Area trapezio date aree triangoli diagonali
Un trapezio Un trapezio è ripartito dalle sue due diagonali in quattro triangoli. Se 5 e 125 sono le aree dei due di questi triangoli che condividono uno dei loro lati con uno dei lati paralleli del trapezio, quanto vale l’area del trapezio?
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0180 Fonte: apri PDF p.1
Trapezoidal area given diagonal triangular areas
A trapezoid A trapezoid is divided from its two diagonal sides into four triangles. If 5 and 125 are the areas of the two of these triangles that share one of their sides with one of the parallel sides of the trapezium, how much is the trapezium area?
Answer: 0180 src_kangourou_2023_junior_squadre_f2__Q01
Intero il cui quadrato è palindromo 6 cifre
Palindromo Un numero intero di almeno due cifre si dice palindromo se coincide con il numero ottenuto leggendo le sue cifre da destra verso sinistra: ad esempio 313 è palindromo, ma 133 non lo è. C’è un solo intero (positivo) il cui quadrato è un numero di sei cifre palindromo: qual è?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0836 Fonte: apri PDF p.1
Inter whose square is a 6-digit palindrome
Palindrome An integer of at least two digits is called a palindrome if it coincides with the number obtained by reading its digits from right to left: for example 313 is palindrome, but 133 is not. There is only one integer (positive) whose square is a six-digit palindrome number: what is it?
Answer: 0836 src_kangourou_2023_junior_squadre_f2__Q02
Quanti triangoli nella figura
I triangoli Quanti triangoli è possibile visualizzare nella figura a destra?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0125 Fonte: apri PDF p.1
*How many triangles in Figure *
The triangles How many triangles can you see in the figure to the right?
Answer: 0125 src_kangourou_2023_junior_squadre_f2__Q03
Differenza max-min allineamenti 4 cifre
Sommando le cifre L’allineamento 22222222221111111111 è costituito da dieci cifre 2 seguite da altrettante cifre 1. Scegliamo una coppia di cifre adiacenti e sostituiamo ad essa la loro somma: otteniamo un allineamento di 19 cifre, ad esempio 2222222223111111111 oppure 2422222221111111111. Eseguiamo questa operazione di volta in volta su ogni allineamento che otteniamo, con il vincolo che la coppia di cifre su cui operiamo fornisca una somma di una sola cifra, riducendo così di 1 per volta il numero di cifre dell’allineamento. Qual è la differenza fra il maggiore e il minore dei numeri rappresentati dagli allineamenti di 4 cifre che possiamo ottenere?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita, monovarianti Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3996 Fonte: apri PDF p.1
Max-min difference alignments of 4 digits
By adding up the figures, the alignment 222222222211111111 is composed of ten digits 2 followed by as many digits 1. We pick a pair of adjacent numbers and we replace their sum with it. We get a 19-digit alignment, like 222222231111111 or 24222222211111111. We perform this operation from time to time on every alignment we get, with the restriction that the pair of digits we operate on provides a single digit sum, thus reducing the number of digits of the alignment by 1 at a time. What’s the difference between the largest and the smallest of the numbers represented by the four-digit alignments that we can get?
Answer: 3996 src_kangourou_2023_junior_squadre_f2__Q04
Massimo numero 4 cifre con condizioni cifre
Un numero di 4 cifre Qual è il più grande numero intero di quattro cifre tale che la somma delle sue cifre coincida sia con il numero di due cifre formato dalle sue due prime cifre sia con il prodotto delle altre due?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1863 Fonte: apri PDF p.1
Maximum number of 4 digits with numerical conditions
What is the largest integer of four digits so that the sum of its digits is equal to both the two-digit number of its first two digits and the product of the other two?
Answer: 1863 src_kangourou_2023_junior_squadre_f2__Q05
Lato più lungo DC o ED nel pentagono retto
Il pentagono Il perimetro di un pentagono ABCDE misura 4.172 e tutti i lati hanno lunghezze intere. I lati AE e BC sono lunghi 2.023 e gli angoli in A, B e D sono retti. Qual è la lunghezza del più lungo fra i due lati DC e ED?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0045 Fonte: apri PDF p.1
Longest side DC or ED in the rectangle
The perimeter of an ABCDE pentagon measures 4,172 and all sides have full lengths. The sides AE and BC are 2,023 long and the angles in A, B and D are straight. What is the length of the longest between the two sides DC and ED?
