Valore di una espressione numerica
Qual è il valore di ? A) 1
B)
C)
D)
E) 49
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Value of a numerical expression
What ‘s the value of ? A) 1
B)
C)
D)
E) 49
Answer: C src_kangourou_2023_student__Q01
Massimo numero di 6 con 5 dadi che totalizzano 19
Lanciando 5 dadi tradizionali, Giulia totalizza 19 punti. Qual è il massimo numero di 6 che può aver realizzato? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Maximum number of 6 with 5 dice totaling 19
Throwing five traditional dice, Giulia scores 19 points. What’s the maximum number of 6 you can make? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Answer: C src_kangourou_2023_student__Q02
Soluzioni intere di equazione con radici quadrate
Quante soluzioni intere ha l’equazione √x2 – 45 + √50 – x2 = x – 4 ? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Topic: Algebra Metodo: Analisi per casi Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Solutions of the whole equation with square roots
How many whole solutions does the equation √x2 45 + √50 x2 = x 4 have? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Answer: B src_kangourou_2023_student__Q03
Colorazioni bandiera a 3 strisce con 4 colori, adiacenti diverse
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) rectangle (3,2);
\draw[thick] (0,0.667) -- (3,0.667);
\draw[thick] (0,1.333) -- (3,1.333);
\draw[thick] (-0.1,-0.1) -- (-0.1,2.1);
\end{tikzpicture}
\end{document}Emma ha pennarelli di 4 colori diversi. Vuole dipingere la bandiera rettangolare a tre strisce in figura in modo che ogni striscia sia tutta dello stesso colore e strisce adiacenti siano di colori diversi. In quanti modi distinti lo può fare? A) 24
B) 27 C) 32 D) 36 E) 64
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
*Flag colours in 3 stripes with 4 colours, adjacent to each other *
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) rectangle (3,2);
\draw[thick] (0,0.667) -- (3,0.667);
\draw[thick] (0,1.333) -- (3,1.333);
\draw[thick] (-0.1,-0.1) -- (-0.1,2.1);
\end{tikzpicture}
\end{document}Emma has four different colored brushes. He wants to paint the rectangular flag with three stripes in the figure so that each strip is all the same color and adjacent stripes are of different colors. How many different ways can you do that? A) 24
B) 27 C) 32 D) 36 E) 64
Answer: D src_kangourou_2023_student__Q04
Quanti interi 2-primi (esattamente divisori 1,2,n)
Diciamo che un intero positivo n è “2–primo” se ammette esattamente 3 divisori distinti, precisamente 1, 2 e n stesso. Quanti sono gli interi 2–primi? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
*Two prime integers (exactly divisors 1,2,n) *
Let’s say a positive integer n is 2prime if it admits exactly 3 distinct divisors, precisely 1, 2 and n itself. How many integers are the first two? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Answer: B src_kangourou_2023_student__Q05
Coppie di interi positivi con x+2^y=2^10
Quante coppie di interi positivi x e y soddisfano l’equazione x + 2y = 210 ? A) 29 – 1 B) 29
C) 29 + 1 D) 29 + 2 E) 0
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Pairs of positive integers with x+2^y=2^10
How many pairs of positive integers x and y satisfy the equation x + 2y = 210 ? A) 29 – 1 B) 29
C) 29 + 1 D) 29 + 2 E) 0
Answer: A src_kangourou_2023_student__Q06
Perimetro esagono formato da due triangoli equilateri sovrapposti
Due triangoli equilateri sono parzialmente sovrapposti in modo da formare un esagono con i lati opposti a due a due paralleli. La lunghezza di quattro lati è nota, ed indicata in figura. Quanto vale il perimetro dell’esagono? A) 64
B) 66
C) 68
D) 70 E) 72
Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Exagonal perimeter formed by two equilateral triangles overlapping
Two equilateral triangles are partially superimposed to form an hexagon with opposite sides two to two parallels. The length of the four sides is known and shown in the figure. What is the perimeter of the axis? A) 64
B) 66
C) 68
D) 70 E) 72
Answer: D src_kangourou_2023_student__Q07
