min carte da rovesciare
(Punti 2) Aldo possiede cinque carte: per ognuna di esse su una faccia c’è una lettera dell’alfabeto, sulla faccia opposta un numero intero. Le carte sono disposte sul tavolo e mostrano le seguenti facce: E, G, 4, 7, 8. Aldo dichiara che, per ogni carta, se su una delle facce c’è una vocale, su quella opposta c’è un numero pari. Marta vuole controllare se Aldo dice la verità, ma vuole rovesciare il minor numero possibile di carte. Quante carte dovrà rovesciare al massimo? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
min cards to be rolled over
Aldo has five cards: for each of them on one face there is a letter of the alphabet, on the opposite face an integer. The cards are placed on the table and show the following faces: E, G, 4, 7, 8. Aldo declares that, for each card, if on one face there is a vowel, on the opposite face there is an equal number. Marta wants to check if Aldo’s telling the truth, but she wants to roll as few cards as possible. How many cards will he have to roll at most? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q01
orario d’ingresso
(Punti 3) In una centrale vi sono due guardiani. Vi sono anche due segnalatori acustici di sicurezza: uno emette uno squillo ogni due minuti, l’altro lo emette ogni tre. Quando squillano contemporaneamente si sen te uno squillo solo. Alle 12:00 hanno squillato contemporaneamente e vi era un solo guardiano nella centrale; quando il secondo dei guardiani è entrato nella centrale, hanno squillato ancora contemporaneamente e, dal le 12:00 a quell’istante inclusi, il primo guardiano, sempre presente, ha udito 13 squilli. A che ora il secondo guardiano è entrato nella centrale? A) 12:12 B) 12:15 C) 12:18 D) 12:24 E) 12:30
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
*time of entry *
There are two guards in a power station. There are also two safety sound signals: one rings every two minutes, the other rings every three minutes. When they ring at the same time, you feel a single ring. At 12:00 they rang at the same time and there was only one guard in the station; when the second guard entered the station, they rang again at the same time and, from 12:00 noon onwards, the first guard, always present, heard 13 bells. What time did the second guard enter the station? A) 12:12 B) 12:15 C) 12:18 D) 12:24 E) 12:30
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q02
differenza possibile
(Punti 3) Clara ha scritto un numero intero di tre cifre, Dalia ha scritto il numero che ha le stesse cifre di quello di Clara, ma scritte in ordine opposto (cioè, nei due numeri, la cifra delle centinaia e quella delle unità sono scambiate fra loro, mentre quella delle decine è la stessa). Quale, fra quelli elencati nelle risposte, può essere la differenza fra il numero di Clara e quello di Dalia?
A) 378 B) 295 C) 196 D) 495 E) 504
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
possible difference
(Points 3) Clara wrote an integer number of three digits, Dalia wrote the number that has the same digits as Clara’s, but written in opposite order (i.e., in the two numbers, the number of hundreds and that of units are exchanged between them, while that of tens is the same). Which of the answers listed could be the difference between Clara’s number and Dalia’s? A) 378 B) 295 C) 196 D) 495 E) 504
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q03
quale ora dà l’angolo acuto minore
(Punti 4) In quale delle seguenti ore e minuti le due lancette di un orologio (con un quadrante di 12 ore) formano l’angolo acuto minore? A) 02:11 B) 04:22 C) 06:33 D) 08:44 E) 10:55
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
which now gives the minor acute angle
(Points 4) In which of the following hours and minutes do the two hands of a clock (with a 12-hour dial) form the minor acute angle? A) 02:11 B) 04:22 C) 06:33 D) 08:44 E) 10:55
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q04
frazione colorata
(Punti 4) In figura vedete una finestra decorata. Semicerchi e quarti di cerchio che vi compaiono non colorati hanno tutti lo stesso raggio. Della superficie dell’intera finestra, quale frazione è stata colorata? (Considerate di area nulla i tratti divisori e i bordi.) A) π/4 B) (π – 3)/4 C) 1 – π/4 D) (3π/4) – 1 E) (4 – π)/2
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
colored fraction
(Picture 4) In the figure you see a decorated window. Half-circles and quarter-circles that you see are all colorless and all have the same radius. From the surface of the entire window, what fraction has been coloured? (Consider the dividing lines and edges as having no area.) A) π/4 B) (π 3)/4 C) 1 π/4 D) (3π/4) 1 E) (4 π)/2
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q05
Numeri <40 con somma quadrati cifre quadrato perfetto
(Punti 4) Quanti numeri interi positivi minori di 40 hanno la proprietà che la somma dei quadrati delle loro due cifre è essa stessa un quadrato perfetto? (I numeri vanno pensati comunque di due cifre, ad esempio 4 va pensato scritto come 04.) A) 1 B) 9 C) 12 D) 13 E) 14
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
Numbers <40 with sum of squares perfect square digits
(Points 4) How many positive integers less than 40 have the property that the sum of the squares of their two digits is itself a perfect square? (Numbers must be thought of as two digits anyway, for example 4 must be thought of as 04.) A) 1 B) 9 C) 12 D) 13 E) 14
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q06
tentativi
(Punti 5) Il codice di una cassetta di sicurezza è un numero di quattro cifre. La somma delle ultime due è un numero primo di due cifre che, lette nell’ordine, sono le prime due cifre del codice. Disponendo soltanto di queste informazioni, quanti tentativi saranno necessari, al massimo, per aprire la cassetta? A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
This is the main reason why the Commission is not able to take any further action.
