Quanti n in -2023..2023 con 1+4n multiplo di 5
Multiplo di 5 Per quanti numeri interi n compresi fra – 2023 e 2023 è vero che 1 + 4 × n è un multiplo di 5?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0809 Fonte: apri PDF p.1
Quantities of n in -2023..2023 with 1+4n multiple of 5
Multiple of 5 For how many integers n between 2023 and 2023 is it true that 1 + 4 × n is a multiple of 5?
Answer: 0809 src_kangourou_2023_junior_squadre__Q01
Somma perimetri due triangoli simili
I perimetri Due triangoli sono simili, ma non congruenti. Per ciascuno dei due, due dei lati hanno lunghezze 12 e 18. Quanto vale la somma dei loro perimetri?
Topic: Geometria piana Metodo: Analisi per casi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0095 Fonte: apri PDF p.1
sum of perimeter of two similar triangles
Perimeter Two triangles are similar but not congruent. For each of the two sides, two sides have lengths of 12 and 18. How much is the sum of their perimeter?
Answer: 0095 src_kangourou_2023_junior_squadre__Q02
Somma numeri MEDI di tre cifre
Numero medio Per ogni numero intero di 3 cifre (quindi con la cifra delle centinaia diversa da 0), considerate i cinque numeri che si ottengono permutando le sue cifre (ad esempio, per il numero 120, i cinque numeri da considerare sono: 102, 210, 201, 012 e 021; invece per il numero 121 sono: 211, 211, 121, 112 e 112, in questo caso non tutti distinti e uno uguale al numero considerato). Il numero considerato sarà detto MEDIO se è la media degli altri cinque. Quanto vale la somma di tutti i numeri MEDI?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7992 Fonte: apri PDF p.1
sum of three-digit MEDI numbers
Average Number For each 3-digit integer (therefore with the number of hundreds other than 0), consider the five numbers that are obtained by exchanging its digits (for example, for the number 120, the five numbers to be considered are: 102, 210, 201, 012 and 021; instead for the number 121 are: 211, 211, 121, 112 and 112, in this case not all distinct and one equal to the number considered). The number in question shall be said to be half if it is the average of the other five. How much is the sum of all the MID numbers?
Answer: 7992 src_kangourou_2023_junior_squadre__Q03
Carte levate dato probabilità quattro assi
Quattro assi Da un mazzo di 52 carte da gioco ne vengono levate alcune, ma nessuno dei quattro assi che quindi rimangono nel mazzo. A questo punto la probabilità che, estraendo 4 carte da quelle rimaste, vengano estratti proprio i quattro assi è 1/1.001. Quante carte sono state levate dal mazzo?
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0038 Fonte: apri PDF p.2
*Cards with four axes given probability *
Four axes From a deck of 52 playing cards, some are removed, but none of the four axes are then left in the deck. At this point, the probability that, by extracting 4 cards from the remaining ones, the exact four axes will be extracted is 1/1.001. How many cards have been removed from the deck?
Answer: 0038 src_kangourou_2023_junior_squadre__Q04
Massimo n/10 con 2023 cubi terminanti in 1
Il cubo Di un numero intero positivo n, si sa che vi sono esattamente 2.023 numeri naturali minori o uguali a n il cui cubo termina con la cifra 1. Qual è il massimo valore possibile per n/10?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2023 Fonte: apri PDF p.2
Maximum n/10 with 2023 cubes ending in 1
The cube of a positive integer n, we know that there are exactly 2,023 natural numbers less than or equal to n whose cube ends with the number 1. What’s the maximum possible value for n/10?
Answer: 2023 src_kangourou_2023_junior_squadre__Q05
Ora dato moto del ragno sull’orologio
Il ragno Su un campanile c’è un grande orologio circolare tradizionale. Muovendosi a velocità costante sul suo bordo, alle 06:00 un ragno parte in verso anti-orario in corrispondenza della punta della lancetta delle ore, raggiunge la punta della lancetta dei minuti, inverte il verso di marcia e raggiunge, muovendosi ora in verso orario, per la seconda volta la punta della lancetta dei minuti dopo 20 minuti dalla prima volta. A che ora? (Scrivete la risposta usando solo 4 cifre, senza i due punti: ad esempio per le 07:56 scrivete 0756.)
Topic: Geometria piana, Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: 0626 Fonte: apri PDF p.2
Now given the motion of the spider on the watch
The spider On a bell tower there is a large traditional circular clock. Moving at a constant speed on its edge, at 06:00 a spider sets out in an anti-clockwise direction corresponding to the tip of the hour’s clock, reaches the tip of the minute’s clock, reverses the direction of travel and reaches, moving now clockwise, for the second time the tip of the minute’s clock after 20 minutes from the first time. What time is it? (Write the answer using only 4 digits, without the two dots: for example at 07:56 write 0756.)
