Raccolta Gare di Matematica

Kangourou 2022 Student — Semifinale individuale

Properties3
competitionKangourou 2022 Student — Semifinale individuale
year2022
levelkangourou

18 minuti

affermazioni vere

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) -- (2,0) -- (2,2) -- (0,2) -- cycle;
  \fill[red] (0,0) circle (3pt) node[below left] {A};
  \fill[red] (2,0) circle (3pt) node[below right] {B};
  \fill[red] (2,2) circle (3pt) node[above right] {C};
  \fill[red] (0,2) circle (3pt) node[above left] {D};
\end{tikzpicture}
\end{document}

(2 punti) In figura vedete un quadrato sul bordo del quale Ada e Bice si allenano a correre, ognuna senza mai cambiare verso, ma non sappiamo se nello stesso verso o in verso opposto. Corrono per molti giri ciascuna a velocità costante, ma quella di Ada è il triplo di quella di Bice. In questo momento Ada è sul vertice A mentre Bice è sul vertice B. Quante delle seguenti affermazioni sono corrette?

Ada e Bice non si troveranno mai insieme nel vertice B.

Ada e Bice non si troveranno mai insieme nel vertice C.

Ada e Bice non si troveranno mai insieme nel vertice D.

Qualche volta Ada e Bice si troveranno insieme nel vertice A.

Ada e Bice non potranno trovarsi insieme se non in uno dei vertici. A) 0 (nessuna)

B) 1

C) 3

D) 4

E) 5 (tutte)

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1

true statements

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) -- (2,0) -- (2,2) -- (0,2) -- cycle;
  \fill[red] (0,0) circle (3pt) node[below left] {A};
  \fill[red] (2,0) circle (3pt) node[below right] {B};
  \fill[red] (2,2) circle (3pt) node[above right] {C};
  \fill[red] (0,2) circle (3pt) node[above left] {D};
\end{tikzpicture}
\end{document}

(2 points) In the figure you see a square on the edge of which Ada and Bice train to run, each without ever moving in the same direction, but we don’t know if it’s in the same direction or in the opposite direction. They run for many laps each at a constant speed, but Ada’s is three times Bice’s. Right now Ada is on top A while Bice is on top B. How many of the following statements are correct? Ada and Bice will never be together at summit B. Ada and Bice will never be together at C Summit. Ada and Bice will never be together at summit D. - Sometimes Ada and Bice will be together at summit A. Ada and Bice can’t be together except at one of the summits. (A) 0 (none)

B) 1

C) 3

D) 4

E) 5 (all)

Answer: C src_kangourou_2022_student_semifinale__Q01

stima di chi conosceva la risposta corretta

(3 punti) Ad un quesito di Kangourou a risposta chiusa come questo, con 5 opzioni per la risposta, hanno risposto 10.000 studenti. Di questi, alcuni hanno saputo determinare la risposta corretta in base alle loro conoscenze, gli altri hanno tirato ad indovinare scegliendo in modo del tutto casuale tra le 5 proposte. Le risposte risultate corrette sono state 3.000. Tra i seguenti numeri, quale è più probabile che sia il numero di coloro che conoscevano la risposta corretta? A) 3.000
B) 2.500

C) 1.500

D) 1.250

E) 1.000

Topic: Probabilita e statistica Abilita: Stima e approssimazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1

estimation of who knew the correct answer

(3 points) To a closed answer question by Kangourou like this, with 5 options for the answer, 10,000 students answered. Of these, some have been able to determine the correct answer based on their knowledge, others have tried to guess by choosing quite randomly from the five proposals. The correct answers were 3,000. Which of the following is more likely to be the number of people who knew the correct answer? A) 3.000 B) 2.500

C) 1.500

D) 1.250

E) 1.000

Answer: D src_kangourou_2022_student_semifinale__Q02

Numero a 4 cifre con ultima cifra spostata in testa, somma

(3 punti) Simona scrive un numero intero di quattro cifre, poi leva la sua ultima cifra e la sposta in testa al numero (ad esempio, se il numero scritto fosse 1030 otterrebbe 0103). Ora Simona somma i due numeri così ottenuti: quanti dei seguenti numeri 1221, 8612, 4322, 13859 potrebbero essere il risultato? A) 0 (nessuno)

B) 1

C) 2
D) 3

E) 4 (tutti)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1

Four-digit number with the last digit shifted to the head, sum

(3 points) Simona writes an integer of four digits, then raises her last digit and moves it head to the number (for example, if the number written was 1030 it would get 0103). Now Simona sums up the two numbers thus obtained: how many of the following numbers 1221, 8612, 4322, 13859 could be the result? A) 0 (none)

B) 1

C) 2 D) 3

E) 4 (all)

