Probabilità pareggio gioco con dadi, num+den
Con i dadi
Alice e Bice hanno ciascuna un dado tradizionale e fanno il seguente gioco. Ognuna lancia il proprio dado. Se ottengono lo stesso numero, vince Alice; se ottengono numeri diversi, Alice lancia il suo dado di nuovo: se ora i due numeri coincidono, vince Bice, se invece sono ancora diversi, l’incontro si conclude in pareggio. Esprimete la probabilità che l’incontro si concluda in pareggio sotto forma di una frazione ridotta ai minimi termini. Quanto vale la somma del numeratore e del denominatore di questa frazione?
Topic: Probabilita e statistica Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0061 Fonte: apri PDF p.1
The probability of a match with a dice, num+den
With the dice Alice and Bice each have a traditional dice and play the following game. Everyone throws their own dice. If they get the same number, Alice wins; if they get different numbers, Alice throws her dice again: if now the two numbers coincide, Bice wins, if instead they are still different, the match ends in a draw. Express the probability that the match will end in a draw in the form of a fraction reduced to the minimum deadlines. What is the sum of the numerator and denominator of this fraction?
Answer: 0061 src_kangourou_2022_junior_squadre_f2__Q01
Quanti divisori pari di 20^22
Fattori pari
Quanti dei divisori (interi positivi) del numero 2022 sono numeri pari?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1012 Fonte: apri PDF p.1
Numbers of dividers equal to 20^22
Equal factors How many divisors (positive integers) of the number 2022 are equal numbers?
Answer: 1012 src_kangourou_2022_junior_squadre_f2__Q02
Area esagono ombreggiato in triangolo
L’esagono
Sui lati del triangolo in figura sono evidenziati alcuni punti (vertici inclusi). Su ogni singolo lato due punti contigui distano 5 cm. Quanti centimetri quadrati misura l’area dell’esagono ombreggiato?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0120 Fonte: apri PDF p.1
Triangle shaded hexagonal area
On the sides of the triangle shown in the figure are highlighted some points (vertical included). On each side, two adjacent points are 5 cm apart. How many square centimetres is the area of the shaded axis?
Answer: 0120 src_kangourou_2022_junior_squadre_f2__Q03
Caramelle nel sesto sacchetto con vincoli
Caramelle Sara distribuisce 150 caramelle in 10 sacchetti. Ogni sacchetto (a partire dal secondo) contiene più caramelle del precedente. Alla fine Sara si accorge che il numero di caramelle che ha messo nel decimo sacchetto non è più del doppio del numero di caramelle che ha messo nel primo. Quante caramelle ha messo nel sesto sacchetto? Se la risposta non fosse univoca scrivete 0000.
Topic: Algebra, Logica, giochi, strategie Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0016 Fonte: apri PDF p.1
Caramel in the sixth bag with bindings
Sara distributes 150 candies in 10 bags. Each bag (starting with the second) contains more candy than the previous one. Eventually, Sara realizes that the number of candy she put in the tenth bag is not more than double the number of candy she put in the first. How many candy did you put in the sixth bag? If the answer is not unambiguous, write 0000.
Answer: 0016 src_kangourou_2022_junior_squadre_f2__Q04
Quante cifre 1 nella somma di 2023 addendi
2023 addendi Considerate la seguente somma
8 + 98 + 998 + 9.998 + … + 9.999. … .998 dove i 2023 addendi sono ottenuti premettendo alla cifra 8 rispettivamente 0, 1, 2, 3, …, 2022 cifre 9. Quante cifre 1 compaiono nel risultato?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2019 Fonte: apri PDF p.1
*How many digits 1 in the sum of 2023 add *
2023 Additional Consider the following sum 8 + 98 + 998 + 9.998 + … + 9.999. … .998 where the 2023 additions are obtained by pressing the digit 8 respectively 0, 1, 2, 3, …, 2022 digits 9. How many digits of 1 appear in the result?
Answer: 2019 src_kangourou_2022_junior_squadre_f2__Q05
Cifre del minimo k con s(s(s(k)))=10
La somma delle cifre Assegnato un numero intero positivo n, denotiamo con s(n) la somma delle sue cifre. Quante cifre ha il più piccolo intero positivo k tale che s(s(s(k))) = 10?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0023 Fonte: apri PDF p.1
Number of minimum k with s(s(s(k)))=10
The sum of the digits Assigned a positive integer n, we denote with s(n) the sum of its digits. How many digits has the smallest positive integer k such that s(s(s(k))) = 10?
Answer: 0023 src_kangourou_2022_junior_squadre_f2__Q06
Valore X perché prodotto inizi con 30
Sette cifre Per un numero intero positivo X opportuno, il prodotto 2 × 3 × 4 × 5 × 7 × 9 × 11 × X è un numero di 7 cifre, le prime due (da sinistra) delle quali sono, nell’ordine, 3 e 0. Quanto vale X?
5 cm
2
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Stima e approssimazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0037 Fonte: apri PDF p.1
Value X because product starts with 30
Seven digits For an appropriate positive integer X, the product 2 × 3 × 4 × 5 × 7 × 9 × 11 × X is a 7-digit number, the first two of which (left) are, in order, 3 and 0. How much is X worth?
5 cm
2
Answer: 0037 src_kangourou_2022_junior_squadre_f2__Q07
Modi del Re da b6 a e4 senza tornare indietro
Le mosse del Re Nel gioco degli scacchi il Re può muovere sulla scacchiera solo di una casella alla volta, in orizzontale, in verticale o in una delle due direzioni diagonali. Il Re vuole andare da b6 a e4 senza mai tornare indietro (quindi, con riferimento alla figura, muovendo in orizzontale da sinistra a destra, in verticale dall’alto in basso, in diagonale da sinistra a destra dall’alto in basso). In quanti modi diversi può farlo?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0025 Fonte: apri PDF p.2
Mode of the King from b6 to e4 without going back
In the game of chess the king can move on the chessboard only one box at a time, horizontally, vertically or in one of the two diagonal directions. The King wants to go from b6 to e4 without ever going back (so, with reference to the figure, moving horizontally from left to right, vertically from top to bottom, diagonally from left to right from top to bottom). How many different ways can you do that?