(Points 5) The code of a safe deposit box is a four digit number. The sum of the last two is a prime number of two digits which, read in the order, are the first two digits of the code. With only this information, how many attempts will it take, at most, to open the box? A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q07
somma minima
(Punti 5) Sono dati tre numeri interi ciascuno di tre cifre (cioè la prima cifra di ciascuno non può essere 0) che denotiamo con TAP, BAT e CAD dove ogni lettera rappresenta una cifra, lettere diverse cifre diverse. Qual è il più piccolo valore possibile per la somma di questi tre numeri? A) 600 B) 610 C) 615 D) 730 E) 732
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
minimum sum
(Points 5) Three whole numbers are given each of three digits (i.e. the first digit of each cannot be 0) which we denote with TAP, BAT and CAD where each letter represents a number, different letters of different digits. What’s the smallest possible value for the sum of these three numbers? A) 600 B) 610 C) 615 D) 730 E) 732
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q08
max parti con due piani
(Punti 6) Tre sfere di raggio 1 sono disposte nello spazio in modo che i loro centri formino un triangolo equilatero di lato 3. Qual è il maggior numero di parti nelle quali il complesso delle tre sfere può essere ripar tito tagliando le sfere con due piani? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 12) 12
Quesiti a risposta aperta
Topic: Geometria solida Metodo: Analisi per casi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
max parts with two planes
(Points 6) Three spheres of radius 1 are arranged in space so that their centers form an equilateral triangle on side 3. What is the largest number of parts in which the three spheres can be divided by cutting the spheres with two planes? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 12) 12
Open-ended questions
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q09
misura angolo ACB
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0, 2);
\coordinate (B) at (3, 0);
\coordinate (C) at (3, 2);
\coordinate (E) at (27/13, 8/13);
\coordinate (D) at (3, 1.092);
\coordinate (O) at (2.3, 1.46);
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw[dash dot] (C) -- (E);
\draw[dashed] (A) -- (D);
\node[above left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[below left] at (E) {$E$};
\node[right] at (D) {$D$};
\node[above right] at (O) {$O$};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 4) Nel triangolo ABC in figura, l’altezza EC condotta da C incontra la bisettrice AD dell’angolo BAC nel punto O. L’angolo ABC misura 60 gradi, l’angolo AOE ne misura 70. Quanti gradi misura l’angolo ACB?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
angle measurement ACB
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (A) at (0, 2);
\coordinate (B) at (3, 0);
\coordinate (C) at (3, 2);
\coordinate (E) at (27/13, 8/13);
\coordinate (D) at (3, 1.092);
\coordinate (O) at (2.3, 1.46);
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw[dash dot] (C) -- (E);
\draw[dashed] (A) -- (D);
\node[above left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[below left] at (E) {$E$};
\node[right] at (D) {$D$};
\node[above right] at (O) {$O$};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Points 4) In the triangle ABC shown in the figure, the EC height conducted by C meets the BAC angle’s AD beam at the point O. The ABC angle is 60 degrees, the AOE angle is 70. How many degrees does the ACB angle measure?
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q10
peso Maurizio
(Punti 5) Maurizio e Carlo hanno ciascuno una scatola di palline. Ogni pallina pesa un numero intero di grammi; in ognuna delle scatole, le palline hanno tutte lo stesso peso, ma quelle della scatola di Maurizio sono più leggere di quelle della scatola di Carlo. Moltiplicando il peso di una pallina di Maurizio per quello di una pallina di Carlo si ottiene 81; sommando i pesi di tutte le palline si ottiene 1001. Quanti grammi pesa ognuna delle palline di Maurizio?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
weight Mauritius
Maurizio and Carlo each have a box of balls. Each ball weighs a whole number of grams; in each of the boxes, the balls all have the same weight, but those in Maurizio’s box are lighter than those in Charles’ box. Multiplying the weight of a Maurizio’s ball by that of a Carlo’s ball gets 81; adding up the weights of all the balls gets 1001. How many grams each of Maurizio’s balls weighs?
