Numero fisso processo differenza max-min cifre
La differenza Scegliete quattro cifre non tutte uguali fra loro, formate con esse il numero più grande e il più piccolo (entrambi interi positivi) e calcolate la differenza fra i due (ad esempio, se sceglieste le cifre 0, 7, 2 e 1, dovreste calcolare 7.210 – 127 = 7.083). Ripetete l’operazione con le quattro cifre del numero che avete ottenuto (se fosse un numero con meno di quattro cifre, premettete gli zeri necessari) e proseguite in questo modo. Da un certo momento in poi otterrete sempre uno stesso numero. Quale?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6174 Fonte: apri PDF p.1
Fixed process number difference max-min digits
The difference Choose four non-equal digits, form the largest and smallest number (both positive integers) and calculate the difference between the two (for example, if you chose the digits 0, 7, 2 and 1, you should calculate 7.210 127 = 7.083). Repeat the operation with the four digits of the number you have obtained (if it is less than four digits, press the necessary zeros) and proceed as follows. From now on, you’ll always get the same number. What kind?
Answer: 6174 src_kangourou_2022_kangourou_squadre__Q01
Numero strisce quadrato dato perimetro nero
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\fill[gray!40] (0,0) rectangle (1,3);
\fill[black] (1,0) rectangle (2,3);
\fill[gray!40] (2,0) rectangle (3,3);
\draw[thick] (0,0) rectangle (3,3);
\draw[thick] (1,0) -- (1,3);
\draw[thick] (2,0) -- (2,3);
\end{tikzpicture}
\end{document}Il quadrato a strisce
Un quadrato è ripartito in un numero dispari di strisce verticali tutte della stessa larghezza e colorate, a strisce alterne, di grigio e nero. Il numero di strisce grigie è di uno maggiore di quello delle strisce nere (vedi esempio con 3 strisce in figura). Si sa che la frazione di perimetro del quadrato che delimita la totalità delle strisce nere è i dell’intero perimetro. In quante strisce è ripartito il quadrato?
Topic: Geometria piana, Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: 0025 Fonte: apri PDF p.1
Square strip number given black perimeter
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\fill[gray!40] (0,0) rectangle (1,3);
\fill[black] (1,0) rectangle (2,3);
\fill[gray!40] (2,0) rectangle (3,3);
\draw[thick] (0,0) rectangle (3,3);
\draw[thick] (1,0) -- (1,3);
\draw[thick] (2,0) -- (2,3);
\end{tikzpicture}
\end{document}A square is divided into an odd number of vertical stripes all of the same width and colour, alternating stripes of gray and black. The number of gray strips is one greater than that of black strips (see example with 3 strips in figure). It is known that the fraction of perimeter of the square that delimits the totality of the black stripes is the whole perimeter. How many strips is the square divided into?
Answer: 0025 src_kangourou_2022_kangourou_squadre__Q02
Numero 5 cifre con cifra 1 spostata, triplo
Il triplo C’è un solo numero intero positivo di cinque cifre che gode di questa proprietà: mettendo la cifra 1 dopo le sue cinque cifre, si ottiene un numero che è il triplo di quello che si ottiene mettendo la cifra 1 prima delle sue cinque cifre. Trovate questo numero di cinque cifre e togliete la cifra delle decine di migliaia. Che numero ottenete?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2857 Fonte: apri PDF p.1
Number 5 digits with digit 1 shifted, triple
The triple C is a single positive five-digit integer that enjoys this property: by placing the digit 1 after its five digits, you get a number that is triple what you get by placing the digit 1 before its five digits. Find this five-digit number and subtract the tens of thousands. What number do you get?
Answer: 2857 src_kangourou_2022_kangourou_squadre__Q03
Altezza scatola dato nastro regalo
Il regalo In figura vedete un pacco regalo legato con un nastro. La scatola ha la forma di un parallelepipedo rettangolo: lunghezza e larghezza della base differiscono di 5,5 cm, l’altezza è più corta di 5 cm rispetto alla minore delle due dimensioni della base. La parte di nastro usata per il nodo e il fiocco è lunga complessivamente 47 cm e la lunghezza totale del nastro è 162 cm. Qual è l’altezza della scatola in millimetri?
