Voti favorevoli totali in referendum 252 votanti
Il referendum
In un paese è stato indetto un referendum, fra 252 votanti, in favore o contro la costruzione di una pista ciclabile. La percentuale dei voti a favore sui primi 240 voti scrutinati è rimasta identica sul totale quando sono stati scrutinati i rimanenti 12 voti, dei quali 7 erano a favore. Quanti sono risultati, alla fine, i voti favorevoli?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0147 Fonte: apri PDF p.1
Total votes in favour in the referendum 252 voters
A referendum was held in one country, with 252 votes in favour or against the construction of a cycle track. The percentage of votes in favour of the first 240 votes cast remained the same over the total when the remaining 12 votes were cast, of which 7 were in favour. How many votes were in favour?
Answer: 0147 src_kangourou_2022_junior_squadre__Q01
Ora in cui balena veloce inverte la rotta
Le balene
Due balene nuotano fianco a fianco in linea retta alla velocità di 6 km all’ora. A un certo istante una delle due accelera a 10 km all’ora, percorre un certo tratto quindi inverte la rotta e torna indietro, sempre a 10 km all’ora, fino a incontrare l’altra che invece ha proseguito sempre a 6 km all’ora. Se le balene si sono separate alle 9:15 e incontrate alle 11:00, a che ora la balena “veloce” ha invertito la rotta? (Scrivi l’ora senza i due punti, ad esempio per le 9:15 scrivi 0915.)
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 1039 Fonte: apri PDF p.1
Time when the fast whale reverses course
The whales Two whales swim side by side in a straight line at a speed of 6 km/h. At a certain moment one of the two accelerates at 10 km/h, travels a certain stretch then reverses the route and returns, always at 10 km/h, until meeting the other which instead has continued always at 6 km/h. If the whales separated at 9:15 a.m. and met at 11:00 a.m., what time did the fast whale reverse course? (Write the time without the two points, for example for 9:15 write 0915.)
Answer: 1039 src_kangourou_2022_junior_squadre__Q02
Numero lati n con somma diametrale minima 2022
Quanti vertici? In corrispondenza di ciascuno dei vertici e nel centro di un poligono regolare di n lati (n pari) è stato scritto un numero intero positivo. Gli n + 1 numeri scritti sono stati scelti in modo che fossero tutti diversi tra loro e che, al variare delle coppie di vertici opposti (cioè allineati con il centro), la somma dei tre numeri allineati (nei due vertici e nel centro) fosse sempre la stessa e la minima possibile. Con questi presupposti tale somma è risultata essere 2022. Quanto vale n?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2018 Fonte: apri PDF p.1
Number of sides n with minimum diameter sum 2022
How many peaks? A positive integer is written at each vertex and at the center of a regular polygon of n sides (n equal). The n + 1 written numbers were chosen so that they were all different from each other and that, when the pairs of opposite vertices (i.e. aligned with the center) varied, the sum of the three aligned numbers (in the two vertices and in the center) was always the same and the least possible. With these assumptions, that sum turned out to be 2022. How much is n?
Answer: 2018 src_kangourou_2022_junior_squadre__Q03
Massimo a+b+c con due equazioni quadratiche
La terna
Di una terna ordinata di numeri reali {a, b, c} si sa che a2 + 2b2 = 100 + 2bc e che 2ab = 100 + c2. Qual è il valore più alto possibile per la somma a + b + c?
Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0030 Fonte: apri PDF p.1
Maximum a+b+c with two quadratic equations
The term of an ordered set of real numbers {a, b, c} we know that a2 + 2b2 = 100 + 2bc and that 2ab = 100 + c2. What is the highest possible value for the sum of a + b + c?
Answer: 0030 src_kangourou_2022_junior_squadre__Q04
2022-mo intero senza cifra 1
Senza cifra 1
Se si scrivono in ordine crescente (in notazione decimale) tutti i numeri interi positivi minori di 10.000 in cui non compare la cifra 1, qual è il numero che occupa la 2022-ma posizione?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3797 Fonte: apri PDF p.1
*2022-th whole without digit 1 *
Without digit 1 If you write in ascending order (in decimal notation) all positive integers less than 10,000 in which the digit 1 does not appear, what is the number that occupies the 2022-but position?