Answer: 0045 src_kangourou_2023_junior_squadre_f2__Q06
Somma algebrica numeri con cifre 0,1,2
Cifre 0, 1, 2 Giorgio ha scritto, allineandoli in ordine crescente, tutti i numeri interi positivi fino a 2021 incluso nei quali non compaiono cifre diverse da 0, 1, 2. Ha poi alternato i segni “+” e “–”, partendo dal segno “+”, davanti ai numeri scritti: il suo allineamento inizia dunque con
1 – 2 + 10 – 11 + 12 – …. Infine ha eseguito (correttamente) la somma algebrica indicata dall’allineamento. Quale risultato ha ottenuto?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1011 Fonte: apri PDF p.1
Algebraic sum of numbers with digits 0,1,2
Figures 0, 1, 2 Giorgio wrote, aligning them in increasing order, all positive integers up to 2021 including those in which no digits other than 0, 1, 2 appear. He then alternated the signs + and , starting from the sign +, in front of the written numbers: his alignment thus begins with 1 2 + 10 11 + 12 … Finally, he executed (correctly) the algebraic sum indicated by the alignment. What result did he get?
Answer: 1011 src_kangourou_2023_junior_squadre_f2__Q07
Minimo partite vinte per il 99% arrotondato
Partite vinte Hai giocato alcune partite: non le hai vinte tutte, ma puoi dire di averne vinte il 99% se ti viene chiesto di arrotondare (nel modo usuale) la percentuale di quelle che hai vinto al numero intero più vicino. Qual è il più piccolo numero di partite che devi avere vinto perché la tua affermazione sia corretta?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Stima e approssimazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0066 Fonte: apri PDF p.2
Minimum winnings by 99% rounded
You’ve played some games: you haven’t won all of them, but you can say you’ve won 99% of them if you’re asked to round (as usual) the percentage of those you’ve won to the nearest integer. What’s the smallest number of games you have to win to make your claim correct?
Answer: 0066 src_kangourou_2023_junior_squadre_f2__Q08
Gruppi di 5 coppie senza fratelli insieme
Il torneo Per partecipare ad un torneo, dieci ragazzi vanno ripartiti in 5 coppie. Tra di essi tuttavia vi sono due coppie di fratelli e non si vuole che due fratelli stiano in coppia insieme. Quanti diversi gruppi di cinque coppie si possono formare con questo vincolo? (Due gruppi di coppie vanno ritenuti diversi se differiscono per almeno una coppia.)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0750 Fonte: apri PDF p.2
- Groups of 5 couples without siblings together*
To compete in a tournament, ten boys must be divided into five pairs. Among them, however, there are two pairs of brothers, and it is not desirable for two brothers to be in pairs together. How many different groups of five couples can be formed under this constraint? (Two groups of pairs shall be considered different if they differ by at least one pair.)
Answer: 0750 src_kangourou_2023_junior_squadre_f2__Q09
Minore di 6 consecutivi, prodotto forma data
Sei interi consecutivi Il prodotto di sei interi positivi consecutivi è un numero di 12 cifre della forma 𝑎𝑏𝑏 𝑐𝑑𝑑 𝑐𝑑𝑑 𝑎𝑏𝑏, dove le cifre 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 sono a loro volta, in ordine opportuno, cifre consecutive. Qual è il più piccolo dei sei interi consecutivi?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0074 Fonte: apri PDF p.2
Fewer than 6 consecutive products in the given form
Six consecutive integers The product of six consecutive positive integers is a 12-digit number of the form abb cdd cdd abb, where the digits a, b, c and d are, in appropriate order, consecutive digits. Which is the smallest of the six consecutive integers?
Answer: 0074 src_kangourou_2023_junior_squadre_f2__Q10
Minimo n con lato Qn maggiore di 2022
I quadrati Un quadrato Q0 di lato 3 viene coperto da un quadrato Q1 (diverso da Q0) i cui lati contengano ciascuno un vertice di Q0. La stessa cosa viene fatta coprendo Q1 con un quadrato Q2 (diverso da Q1) i cui lati contengano ciascuno un vertice di Q1. Si procede così alcune volte rispettando questa regola fino ad ottenere un quadrato Qn. Se si scelgono in modo opportuno i quadrati successivi a Q0, qual è il più piccolo valore di n tale che la lunghezza del lato di Qn superi 2022?