Answer: B src_kangourou_2022_student_semifinale__Q03

max area rettangolo

(4 punti) Nella figura vedi un quadrato ripartito in due rettangoli grigi e due quadrati. I due rettangoli sono congruenti e all’interno di ciascuno dei due quadrati è inscritto un cerchio. In ciascuno dei quadrati, la parte esterna al cerchio è verniciata di nero. L’area della regione in nero è 20(4 – π). Con una configurazione come questa, quanto può valere al massimo l’area di ciascuno dei due rettangoli, al variare dei due raggi?
A) 40
B) 40√2

C) 20
D) 40 / π E) Nessuno dei numeri proposti.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2

max rectangular area

(4 points) In the figure you see a square divided into two gray rectangles and two squares. The two rectangles are congruent and inside each of the two squares is inscribed a circle. In each of the squares, the outside of the circle is painted black. The area of the region in black is 20 4 π). With a configuration like this, what is the maximum value of the area of each of the two rectangles when the two rays vary? A) 40 B) 40√2

C) 20 D) 40 / π E) None of the proposed numbers.

Answer: A src_kangourou_2022_student_semifinale__Q04

lunghezza bordo esterno

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line width=1pt]
  \draw (1,0) circle (1);
  \draw (-1,0) circle (1);
  \draw (0,1) circle (1);
  \draw (0,-1) circle (1);
  \node at (0.15,-0.2) {$K$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

(4 punti) La figura mostra quattro circonferenze di raggio 1 con esattamente un punto in comune a tutte. Quanto è lungo il bordo esterno della figura evidenziato dagli archi a tratto nero inspessito?
A) 3π

B) 3π/2 C) 8π/3

D) 4π
E) 11π/5

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.2

external edge length

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line width=1pt]
  \draw (1,0) circle (1);
  \draw (-1,0) circle (1);
  \draw (0,1) circle (1);
  \draw (0,-1) circle (1);
  \node at (0.15,-0.2) {$K$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

(4 points) The figure shows four radii 1 circumferences with exactly one point in common with all of them. How long is the outer edge of the figure highlighted by the black striped arches? A) 3π

B) 3π/2 C) 8π/3

D) 4π E) 11π/5

Answer: D src_kangourou_2022_student_semifinale__Q05

somma di a

(4 punti) Qual è la somma dei possibili valori del parametro a in corrispondenza dei quali le due equazioni x2 + ax + 2022 = 0 e x2 + 2022x + a = 0 hanno almeno una soluzione reale in comune?
A) – 4045 B) – 1
C) 0

D) 1
E) 5

Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.2

  • sum of a*

(4 points) What is the sum of the possible values of the parameter a corresponding to which the two equations x2 + ax + 2022 = 0 and x2 + 2022x + a = 0 have at least one real solution in common? A) – 4045 B) – 1 C) 0

D) 1 E) 5

Answer: B src_kangourou_2022_student_semifinale__Q06

trova n

(5 punti) Anna ed Ernesto giocano nel modo seguente. Sul tavolo ci sono n carte coperte numerate da 1 a n. Anna ne gira una e poi Ernesto ne gira un’altra. Si moltiplicano quindi i numeri ottenuti: se il prodotto è un numero pari vince Anna, se è un numero dispari vince Ernesto. Si sa che la probabilità che vinca Anna è del 74%. Quanto vale n?
A) 8

B) 12
C) 20
D) 25
E) Nessuno dei valori precedenti.

Topic: Probabilita e statistica Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2

Find n *

(5 points) Anna and Ernesto play as follows. On the table there are n cards numbered from 1 to n. Anna turns one and then Ernesto turns another. The resulting numbers are then multiplied: if the product is an even number Anna wins, if it is an odd number Ernesto wins. You know the odds of Anna winning are 74%. How much is n? A) 8

(B) 12 C) 20 D) 25 E) None of the above.

Answer: D src_kangourou_2022_student_semifinale__Q07

per quanti a1 è costante

(5 punti) Una successione {a1, a2, a3, …} di numeri reali è definita induttivamente nel modo seguente: 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛2 𝑎𝑛2−2022 𝑎𝑛+ 1 per n = 1, 2, … . Per quanti valori di a1 la successione è costante?

A) Infiniti

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

K

Topic: successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.2

  • for how many times a1 is constant*

(5 points) A sequence {a1, a2, a3, …} of real numbers is defined inductively as follows: an+1 = an2 an2−2022 an+1 for n = 1, 2, … . For how many values of a1 is succession constant?

(A) Infinite

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

K

Answer: C src_kangourou_2022_student_semifinale__Q08

affermazioni vere

(6 punti) Sei persone A, B, C, D, E, F sono in una stanza. Ognuna di esse ha a disposizione cinque cappelli e deve metterne uno sul capo di ogni altra persona della quale non è amica. Tenete presente che se X è amico di Y, vale anche il viceversa. A operazioni concluse, il numero di cappelli sulla testa delle diverse persone sono: 3 su A, 1 su B, 2 su C, 4 su D, 2 su E, 0 (nessuno) su F. Quante delle seguenti affermazioni sono vere?