Answer: 3797 src_kangourou_2022_junior_squadre__Q05
Lunghezza BC dato aree triangoli in rettangolo
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0,3);
\coordinate (B) at (4,3);
\coordinate (C) at (4,0);
\coordinate (D) at (0,0);
\coordinate (E) at (2.56,1.08);
\fill[yellow!80] (A) -- (B) -- (E) -- cycle;
\fill[blue!30] (A) -- (C) -- (D) -- cycle;
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\draw[thick] (A) -- (C);
\draw[thick] (B) -- (E);
\draw (E) -- ++(0.15,0.2) -- ++(-0.12,0.09) -- ++(-0.15,-0.2);
\node[above left] at (A) {$A$};
\node[above right] at (B) {$B$};
\node[below right] at (C) {$C$};
\node[below left] at (D) {$D$};
\node[below right] at (E) {$E$};
\node at (2.8,2.3) {\textbf{96}};
\node at (1.2,1.3) {\textbf{150}};
\end{tikzpicture}
\end{document}Triangoli rettangoli
Con riferimento alla figura, ABCD è un rettangolo, BE è perpendicolare alla diagonale AC e le aree dei triangoli ABE e ACD sono rispettivamente 96 e 150 m2. Qual è la lunghezza in metri di BC?96 150 D B A C E
2
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0015 Fonte: apri PDF p.1
Length BC given triangular areas in a rectangle
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0,3);
\coordinate (B) at (4,3);
\coordinate (C) at (4,0);
\coordinate (D) at (0,0);
\coordinate (E) at (2.56,1.08);
\fill[yellow!80] (A) -- (B) -- (E) -- cycle;
\fill[blue!30] (A) -- (C) -- (D) -- cycle;
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\draw[thick] (A) -- (C);
\draw[thick] (B) -- (E);
\draw (E) -- ++(0.15,0.2) -- ++(-0.12,0.09) -- ++(-0.15,-0.2);
\node[above left] at (A) {$A$};
\node[above right] at (B) {$B$};
\node[below right] at (C) {$C$};
\node[below left] at (D) {$D$};
\node[below right] at (E) {$E$};
\node at (2.8,2.3) {\textbf{96}};
\node at (1.2,1.3) {\textbf{150}};
\end{tikzpicture}
\end{document}Rectangular triangles With reference to the figure, ABCD is a rectangle, BE is perpendicular to the AC diagonal and the areas of the triangles ABE and ACD are 96 and 150 m2 respectively. What is the length in meters of BC?
96 150 D B A C E
2
Answer: 0015 src_kangourou_2022_junior_squadre__Q06
Minimo n per due numeri primi fra loro
Primi tra loro
Considerate l’insieme A dei numeri interi compresi tra 2 e 2022 inclusi. Si vuole essere sicuri che, estraendo n numeri a caso da A, fra questi n ve ne siano almeno due primi fra loro. Qual è il minimo valore possibile per n?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1012 Fonte: apri PDF p.2
Minimum n for two prime numbers between them
First among them Consider the set A of integers between 2 and 2022 included. You want to make sure that, by extracting random numbers from A, there are at least two prime numbers among these. What’s the minimum possible value for n?
Answer: 1012 src_kangourou_2022_junior_squadre__Q07
Volume ottaedro con vertici centri facce cubo
L’ottaedro
I vertici di un ottaedro sono i centri delle facce di un cubo di volume 8640. Qual è il volume dell’ottaedro?
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1440 Fonte: apri PDF p.2
Volume octahedron with vertical centers of cubic faces
The vertices of an octahedron are the centers of the faces of a cube of volume 8640. What is the volume of the octahedron?
Answer: 1440 src_kangourou_2022_junior_squadre__Q08
Valore di a^4+1/a^4 dato (a-1/a)^2=3
La somma
Di un numero a sapete che 3. Quanto vale ?
Nel caso in cui la risposta non fosse indipendente dai valori del parametro a rispondete 0000.
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0110 Fonte: apri PDF p.2
Value of a^4+1/a^4 given (a-1/a)^2=3
The sum of a number a you know is 3. How much is it worth ? ? In case the answer was not independent of the parameters at 0000, answer 0000.