Topic: Geometria piana, successioni Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: 0019 Fonte: apri PDF p.2
Minimum n with side Qn greater than 2022
The squares A Q0 square on side 3 is covered by a Q1 square (different from Q0) whose sides each contain a Q0 vertex. The same is done by covering Q1 with a Q2 square (different from Q1) whose sides each contain a Q1 vertex. This is sometimes done by following this rule until you get a Qn square. If the squares after Q0 are chosen appropriately, what is the smallest value of n such that the length of the Qn side exceeds 2022?
Answer: 0019 src_kangourou_2023_junior_squadre_f2__Q11
Quanti primi 2023 Fibonacci danno resto 2 mod 3
Fibonacci La successione di numeri interi detta “di Fibonacci” è definita nel modo seguente: i primi due termini sono entrambi 1, dal terzo in poi ogni termine è la somma dei due che lo precedono. Quanti dei primi 2023 termini della successione di Fibonacci danno resto 2 quando vengono divisi per 3?
Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0759 Fonte: apri PDF p.2
How many first 2023 Fibonacci numbers are left 2 mod 3
Fibonacci The sequence of integers called di Fibonacci is defined as follows: the first two terms are both 1, from the third to the next each term is the sum of the two preceding it. How many of the first 2023 terms in the Fibonacci sequence give 2 remaining when they’re divided by 3?
Answer: 0759 src_kangourou_2023_junior_squadre_f2__Q12
Percorsi minimi pedina su scacchiera 8x8
La pedina Una pedina è posta nella prima casella in alto a sinistra di una scacchiera 8 × 8 (casella (1, 1)) e deve raggiungere l’ultima casella in basso a destra della scacchiera (casella (8, 8)). Ogni mossa consiste nello spostare la pedina da ogni casella in cui si trovi in una casella adiacente, cioè che condivida con essa un lato. Quanti sono i diversi percorsi che richiedono il minor numero possibile di mosse?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3432 Fonte: apri PDF p.2
Minimum footpaths on a 8x8 chessboard
A pawn is placed in the first upper left-hand box of a chessboard 8 × 8 (box (1, 1)) and must reach the last lower right-hand box of the chessboard (box (8, 8)). Each move consists of moving the pedal from each box in which it is in an adjacent box, that is, it shares a side with it. How many different routes require as few moves as possible?
Answer: 3432 src_kangourou_2023_junior_squadre_f2__Q13
Somma secondi termini comuni progressioni
Progressioni aritmetiche Su due progressioni aritmetiche a ragione intera si hanno solo le seguenti informazioni. Una ha come ragione 76, l’altra ha come termine iniziale 20, il primo termine comune ad entrambe è 95. In dipendenza dalle informazioni mancanti, si aprono diverse possibilità per il secondo termine comune. Qual è la somma di tutti questi secondi possibili termini comuni?
Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: congruenze Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9994 Fonte: apri PDF p.2
Summary of second common terms progressions
Arithmetic progressions On two arithmetic progressions of a whole ratio, only the following information is available. One has as reason 76, the other has as initial term 20, the first term common to both is 95. Depending on the missing information, several possibilities for the second common term are open. What is the sum of all these possible second common terms?
Answer: 9994 src_kangourou_2023_junior_squadre_f2__Q14
Quanti amici ha il sindaco
Il sindaco In un paese vivono 2.023 persone e una di esse è il sindaco. Comunque si scelgano due abitanti diversi dal sindaco, essi hanno un diverso numero di amici fra gli abitanti del paese (è sottointeso che, fra gli amici di un abitante, va escluso egli stesso e che, se A è amico di B, B è amico di A). Quanti amici ha il sindaco? (Scrivete 9999 se ritenete che la risposta non sia univocamente determinata.)
Quesiti e soluzioni
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Teoria dei grafi Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1011 Fonte: apri PDF p.2
How many friends does the mayor have?
There are 2,023 people living in a village, and one of them is the mayor. However two residents other than the mayor are chosen, they have a different number of friends among the villagers (it is understood that, among the friends of a resident, he himself must be excluded and that, if A is a friend of B, B is a friend of A). How many friends does the mayor have? (Write 9999 if you believe the answer is not uniquely determined.)
Questions and solutions
Answer: 1011 src_kangourou_2023_junior_squadre_f2__Q15