  • C ed E sono amiche;
  • F è amica di tutte;
  • A è amica di B e di F;
  • D è amica di F;
  • B non è amica di A;
  • C è amica di B e di A. A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Quesiti a risposta aperta

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3

true statements

Six people A, B, C, D, E, F are in a room. Each of them has five hats at her disposal and must put one on the head of every other person she is not a friend of. Keep in mind that if X is Y’s friend, then vice versa is also true. At operations completed, the number of hats on the heads of different people is: 3 on A, 1 on B, 2 on C, 4 on D, 2 on E, 0 (none) on F. How many of the following statements are true? - C and E are friends; - F is friend of all; - A is friend of B and F; - D is friend of F; - B is not friend of A; - C is friend of B and A. A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Open-ended questions

Answer: C src_kangourou_2022_student_semifinale__Q09

Due esagoni regolari con lati perpendicolari, angolo ABC

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2, line width=0.8pt]
  \filldraw[fill=yellow!60, draw=black]
    (0,0) -- (0,-1) -- (-0.866,-1.5) -- (-1.732,-1) -- (-1.732,0) -- (-0.866,0.5) -- cycle;
  \filldraw[fill=yellow!60, draw=black]
    (0,0) -- (1,0) -- (1.5,0.866) -- (1,1.732) -- (0,1.732) -- (-0.5,0.866) -- cycle;
  \draw (0,-0.15) -- (0.15,-0.15) -- (0.15,0);
  \draw[thick] (0,-1) -- (1.5,0.866);
  \node[below] at (0,-1) {$A$};
  \node[right] at (1.5,0.866) {$B$};
  \node[below right] at (0.05,-0.05) {$C$};
  \draw (1.35,0.866) arc[start angle=180, end angle=218, radius=0.15];
\end{tikzpicture}
\end{document}

(4 punti) La figura mostra due esagoni regolari congruenti che hanno in comune solo un vertice. Due dei lati che confluiscono in quel vertice sono perpendicolari. Quanti gradi misura l’angolo 𝐴𝐵𝐶 ̂
indicato?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 15 Fonte: apri PDF p.3

Two regular hexagons with perpendicular sides, angle ABC

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2, line width=0.8pt]
  \filldraw[fill=yellow!60, draw=black]
    (0,0) -- (0,-1) -- (-0.866,-1.5) -- (-1.732,-1) -- (-1.732,0) -- (-0.866,0.5) -- cycle;
  \filldraw[fill=yellow!60, draw=black]
    (0,0) -- (1,0) -- (1.5,0.866) -- (1,1.732) -- (0,1.732) -- (-0.5,0.866) -- cycle;
  \draw (0,-0.15) -- (0.15,-0.15) -- (0.15,0);
  \draw[thick] (0,-1) -- (1.5,0.866);
  \node[below] at (0,-1) {$A$};
  \node[right] at (1.5,0.866) {$B$};
  \node[below right] at (0.05,-0.05) {$C$};
  \draw (1.35,0.866) arc[start angle=180, end angle=218, radius=0.15];
\end{tikzpicture}
\end{document}

(4 points) The figure shows two congruent regular hexagons that have only one vertex in common. Two of the sides that converge at that summit are perpendicular. How many degrees does the indicated angle ABC measure?

Answer: 15 src_kangourou_2022_student_semifinale__Q10

minimo passi da 1 a 2022

(5 punti) Una piccola macchina calcolatrice può eseguire solo quattro operazioni a scelta su un numero che venga assegnato: sottrarre 1, dividere per 2, moltiplicare per 3, sommare 4. Partendo dal numero 1 ed eseguendo in sequenza una alla volta operazioni come queste sui risultati via via ottenuti, qual è il minimo numero di operazioni che sono sufficienti per raggiungere 2022? (Ad esempio per raggiungere 6 ne occorrono e bastano 3: 1 × 3 + 4 − 1.)

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9 Fonte: apri PDF p.3

minimum steps from 1 to 2022

(5 points) A small calculator can only perform four optional operations on a number that is assigned: subtract 1, divide by 2, multiply by 3, add 4. Starting from number 1 and running in sequence one at a time operations like these on the road results obtained, what is the minimum number of operations that are sufficient to reach 2022? (For example, to reach 6 it takes and only 3: 1 × 3 + 4 − 1.)