Answer: 0626 src_kangourou_2023_junior_squadre__Q06
Lunghezza FE in quadrato con AG, GF
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\coordinate (A) at (0,3);
\coordinate (B) at (0,0);
\coordinate (C) at (3,0);
\coordinate (D) at (3,3);
\coordinate (E) at (9,0);
\coordinate (F) at (3,2);
\coordinate (G) at (2.25,2.25);
\draw (A) -- (B) -- (E) -- cycle;
\draw (B) -- (C) -- (D) -- (A);
\draw (B) -- (D);
\node[above left] at (A) {$A$};
\node[below left] at (B) {$B$};
\node[below] at (C) {$C$};
\node[above right] at (D) {$D$};
\node[below right] at (E) {$E$};
\node[right] at (F) {$F$};
\node[below right] at (G) {$G$};
\fill (G) circle (1.5pt);
\fill (F) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}Il segmento FE Osservate la figura. ABCD è un quadrato, il segmento AG è lungo 81 e il segmento GF è lungo 27. Quanto è lungo il segmento FE?
F G D B A C E
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0216 Fonte: apri PDF p.2
Length FE squared with AG, GF
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\coordinate (A) at (0,3);
\coordinate (B) at (0,0);
\coordinate (C) at (3,0);
\coordinate (D) at (3,3);
\coordinate (E) at (9,0);
\coordinate (F) at (3,2);
\coordinate (G) at (2.25,2.25);
\draw (A) -- (B) -- (E) -- cycle;
\draw (B) -- (C) -- (D) -- (A);
\draw (B) -- (D);
\node[above left] at (A) {$A$};
\node[below left] at (B) {$B$};
\node[below] at (C) {$C$};
\node[above right] at (D) {$D$};
\node[below right] at (E) {$E$};
\node[right] at (F) {$F$};
\node[below right] at (G) {$G$};
\fill (G) circle (1.5pt);
\fill (F) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}The FE segment Observe the figure. ABCD is a square, segment AG is 81 and segment GF is 27. How long is the FE segment?
F G D B A C E
Answer: 0216 src_kangourou_2023_junior_squadre__Q07
Numero 3 cifre con più divisori distinti
Divisori diversi Fra i numeri interi (positivi) di tre cifre, uno solo, chiamiamolo n, ha il maggior numero di divisori tutti diversi fra loro. Quanto vale n?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0840 Fonte: apri PDF p.2
Number 3 with several distinct divisors
Different divisors Among the three-digit positive integers, one, let’s call it n, has the most divisors all different from each other. How much is n?
Answer: 0840 src_kangourou_2023_junior_squadre__Q08
Allineamenti diversi sopprimendo lettere ANCONA
ANCONA Sopprimendo almeno una lettera, ma non tutte, dalla parola ANCONA, e lasciando inalterato l’ordine delle lettere rimanenti, quanti diversi allineamenti di lettere si possono ottenere? (Ad esempio, A, NCO, ACOA sono tre di questi allineamenti.)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0057 Fonte: apri PDF p.2
Different alignments by deleting the letters ANCONA
WHEREAS, by removing at least one letter, but not all, from the word WHEREAS, and leaving the order of the remaining letters unchanged, how many different letter alignments can be obtained? (For example, A, NCO, ACOA are three of these alignments.)
Answer: 0057 src_kangourou_2023_junior_squadre__Q09
Minore di 6 consecutivi, prodotto max 10 cifre
Sei interi consecutivi
Un numero intero di 10 cifre è il prodotto di sei interi positivi consecutivi ed è il più grande intero di 10 cifre che gode di questa proprietà. Qual è il più piccolo dei sei interi consecutivi?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Stima e approssimazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0043 Fonte: apri PDF p.2
Less than 6 consecutive, maximum product of 10 digits
Six consecutive integers A 10-digit integer is the product of six consecutive positive integers and is the largest 10-digit integer that enjoys this property. Which is the smallest of the six consecutive integers?
Answer: 0043 src_kangourou_2023_junior_squadre__Q10
Coppie intere 10xy-x^2-9y^2=2023
Un’uguaglianza Per quante coppie (ordinate) (x, y) di numeri interi relativi è soddisfatta l’uguaglianza
10xy – x2 – 9y2 = 2023?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0012 Fonte: apri PDF p.2
*Full pairs of 10xy-x^2-9y^2=2023 *
An equality How many pairs (ordered) (x, y) of relative integers is the equality 10xy x2 9y2 = 2023 satisfied?