Topic: Algebra, Geometria solida Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: 0105 Fonte: apri PDF p.1
Height of box given gift tape
The gift in the picture shows a gift package tied with a ribbon. The box is in the shape of a rectangular parallel-piped: the length and width of the base differ by 5.5 cm, the height is shorter by 5 cm than the smaller of the two dimensions of the base. The part of the tape used for the knot and filament is a total length of 47 cm and the total length of the tape is 162 cm. What is the height of the box in millimetres?
Answer: 0105 src_kangourou_2022_kangourou_squadre__Q04
Massimo n con tre divisioni per 7 resto 1 poi 0
Diviso 7 Anna divide un numero intero positivo n di quattro cifre per 7 e ottiene resto 1. Divide allora il quoziente per 7 e ottiene ancora resto 1. Divide questo nuovo quoziente per 7 e ancora il resto è 1. Ora divide questo ultimo quoziente per 7 e ottiene resto 0. Qual è il più grande intero n dal quale Anna potrebbe essere partita?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9661 Fonte: apri PDF p.1
Maximum n with three divisions for 7 remaining 1 then 0
Divide 7 Anna divides a positive integer n by four digits by 7 and gets the remainder 1. Then divide the coefficient by 7 and you get the remainder of 1. Divide this new quotient by 7 and the rest is still 1. Now divide this last quotient by 7 and you get the remaining 0. What is the largest whole n that Anna could have started from?
Answer: 9661 src_kangourou_2022_kangourou_squadre__Q05
Valore n perché 1/n moltiplicata per 2022
Il denominatore Se al numeratore e al denominatore della frazione 1/3 aggiungiamo il denominatore, otteniamo
4/6 = 2/3 che è il doppio della frazione da cui eravamo partiti. Se vogliamo che, eseguendo un’operazione analoga, la frazione 1/n venga moltiplicata per 2022, quanto deve valere n? C V2
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 4043 Fonte: apri PDF p.1
Value n because 1/n multiplied by 2022
The denominator If we add the denominator to the numerator and the denominator of the 1/3 fraction, we get 4/6 = 2/3 which is twice the fraction from which we started. If we want the fraction 1/n to be multiplied by 2022, by performing a similar operation, how much should n be? C V
2
Answer: 4043 src_kangourou_2022_kangourou_squadre__Q06
Spigoli tronco piramide con 2022 facce
Gli spigoli In figura vedete un tronco di piramide che ha 6 facce e 12 spigoli. Immaginate un tronco di piramide con 2022 facce: quanti spigoli deve avere?
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 6060 Fonte: apri PDF p.2
Pyramidal trunk mirrors with 2022 faces
In the figure, you see a pyramidal trunk that has six faces and 12 spines. Imagine a pyramidal trunk with 2022 faces: how many beads does it have?
Answer: 6060 src_kangourou_2022_kangourou_squadre__Q07
Somma diametrale minima poligono 2022 lati
Numeri allineati In corrispondenza di ciascuno dei vertici e nel centro di un poligono regolare di 2022 lati è stato scritto un numero intero positivo. I 2023 numeri scritti sono tutti diversi tra loro e, al variare delle coppie di vertici opposti (cioè allineati con il centro), la somma dei tre numeri allineati (nei due vertici e nel centro) è sempre la stessa ed è la minore possibile con questi presupposti. Quanto vale questa somma?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2026 Fonte: apri PDF p.2
Minimum diameter sum of the 2022 sides of the polygon
A positive integer is written at each of the vertices and at the center of a regular polygon of 2022 sides. The 2023 numbers written are all different from each other and, when the pairs of opposite vertices (i.e. aligned with the center) vary, the sum of the three aligned numbers (in the two vertices and in the center) is always the same and is the least possible with these presuppositions. How much is this?