Answer: 9 src_kangourou_2022_student_semifinale__Q11

bordo uguale all’interno

(5 punti) Chiamiamo equo un rettangolo di dimensioni intere m × n se accade quanto segue: quando viene ripartito in mn quadrati di lato unitario, i quadrati che stanno lungo il bordo sono tanti quanti i rimanenti (cioè quelli che stanno strettamente all’interno). Quanti sono, se ne esistono, i rettangoli equi? (Un rettangolo m × n va considerato identico al rettangolo n × m; se ritieni che vi siano infiniti rettangoli equi, rispondi 9999.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2 Fonte: apri PDF p.3

equal board within

(5 points) Let’s call a rectangle of full size m × n fair if the following happens: when it is divided into m squares on the unit side, the squares along the edge are as many as the remaining ones (i.e. those that are tightly inside). How many, if any, are equal rectangles? (A rectangle m × n shall be considered to be identical to the rectangle n × m; if you believe that there are infinitely many equal rectangles, answer 9999.)

Answer: 2 src_kangourou_2022_student_semifinale__Q12

Coppie (x,y) con x²+y e x+y² entrambi quadrati

(6 punti) Per quante coppie ordinate (x, y) di interi positivi accade che entrambi gli interi x2 + y e x + y2 siano quadrati perfetti? (Scrivete 9999 se ritenete che vi siano infinite coppie.)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0 Fonte: apri PDF p.3

Couples (x,y) with x2+y and x+y2 both squared

(6 points) For how many pairs (x, y) of positive integers does it happen that both integers x2 + y and x + y2 are perfect squares? (Write 9999 if you think there are infinite pairs.)

Answer: 0 src_kangourou_2022_student_semifinale__Q13

Ultima cifra decimale non nulla di 1/5^2022

(6 punti) Qual è l’ultima cifra decimale diversa da 0 del numero 1 52022 ?

A B C

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4 Fonte: apri PDF p.3

Last decimal point not less than 1/5^2022

(6 points) What is the last decimal digit other than 0 in number 1 52022 ?

A B C

Answer: 4 src_kangourou_2022_student_semifinale__Q14

somma S(T)

(6 punti) Per una terna ordinata di numeri interi T = {a, b, c} si ponga S(T) = a + b + c. Al variare di tutte le terne ordinate di numeri interi T = {a, b, c} tali che

a4 + b4 = 28 + 2bc e 2ab = 7 + c4,

quanto vale la somma di tutti i numeri S(T)?

Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica, Sfruttamento della simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0 Fonte: apri PDF p.4

The amount of the sum of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the sums of the

(6 points) For an ordered set of integers T = {a, b, c} put S(T) = a + b + c. By variation of all the ordered sets of integers T = {a, b, c} such that

a4 + b4 = 28 + 2bc e 2ab = 7 + c4,

What is the sum of all the numbers S(T?

Answer: 0 src_kangourou_2022_student_semifinale__Q15

Numeri ABCDABCDABCD divisibili per 2022

(7 punti) Ogni numero intero positivo di 4 cifre in notazione decimale ha la forma ABCD, ove le cifre indicate dalle lettere possono non essere distinte e la cifra A è diversa da 0. Quanti sono i numeri interi di 12 cifre della forma ABCDABCDABCD divisibili per 2022?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 13 Fonte: apri PDF p.4

This is the total number of subscribers to the programme.

(7 points) Any positive integer of 4 digits in decimal notation has the form ABCD, where the digits indicated by the letters may not be distinct and the digit A is different from 0. How many 12-digit integer numbers in the ABCDABCDABCD form are divisible by 2022?

Answer: 13 src_kangourou_2022_student_semifinale__Q16

min somma |coeff|

(7 punti) Denotate con P l’insieme dei polinomi a coefficienti interi che hanno tra le loro radici il numero 1 + √2 + √3 e tali che il loro grado sia il più basso possibile. Per un polinomio P, denotate con s(P) la somma dei valori assoluti dei coefficienti di P. Qual è il minimo valore possibile per s(P) al variare di P in P?

Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 33 Fonte: apri PDF p.4

I’m not going to say anything about it.

(7 points) Indicate with P the set of polynomials with integer coefficients whose roots are 1 + √2 + √3 and whose degree is as low as possible. For a polynomial P, denote with s(P) the sum of the absolute values of the coefficients of P. What is the minimum possible value for s(P) when P varies from P to P?

Answer: 33 src_kangourou_2022_student_semifinale__Q17

quanti

(8 punti) Diciamo che un numero intero positivo n è perfettone se coincide con il quadrato del numero dei suoi divisori (interi positivi, 1 e n compresi): ad esempio 4, che ha tre divisori, non è perfettone. Quanti sono i numeri perfettoni?

15 9 2 0 4 0 13 33 2

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2 Fonte: apri PDF p.4

*how many *

(8 points) Let’s say a positive integer n is perfect if it matches the square of the number of its divisors (positive integers, 1 and n included): for example, 4, which has three divisors, is not perfect. How many are perfect numbers?

15 9 2 0 4 0 13 33 2

Answer: 2 src_kangourou_2022_student_semifinale__Q18

Vista grafico