posizione ultimo ragazzo
Cinque ragazze e quattro ragazzi hanno partecipato ad una gara dove non erano previste posizioni di pari merito. Il primo posto in classifica è toccato ad una ragazza; sommando i numeri delle posizioni delle ragazze si ottiene il doppio della somma dei numeri delle posizioni dei ragazzi. In che posizione si è classificato l’ultimo dei ragazzi?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6 (sesta) Fonte: apri PDF p.1
last position boy
Five girls and four boys took part in a competition where there were no positions of equal merit. The first place in the ranking is taken by a girl; by adding the numbers of the girls’ positions you get twice the sum of the numbers of the boys’ positions. What position did the last of the boys rank in?
Answer: 6 (sesta) src_kangourou_2023_cadet_finale__QC1
minimo gettoni
Si vogliono collocare alcuni gettoni in altrettante celle quadrate di una griglia in modo che ogni cella o contenga un gettone o condivida un lato con qualche cella che contenga un gettone. Qual è il minimo numero di gettoni che consente di raggiungere lo scopo?
Topic: Combinatoria Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5 Fonte: apri PDF p.1
Minimum tokens **
You want to place some tokens in as many square cells as a grid so that each cell either contains a token or shares a side with some cell that contains a token. What’s the minimum number of tokens to achieve the goal?
Answer: 5 src_kangourou_2023_cadet_finale__QC2
media
Ho a disposizione una gran quantità di oggetti di ciascuno dei seguenti pesi: 1, 2, 3, 4 e 5 chili. Con questi ho composto un insieme contenente oggetti di almeno tre pesi diversi: il peso medio degli oggetti di è un numero intero di chili. Il peso medio degli oggetti di rimarrebbe comunque un numero intero di chili se sostituissi ogni oggetto di che pesi 2, 3 o 4 chili, rispettivamente con un oggetto che pesi 1, 2 o 3 chili, senza compiere ulteriori sostituzioni. Qual è il peso medio degli oggetti di ?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3 Fonte: apri PDF p.1
The following information shall be provided:
I have at my disposal a large number of items of each of the following weights: 1, 2, 3, 4 and 5 kilos. With these I have composed a set containing objects of at least three different weights: the average weight of objects of is an integer number of kilograms. However, the average weight of objects would remain an integer number of kilograms if you replaced each object weighing 2, 3 or 4 kilograms, respectively, with an object weighing 1, 2 or 3 kilograms, without making any further substitutions. What is the average weight of objects?
Answer: 3 src_kangourou_2023_cadet_finale__QC3
parola di senso compiuto
Per formare un codice segreto, le 21 lettere dell’alfabeto italiano (dunque senza le lettere K, J, X, Y, W), scritte nell’ordine dell’alfabeto, sono state numerate progressivamente partendo da una lettera che non è necessariamente la A e ricominciando con la A dopo la Z (ad esempio, se la lettera E fosse la numero 1, la F sarebbe la numero 2, la Z la numero 17 e la A la numero 18 fino ad arrivare alla D, la numero 21). La somma dei numeri assegnati alle lettere P, R, T è 24. Il codice corrisponde ad una parola di senso compiuto, cioè presente nel vocabolario italiano: quale?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: TRE Fonte: apri PDF p.1
word of the full meaning
To form a secret code, the 21 letters of the Italian alphabet (therefore without the letters K, J, X, Y, W), written in alphabetical order, were progressively numbered starting from a letter that is not necessarily the A and starting again with the A after the Z (for example, if the letter E was the number 1, the F would be the number 2, the Z the number 17 and the A the number 18 until reaching the D, the number 21). The sum of the numbers assigned to the letters P, R, T is 24. The code corresponds to a word of complete meaning, i.e. present in the Italian vocabulary: which?
Answer: TRE src_kangourou_2023_cadet_finale__QC4
max mentitori
Un’isola è ripartita in 15 regioni come indicato nella figura. In ogni regione vive uno e un solo abitante che o dice sempre la verità o mente sempre. Ogni abitante afferma: «Tra i miei vicini c’è almeno una persona che mente sempre». Quanti possono essere al massimo gli abitanti che mentono sempre? (Due abitanti si intendono vicini quando le loro regioni condividono un segmento del loro bordo, non necessariamente un intero lato di una delle due.) (vedi figura)
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 Fonte: apri PDF p.1
This is the maximum amount of lying.
One island is divided into 15 regions as shown in the figure. In every region there is one and only one inhabitant who either always tells the truth or always lies. Every inhabitant says, “There’s at least one person in my neighborhood who lies all the time”. How many people can be at most lying all the time? (Two inhabitants mean neighbours when their regions share a segment of their edge, not necessarily an entire side of either one.) (see figure)
Answer: 6 src_kangourou_2023_cadet_finale__QC5
lunghezza traiettoria di P
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,0);
\coordinate (C) at (3,3);
\coordinate (D) at (0,3);
\coordinate (P) at (1.5,0);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\filldraw (P) circle (2pt);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[below] at (P) {$P$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Osserva la figura. Il segmento è lungo 5, il lato del quadrato è lungo 1 e il punto è il punto medio del lato . Facciamo ruotare il quadrato con perno nel vertice fino a quando il vertice viene a cadere (per la prima volta) sul segmento ; a partire da questa posizione del quadrato, eseguiamo ora la stessa operazione con perno in e così via fino a che il lato torna ad essere contenuto (per la prima volta dopo la prima rotazione) nel segmento . Fornisci un disegno qualitativo della traiettoria del punto che possa chiarire come è stata determinata e calcolane la lunghezza. (vedi figura)
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: (π/2)(1+√5) Fonte: apri PDF p.1
trajectory length of P
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,0);
\coordinate (C) at (3,3);
\coordinate (D) at (0,3);
\coordinate (P) at (1.5,0);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\filldraw (P) circle (2pt);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[below] at (P) {$P$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Look at the figure. The segment is length 5, the side of the square is length 1 and the point is the middle point of the side . Let’s rotate the square with a spindle in the vertex until the vertex falls (for the first time) on the segment; starting from this position of the square, we now perform the same operation with a spindle in and so on until the side is contained again (for the first time after the first rotation) in the segment. Provide a qualitative drawing of the trajectory of the point that can clarify how it was determined and calculate the length. (see figure)
Answer: (π/2)(1+√5) src_kangourou_2023_cadet_finale__QC6