Answer: 0012 src_kangourou_2023_junior_squadre__Q11
Minimo n/100 divisibile per 75 con 75 divisori
Divisibile per 75 Esistono numeri interi positivi divisibili per 75 che hanno esattamente 75 divisori (positivi). Sia n il più piccolo di essi. Quanto vale n / 100?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0324 Fonte: apri PDF p.2
Minimum n/100 divisible by 75 with 75 dividers
Divisable by 75 There are positive integers divisible by 75 that have exactly 75 divisors (positive). Be the smallest of them. How much is 100?
Answer: 0324 src_kangourou_2023_junior_squadre__Q12
Tasselli comprati oggi date condizioni sconto
I tasselli Sul prezzo base di 50 centesimi per un tassello, un negozio di ferramenta pratica uno sconto del 5% a chi ne compra meno di 36, uno sconto del 12% a chi ne compra un numero compreso tra 36 e 55 (inclusi), uno sconto del 20% a chi ne compra almeno 56. Ieri ho comprato alcuni di questi tasselli e ho ottenuto uno sconto del 5%; oggi ne ho comprati altri e ho ottenuto uno sconto del 12%. Se avessi comprato quelli di oggi insieme a quelli di ieri, avrei ottenuto uno sconto del 20% risparmiando 3 euro e 90 centesimi. Quanti tasselli ho comprato oggi?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0045 Fonte: apri PDF p.2
Tables purchased today at discounted prices
On a base price of 50 cents for a box, a hardware store offers a discount of 5% for those who buy less than 36, a discount of 12% for those who buy between 36 and 55 (included), a discount of 20% for those who buy at least 56. Yesterday I bought some of these bags and got a 5% discount; today I bought others and got a 12% discount. If I had bought today’s with yesterday’s, I would have gotten a 20% discount on 3 euros and 90 cents. How many baskets did I buy today?
Answer: 0045 src_kangourou_2023_junior_squadre__Q13
Massimo euro ottenibili dal conto
Il prelievo Sul conto in banca di Cesare ci sono 250 euro. Su quel conto Cesare può operare quante volte vuole, ma senza andare in rosso e solo in due modi: prelevare 150 euro o depositarne 99. In questo momento Cesare non ha altro denaro disponibile. Quanti euro può arrivare ad ottenere al massimo dal conto?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0249 Fonte: apri PDF p.2
Most of the euro available from the account
The withdrawal on Caesar’s bank account is 250 euros. On that account Caesar can operate as many times as he wants, but without going red and only in two ways: withdraw 150 euros or deposit 99. Caesar has no other money at his disposal right now. How many euros can you get the most out of your account?
Answer: 0249 src_kangourou_2023_junior_squadre__Q14
Area triangolo T intera, dati AB,AC,ADC
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.35]
\coordinate (A) at (9,12);
\coordinate (B) at (0,0);
\coordinate (C) at (14,0);
\coordinate (D) at (9,0);
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw[dashed] (A) -- (D);
\node[above] at (A) {$A$};
\node[below left] at (B) {$B$};
\node[below right] at (C) {$C$};
\node[below] at (D) {$D$};
\fill (D) circle (3pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}L’area di T I lati AB e AC di un triangolo acutangolo T misurano rispettivamente 15 e 13 cm. Detto D il piede dell’altezza condotta dal vertice A al lato BC, l’area del triangolo ADC vale 30 cm2. Sapendo che l’area di T è espressa da un numero intero di centimetri quadrati, quanto vale?
Quesiti e soluzioni
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0084 Fonte: apri PDF p.2
T whole triangle area, data AB,AC,ADC
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.35]
\coordinate (A) at (9,12);
\coordinate (B) at (0,0);
\coordinate (C) at (14,0);
\coordinate (D) at (9,0);
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw[dashed] (A) -- (D);
\node[above] at (A) {$A$};
\node[below left] at (B) {$B$};
\node[below right] at (C) {$C$};
\node[below] at (D) {$D$};
\fill (D) circle (3pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}The area of T I sides AB and AC of an acutangol T triangle are 15 and 13 cm respectively. Given that D is the foot of the height leading from the vertex A to the side BC, the area of the ADC triangle is 30 cm2. Knowing that the area of T is expressed by an integer number of square centimeters, how much is it worth?
Questions and solutions
Answer: 0084 src_kangourou_2023_junior_squadre__Q15