Answer: 0025 src_kangourou_2022_junior_squadre_f2__Q08
Massimo ambasciate, grafo senza triangoli
Le ambasciate Su un lontano pianeta ci sono esattamente 30 nazioni, piuttosto litigiose tra loro: infatti non esistono tre nazioni che intrattengano reciproche relazioni diplomatiche (ciascuna con ciascuna delle altre due). Se A è in relazione con B, anche B lo è con A e in A c’è un’ambasciata di B e in B c’è un’ambasciata di A. Quante ambasciate potrebbero esserci al massimo su quel pianeta?
Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita, Teoria dei grafi Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0450 Fonte: apri PDF p.2
*Most embassies, triangle-free graph *
Embassies On a distant planet there are exactly 30 nations, rather contentious among themselves: in fact, there are no three nations that have diplomatic relations with each other (each with each of the other two). If A is related to B, then B is also related to A and in A there is an embassy of B and in B there is an embassy of A. How many embassies could there be on that planet?
Answer: 0450 src_kangourou_2022_junior_squadre_f2__Q09
Ultime tre cifre di 7^9999
La potenza Quali sono le ultime tre cifre (centinaia, decine, unità) del numero 79999 ?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0143 Fonte: apri PDF p.2
The last three digits of 7^9999
What are the last three digits (hundreds, tens, units) of the number 79999?
Answer: 0143 src_kangourou_2022_junior_squadre_f2__Q10
Massimo parallelepipedi da 4 punti non complanari
I parallelepipedi Sono assegnati 4 punti non complanari nello spazio in modo che sia massimo il numero di parallelepipedi, tutti diversi tra loro, tra i cui vertici ci siano questi 4 punti. Qual è questo numero?
Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0029 Fonte: apri PDF p.2
Most parallel pipes from 4 non-planar points
Parallelpipeds Four non-planar points are assigned in space so that the maximum number of parallelpipeds, all different from each other, are at the summits of these four points. What’s this number?
Answer: 0029 src_kangourou_2022_junior_squadre_f2__Q11
Minimo intero 4 cifre con divisioni per 7 resto 1
Divisioni per 7
Immaginate che, dividendo per 7 un numero intero positivo, otteniate resto 1. Se il quoziente di questa prima divisione non è divisibile per 7, immaginate che il resto della divisione per 7 di questo quoziente sia ancora 1 e così via fino a quando, dopo un numero finito di passi, il quoziente sia divisibile per 7. Qual è il più piccolo intero positivo di quattro cifre dal quale potreste essere partiti?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1030 Fonte: apri PDF p.2
Minimum whole 4 digits divided by 7 remaining 1
Divisions by 7 Imagine that, dividing by 7 a positive integer, you get the remaining 1. If the quotient of this first division is not divisible by 7, imagine that the rest of the division by 7 of this quotient is still 1 and so on until, after a finite number of steps, the quotient is divisible by 7. What’s the smallest positive four-digit integer you could have started from?
Answer: 1030 src_kangourou_2022_junior_squadre_f2__Q12
Modi di tracciare segmenti, ogni punto grado 2
Sette punti Su una circonferenza sono marcati e nominati 7 punti distinti. In quanti modi diversi possono essere tracciati dei segmenti, ognuno dei quali abbia due di questi punti per estremi, in modo che ognuno dei 7 punti sia estremo di esattamente due segmenti?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Teoria dei grafi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0465 Fonte: apri PDF p.2
Mode of tracing segments, each grade point 2
Seven points on a circumference are marked and named seven distinct points. How many different ways can segments be plotted, each of which has two of these points for extremes, so that each of the seven points is an extreme of exactly two segments?
Answer: 0465 src_kangourou_2022_junior_squadre_f2__Q13
Lato quadrato con triangolo grigio area data
Il quadrato In figura vedete un quadrato ripartito in quattro triangoli. Quello grigio ha area 432√5 – 720 cm2 e i tre triangoli bianchi sono tra loro equivalenti. Quanti centimetri è lungo il lato del quadrato?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 0024 Fonte: apri PDF p.2
Square side with grey triangle area given
In the square in the figure you see a square divided into four triangles. The grey one has an area of 432√5 720 cm2 and the three white triangles are equivalent to each other. How many centimeters is the side of the square?
Answer: 0024 src_kangourou_2022_junior_squadre_f2__Q14
Quanti n<10000 con M||n divisibile per n
Scritto a destra Quanti sono i numeri interi positivi n minori di 10.000 che godono di questa proprietà: qualunque sia l’intero positivo M, se si scrivono le cifre di n alla destra di quelle di M, il numero ottenuto accostando i due numeri è divisibile per n. (Sia per M sia per n la notazione usata è quella decimale.)
87
6
5
4
3
2
1 a b c d e f g h
3
Quesiti e soluzioni
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0017 Fonte: apri PDF p.2
*N<10000 for N *
Written right How many positive integers n less than 10,000 have this property: whatever the positive integer M is, if you write the digits of n to the right of those of M, the number obtained by approaching the two numbers is divisible by n. (Both for M and for n the notation used is the decimal.) 8
7
6
5
4
3
2
1
a b c d e f g h
3
Questions and solutions
Answer: 0017 src_kangourou_2022_junior_squadre_f2__Q15