Answer: 2026 src_kangourou_2022_kangourou_squadre__Q08
Area rettangolo da piega con angolo 30°
L’area Come suggerito dalla figura, una striscia di carta rettangolare ABCD è piegata in modo che il punto A si sovrapponga al punto C. Chiamiamo E il punto del lato AB da cui parte la piega. Se l’angolo misura 30° e l’area del triangolo ECB è 15 cm2, quanti centimetri quadrati misura l’area del rettangolo ABCD?
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0090 Fonte: apri PDF p.2
Folding rectangle area with angle 30°
The area As suggested by the figure, a rectangular strip of paper ABCD is folded so that point A overlaps point C. We call E the point on the AB side from which the bend starts. If the angle is 30° and the area of the triangle ECB is 15 cm2, how many square centimetres is the area of the rectangle ABCD?
Answer: 0090 src_kangourou_2022_kangourou_squadre__Q09
Minuti di Bruno tra tre velocità
Tre amici Ada va in bicicletta, Bruno corre, Carla cammina. La velocità di Ada è il doppio di quella di Bruno che, a sua volta, è il doppio di quella di Carla. Se partono insieme per fare lo stesso percorso e Carla arriva un’ora dopo Ada, quanti minuti occorrono a Bruno per coprire l’intero percorso?
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 0040 Fonte: apri PDF p.2
Minutes of Bruno between three speeds
Three friends, Ada is riding her bike, Bruno is running, Carla is walking. Ada’s speed is twice that of Bruno who, in turn, is twice that of Carla. If they leave together to make the same journey and Carla arrives an hour after Ada, how many minutes does it take Bruno to cover the entire journey?
Answer: 0040 src_kangourou_2022_kangourou_squadre__Q10
Angolo ACB con punti M,N e angolo MCN 40°
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.4]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,0);
\coordinate (C) at (4,3);
\pgfmathsetmacro{\AC}{sqrt((4-0)^2+(3-0)^2)}
\pgfmathsetmacro{\BC}{sqrt((4-5)^2+(3-0)^2)}
\coordinate (N) at (\AC,0);
\pgfmathsetmacro{\Mx}{5-\BC}
\coordinate (M) at (\Mx,0);
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (C) -- (M);
\draw (C) -- (N);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[below] at (M) {$M$};
\node[below] at (N) {$N$};
\end{tikzpicture}
\end{document}L’angolo Nel triangolo ABC in figura il lato AB è più lungo di ciascuno degli altri due. M e N sono due punti sul lato AB tali che AN sia lungo quanto AC e BM sia lungo quanto BC. L’angolo misura 40 gradi. Quanti gradi misura l’angolo ?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0100 Fonte: apri PDF p.2
ACB angle with M,N points and MCN angle 40°
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.4]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,0);
\coordinate (C) at (4,3);
\pgfmathsetmacro{\AC}{sqrt((4-0)^2+(3-0)^2)}
\pgfmathsetmacro{\BC}{sqrt((4-5)^2+(3-0)^2)}
\coordinate (N) at (\AC,0);
\pgfmathsetmacro{\Mx}{5-\BC}
\coordinate (M) at (\Mx,0);
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (C) -- (M);
\draw (C) -- (N);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[below] at (M) {$M$};
\node[below] at (N) {$N$};
\end{tikzpicture}
\end{document}The angle In the ABC triangle in the figure the side AB is longer than either of the other two. M and N are two points on the AB side such that AN is as long as AC and BM is as long as BC. The angle is 40 degrees. How many degrees is the angle ?