Answer: 0110 src_kangourou_2022_junior_squadre__Q09
Coppie di sottoinsiemi disgiunti non vuoti
Coppie
Considerate i sottoinsiemi non vuoti di un insieme di 5 elementi e tutte le coppie di sottoinsiemi disgiunti che con essi si possono formare. Quante sono le coppie diverse?
Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0090 Fonte: apri PDF p.2
*Pairs of unbroken disjoint subset *
Couples Consider the non-empty subsets of a set of 5 elements and any couples of disjoint subsets that can be formed with them. How many different couples are there?
Answer: 0090 src_kangourou_2022_junior_squadre__Q10
Angolo centrale progressione aritmetica pentagono
Il pentagono
Le misure in gradi degli angoli interni di un pentagono convesso sono in progressione aritmetica. Qual è il numero centrale della progressione?
Topic: Geometria piana, Algebra Abilita: Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: 0108 Fonte: apri PDF p.2
*Central angle arithmetic progression pentagon *
The degree measurements of the interior angles of a convex pentagon are in arithmetic progression. What’s the central number of the progression?
Answer: 0108 src_kangourou_2022_junior_squadre__Q11
Ultime 4 cifre di n nella differenza da 1/18
Differenza da 1/18
Per ogni k intero positivo da 1 in poi sia
. La somma a1 + a2 + … + a100
differisce da
per
con n intero positivo opportuno. Scrivete le ultime 4 cifre (migliaia, centinaia, decine, unità) di n.
Topic: successioni, Algebra Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 3318 Fonte: apri PDF p.2
Last 4 digits of n in the difference of 1/18
Difference of 1/18 For every positive integer k from 1 to
. The sum of a1 + a2 + … + a100
The number of positive integers in the sample varies from the appropriate positive integer. Write the last 4 digits (thousands, hundreds, tens, units) of n.
Answer: 3318 src_kangourou_2022_junior_squadre__Q12
Somma palindromi 3 cifre, prime 4 cifre
Palindromi
Calcolate la somma di tutti i numeri interi positivi palindromi di tre cifre (dunque maggiori di 100), e scrivete le prime quattro cifre (da sinistra) del risultato che ottenete. (Un numero si dice palindromo se coincide con quello che si ottiene leggendo le sue cifre in ordine opposto, da destra a sinistra; ad esempio 454 è palindromo.)
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4950 Fonte: apri PDF p.2
*Sum of three-digit palindromes, first four digits *
Palindromes Calculate the sum of all positive integers three-digit palindromes (if greater than 100), and write the first four digits (left) of the result you get. (A number is said to be palindrome if it matches what you get by reading its digits in opposite order, from right to left; for example 454 is palindrome.)
Answer: 4950 src_kangourou_2022_junior_squadre__Q13
Numero triangoli triangolazione poligono 2022
Quanti triangoli?
All’interno di un poligono convesso avente 2022 vertici (e quindi lati) sono fissati 2022 punti. Se il poligono viene ripartito in triangoli aventi come vertici tre dei 4044 punti suddetti, senza che vi siano triangoli i cui interni si sovrappongono, quanti triangoli si ottengono?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 6064 Fonte: apri PDF p.2
Number of triangles triangulation polygon 2022
How many triangles? Within a convex polygon with 2022 vertices (and hence sides) 2022 points are fixed. If the polygon is divided into triangles with three of the 4044 points mentioned above as vertices, without any triangles whose interior overlaps, how many triangles are obtained?
Answer: 6064 src_kangourou_2022_junior_squadre__Q14
Numeri 10..1000 con cifre in ordine crescente
In ordine crescente Quanti sono i numeri interi compresi tra 10 e 1000 le cui cifre sono disposte in ordine crescente, ma non necessariamente strettamente crescente?
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Quesiti e soluzioni
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0210 Fonte: apri PDF p.2
Numbers 10..1000 in ascending order
In increasing order How many integers are between 10 and 1000 whose digits are arranged in increasing order, but not necessarily strictly increasing?
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Questions and solutions
Answer: 0210 src_kangourou_2022_junior_squadre__Q15