincoli, disposizioni

(5 punti) Cinque persone devono salire su un’auto che ha cinque posti, due davanti e tre dietro. Solo una di esse può guidare, due delle altre quattro non possono sedere una accanto all’altra, mentre sulle restanti due non vi sono vincoli. In quanti modi diversi possono prendere posto nell’auto? (Due modi vanno considerati diversi se almeno uno dei posti dell’auto è occupato da persone diverse.)

Topic: Combinatoria Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 16 Fonte: apri PDF p.3

Five people in cars with restrictions, provisions

(5 points) Five people must board a car which has five seats, two in front and three in the back. Only one of them can drive, two of the other four cannot sit next to each other, while the other two are not bound. How many different ways can they get in the car? (Two ways are considered different if at least one of the car seats is occupied by different people.)

Answer: 16 src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q12

minimo passi da 1 a 2022

(6 punti) Una piccola macchina calcolatrice può eseguire solo quattro operazioni a scelta su un numero che venga assegnato: sottrarre 1, dividere per 2, moltiplicare per 3, sommare 4. Partendo dal numero 1 ed eseguendo in sequenza una alla volta operazioni come queste sui risultati via via ottenuti, qual è il minimo numero di operazioni che sono sufficienti per raggiungere 2022? (Ad esempio per raggiungere 6 ne occorrono e bastano 3: 1 × 3 + 4 − 1.)

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9 Fonte: apri PDF p.3

minimum steps from 1 to 2022

(6 points) A small calculator can only perform four optional operations on a number that is assigned: subtract 1, divide by 2, multiply by 3, add 4. Starting from number 1 and running in sequence one at a time operations like these on the road results obtained, what is the minimum number of operations that are sufficient to reach 2022? (For example, to reach 6 it takes and only 3: 1 × 3 + 4 − 1.)

Answer: 9 src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q13

Coppie interi m<n con 1/m+1/n=1/3

(6 punti) Quante coppie di interi m, n con m  n soddisfano l’uguaglianza
1 𝑚+ 1 𝑛= 1 3 ?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3 Fonte: apri PDF p.3

Integer pairs m<n with 1/m+1/n=1/3

(6 points) How many pairs of integers m, n with m n satisfy the equality 1 m + 1 n = 13?

Answer: 3 src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q14

bordo uguale all’interno

(6 punti) Chiamiamo equo un rettangolo di dimensioni intere m × n se accade quanto segue: quando viene ripartito in mn quadrati di lato unitario, i quadrati che stanno lungo il bordo sono tanti quanti i rimanenti (cioè quelli che stanno strettamente all’interno). Quanti sono, se ne esistono, i rettangoli equi? (Un rettangolo m × n va considerato identico al rettangolo n × m; se ritieni che vi siano infiniti rettangoli equi, rispondi 9999.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2 Fonte: apri PDF p.3

equal board within

(6 points) Let’s call a rectangle of full size m × n fair if the following happens: when it is divided into m squares on the unit side, the squares along the edge are as many as the remaining ones (i.e. those that are tightly inside). How many, if any, are equal rectangles? (A rectangle m × n shall be considered to be identical to the rectangle n × m; if you believe that there are infinitely many equal rectangles, answer 9999.)

Answer: 2 src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q15

Ultima cifra decimale non nulla di 1/5^2022

(7 punti) Qual è l’ultima cifra decimale diversa da 0 del numero 1 52022 ?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4 Fonte: apri PDF p.3

Last decimal point not less than 1/5^2022

(7 points) What is the last decimal digit other than 0 in number 1 52022 ?

Answer: 4 src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q16

Polinomi a coeff interi con radice 1+√2, min somma |coeff|

(7 punti) Denotate con P l’insieme dei polinomi a coefficienti interi che hanno tra le loro radici il numero 1 + √2 e tali che il loro grado sia il più basso possibile. Per un polinomio P, denotate con s(P) la somma dei valori assoluti dei coefficienti di P. Qual è il minimo valore possibile per s(P) al variare di P in P?

Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 4 Fonte: apri PDF p.3

*Integer coefficient polynomials with roots 1+√2, min sum

(7 points) Indicate with P the set of polynomials with integer coefficients whose roots are 1 + √2 and whose degree is as low as possible. For a polynomial P, denote with s(P) the sum of the absolute values of the coefficients of P. What is the minimum possible value for s(P) when P varies from P to P?

Answer: 4 src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q17

Coppie (x,y) con x²+y e x+y² entrambi quadrati

(8 punti) Per quante coppie ordinate (x, y) di interi positivi accade che entrambi gli interi x2 + y e x + y2 siano quadrati perfetti? (Scrivete 9999 se ritenete che vi siano infinite coppie.)

25 15 16 9 3 2 4 4 0

A B C

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, Disuguaglianze classiche Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0 Fonte: apri PDF p.2

Couples (x,y) with x2+y and x+y2 both squared

(8 points) For how many pairs (x, y) of positive integers does it happen that both integers x2 + y and x + y2 are perfect squares? (Write 9999 if you think there are infinite pairs.)

25 15 16 9 3 2 4 4 0

A B C

Answer: 0 src_kangourou_2022_junior_semifinale__Q18

Vista grafico