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q11
n sia 23
(Punti 5) Quanti sono i numeri interi positivi n tali che il resto della divisione 2023 : n sia 23?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
n is 23
(Points 5) How many positive integers are n such that the rest of division 2023: n is 23?
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q12
quanti
(Punti 6) Alcuni numeri, tutti diversi fra loro, sono scritti in corrispondenza di punti distinti di una cir conferenza in modo che ognuno sia il prodotto dei due numeri scritti a esso adiacenti. Quanti sono i numeri scritti?
Topic: Algebra Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
*how many *
(Points 6) Some numbers, all different from each other, are written at different points in a conference so that each number is the product of the two numbers written next to it. How many numbers are written?
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q13
quanti modi
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[thick] (0,0) circle(1);
\foreach \a in {90, 18, -54, -126, -198} {
\draw (0,0) -- ({cos(\a)}, {sin(\a)});
}
\node at ({0.6*cos(54)}, {0.6*sin(54)}) {$1$};
\node at ({0.6*cos(-18)}, {0.6*sin(-18)}) {$2$};
\node at ({0.6*cos(-90)}, {0.6*sin(-90)}) {$3$};
\node at ({0.6*cos(-162)}, {0.6*sin(-162)}) {$4$};
\node at ({0.6*cos(126)}, {0.6*sin(126)}) {$5$};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 6) In ognuno dei cinque settori numerati nei quali è ripartito il cerchio in figura, va inserita una delle lettere A, B, C, D, E (lettere diverse per settori diversi), in modo che le lettere A e B non si trovino in settori adiacenti. In quanti diversi modi si può effettuare l’inserimento?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
how many ways
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[thick] (0,0) circle(1);
\foreach \a in {90, 18, -54, -126, -198} {
\draw (0,0) -- ({cos(\a)}, {sin(\a)});
}
\node at ({0.6*cos(54)}, {0.6*sin(54)}) {$1$};
\node at ({0.6*cos(-18)}, {0.6*sin(-18)}) {$2$};
\node at ({0.6*cos(-90)}, {0.6*sin(-90)}) {$3$};
\node at ({0.6*cos(-162)}, {0.6*sin(-162)}) {$4$};
\node at ({0.6*cos(126)}, {0.6*sin(126)}) {$5$};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Points 6) In each of the five numbered sectors into which the circle is divided, one of the letters A, B, C, D, E (different letters for different sectors) should be inserted so that the letters A and B are not in adjacent sectors. How many different ways can inclusion be made?
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q14
trova n
(Punti 6) Gaia gioca così. Scrive un numero intero n, poi lo moltiplica a caso o per 5 o per 6. Al prodotto somma a caso o 5 o 6. Alla somma sottrae a caso o 5 o 6. Se il risultato finale è 78, che numero è n?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Find n *
Gaia plays like that. He writes an integer n, then he multiplies it randomly or by 5 or by 6. To the product, the random sum is either 5 or 6. At the sum, he randomly subtracts five or six. If the end result is 78, what number is n?
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q15
somma cifre eliminabili
(Punti 7) È dato il numero 7 2 3 1 1 2 3 7 7 2 1 3 7 3 2 1: da esso si vuole eliminare esattamente una cifra e ottenere dall’allineamento di cifre rimanenti (una in meno di prima) un nuovo numero che risulti divisibile per 9. Vi sono diversi modi di farlo. Qual è la somma delle cifre che possono essere eliminate al variare dei modi possibili?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
sum of removable figures
(Points 7) The number 7 2 3 1 1 2 3 7 7 2 1 3 7 3 2 1 is given: from it you want to eliminate exactly one digit and get from the alignment of the remaining digits (one less than the previous one) a new number that is divisible by 9. There’s a lot of different ways to do that. What is the sum of the numbers that can be eliminated in varying ways?
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q16
Min primo p>2 tale che p³+7p² sia quadrato perfetto
(Punti 7) Qual è il più piccolo intero primo p > 2 tale che il numero p3 + 7p2 sia un quadrato perfetto?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Min first p>2 so that p3+7p2 is perfectly squared
(Points 7) What is the smallest prime integer p > 2 such that the number p3 + 7p2 is a perfect square?
src_kangourou_2023_cadet_semifinale__Q17
valore di A-B
(Punti 8) Sia A la somma dei quadrati di tutti i numeri interi positivi da 1 a 2.023 inclusi e sia B = (1 × 3) + (2 × 4) + (3 × 5) + … + (2.022 × 2.024). Quanto vale A – B? 1 5 2 3 4
Topic: Algebra Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
value of A-B
(Points 8) Whether A is the sum of the squares of all positive integers from 1 to 2,023 included and whether B = (1 × 3) + (2 × 4) + (3 × 5) + … + (2.022 × 2.024). How much is A B? 1 5 2 3 4