Answer: 0100 src_kangourou_2022_kangourou_squadre__Q11
Numeri 10..9999 con cifre strettamente crescenti
Strettamente crescente Quanti sono i numeri interi compresi tra 10 e 9999 le cui cifre sono disposte in ordine strettamente crescente? (I numeri di 2 cifre NON devono essere pensati come numeri di 4 cifre di cui le prime due cifre siano 0; ad es. 23 è accettabile)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0246 Fonte: apri PDF p.2
Numbers 10..9999 with strictly increasing numbers
What are the integers between 10 and 9999 whose digits are arranged in a strictly increasing order? (Two-digit numbers are NOT to be thought of as 4-digit numbers whose first two digits are 0, e.g. 23 is acceptable)
Answer: 0246 src_kangourou_2022_kangourou_squadre__Q12
Lunghezza ED in triangolo rettangolo partizionato
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.045]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (75,0);
\coordinate (C) at (0,100);
\coordinate (D) at (48,36);
\coordinate (E) at (0,36);
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (E) -- (D);
\draw (A) -- (D);
\draw (0,4) -- (4,4) -- (4,0);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above left] at (C) {$C$};
\node[left] at (E) {$E$};
\node[right] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Triangoli
In figura vedete un triangolo rettangolo ABC ripartito in tre triangoli rettangoli EDC, EDA e ABD. Se AB misura 75 e AC misura 100, quanto misura ED?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0048 Fonte: apri PDF p.2
Ed length in triangle divided rectangle
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.045]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (75,0);
\coordinate (C) at (0,100);
\coordinate (D) at (48,36);
\coordinate (E) at (0,36);
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (E) -- (D);
\draw (A) -- (D);
\draw (0,4) -- (4,4) -- (4,0);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above left] at (C) {$C$};
\node[left] at (E) {$E$};
\node[right] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Triangles In the figure you see a right triangle ABC divided into three right triangles EDC, EDA and ABD. If AB measures 75 and AC measures 100, how much does ED measure?
Answer: 0048 src_kangourou_2022_kangourou_squadre__Q13
Modi di distribuire 16 gettoni in 6 sacchetti
Gettoni Marta deve distribuire 16 gettoni tutti uguali fra loro in 6 sacchetti tutti diversi fra loro in modo che in ogni sacchetto finiscano almeno due gettoni. In quanti modi diversi può farlo? (Due modi sono diversi se è diverso il contenuto di almeno uno stesso sacchetto.)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0126 Fonte: apri PDF p.2
How to distribute 16 tokens in 6 bags
Gettoni Marta must distribute 16 identical tokens to each other in 6 different bags so that at least two tokens end up in each bag. How many different ways can you do that? (Two ways are different if the contents of at least one bag are different.)
Answer: 0126 src_kangourou_2022_kangourou_squadre__Q14
Lato quadrati laterali in semicerchio
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\pgfmathsetmacro{\R}{sqrt(5)}
\draw[thick] (-\R,0) -- (\R,0);
\draw[thick] (\R,0) arc(0:180:\R);
\draw[thick] (-1,0) -- (1,0) -- (1,2) -- (-1,2) -- cycle;
\draw[thick] (-2,0) -- (-1,0) -- (-1,1) -- (-2,1) -- cycle;
\draw[thick] (1,0) -- (2,0) -- (2,1) -- (1,1) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{document}I quadrati laterali
La figura mostra un semicerchio che ospita tre quadrati, ognuno dei quali ha un lato sul diametro e almeno un vertice sulla semicirconferenza. Il punto medio del lato di base di quello centrale è il punto medio del diametro; gli altri due quadrati sono accostati in posizione simmetrica a quello centrale. Se il lato del quadrato centrale misura 2.100, quanto misura il lato dei quadrati laterali?A N M V V V A B C D E
3
Quesiti e soluzioni
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1050 Fonte: apri PDF p.2
Side side squares in semicircle
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\pgfmathsetmacro{\R}{sqrt(5)}
\draw[thick] (-\R,0) -- (\R,0);
\draw[thick] (\R,0) arc(0:180:\R);
\draw[thick] (-1,0) -- (1,0) -- (1,2) -- (-1,2) -- cycle;
\draw[thick] (-2,0) -- (-1,0) -- (-1,1) -- (-2,1) -- cycle;
\draw[thick] (1,0) -- (2,0) -- (2,1) -- (1,1) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{document}The side squares The figure shows a semicircle that houses three squares, each of which has one side on the diameter and at least one vertex on the semicircle. The middle point of the base side of the central side is the middle point of the diameter; the other two squares are adjacent in a symmetrical position to the central side. If the side of the center square is 2,100, how big is the side of the side squares?
A N M V V V A B C D E
3
Questions and solutions
Answer: 1050 src_kangourou_2022_kangourou_squadre__Q15