Area dipinta di nero in suddivisione infinita di un quadrato
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (4,4);
\fill[black] (0,2) rectangle (2,4);
\draw (2,0) -- (2,4);
\draw (0,2) -- (4,2);
\draw (3,0) -- (3,2);
\draw (2,1) -- (4,1);
\fill[black] (2,1) rectangle (3,2);
\draw (3.5,0) -- (3.5,1);
\draw (3,0.5) -- (4,0.5);
\fill[black] (3,0.5) rectangle (3.5,1);
\draw (3.75,0) -- (3.75,0.5);
\draw (3.5,0.25) -- (4,0.25);
\fill[black] (3.5,0.25) rectangle (3.75,0.5);
\end{tikzpicture}
\end{document}Un quadrato di area 84 viene suddiviso in 4 quadrati e il qua drato nell’angolo in alto a sinistra viene dipinto di nero. Il qua drato nell’angolo in basso a destra viene a sua volta suddiviso in 4 quadrati, di cui quello nell’angolo in alto a sinistra viene dipinto di nero. Il processo viene ripetuto infinite volte. In totale, che area avrà la parte di quadrato che risulterà dipinta di nero? A) 24 B) 28
C) 31
D) 35 E) 42
Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
A black-painted area in infinite subdivision of a square
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (4,4);
\fill[black] (0,2) rectangle (2,4);
\draw (2,0) -- (2,4);
\draw (0,2) -- (4,2);
\draw (3,0) -- (3,2);
\draw (2,1) -- (4,1);
\fill[black] (2,1) rectangle (3,2);
\draw (3.5,0) -- (3.5,1);
\draw (3,0.5) -- (4,0.5);
\fill[black] (3,0.5) rectangle (3.5,1);
\draw (3.75,0) -- (3.75,0.5);
\draw (3.5,0.25) -- (4,0.25);
\fill[black] (3.5,0.25) rectangle (3.75,0.5);
\end{tikzpicture}
\end{document}A square of area 84 is divided into 4 squares and the square in the upper left corner is painted black. The square in the lower right corner is in turn divided into 4 squares, of which the one in the upper left corner is painted black. The process is repeated countless times. In total, what area will the square part that will be painted black have? A) 24 B) 28
C) 31
D) 35 E) 42
Answer: B src_kangourou_2023_student__Q08
trovare n
Il numero può essere scritto come nn per un intero n opportuno. Quanto vale n? A) 530 B) 56 C) 55 D) 30 E) 11
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
find n
The number can be written as n for an appropriate integer n. How much is n? A) 530 B) 56 C) 55 D) 30 E) 11
Answer: C src_kangourou_2023_student__Q09
Cifra delle unita del prodotto (5^5+1)(5^10+1)(5^15+1)
Qual è la cifra delle unità nel prodotto (55 + 1)(510 + 1)(515 + 1)? A) 1
B) 2
C) 4 D) 5
E) 6 I quesiti dal N. 11 al N. 20 valgono 4 punti ciascuno
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
*Number of units of the product (5
What is the number of units in the product (55 + 1)(510 + 1)(515 + 1)? A) 1
B) 2
C) 4 D) 5
E) 6 Questions from N. 11 al N. 20 is worth 4 points each.
Answer: E src_kangourou_2023_student__Q10
Somma lunghezze dei due spigoli mancanti di una piramide
Una piramide triangolare ha tutti gli spigoli di lunghezza intera. Quattro di queste lunghezze sono indicate nel diagramma. Qual è la somma delle lunghezze degli altri due spigoli? A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
sum of lengths of the two missing beams of a pyramid
A triangular pyramid has all the spikes of full length. Four of these lengths are shown in the diagram. What is the sum of the lengths of the other two legs? A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Answer: C src_kangourou_2023_student__Q11
*Somma cifre di N con N!=6!7!
Per un intero positivo n, il fattoriale di n, denotato con n!, è definito come il prodot to di tutti gli interi da 1 a n. Qual è la somma delle cifre di N se N!=6! × 7! ? A) 1
B) 2
C) 4
D) 8
E) 9
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
*sum of N digits with N!=6!7!
For a positive integer n, the factorial of n, denoted by n!, is defined as the product of all integers from 1 to n. What is the sum of the digits of N if N!=6! × 7! ? A) 1
B) 2
C) 4
D) 8
E) 9
Answer: A src_kangourou_2023_student__Q12
Punto comune a tutti i grafici di famiglia di cubiche
Qualunque sia la scelta del valore assegnato al parametro reale a, i grafici delle funzioni ya = x3 + 3x2 + ax + 2a + 4 passano tutti per uno stesso punto del piano cartesiano. Quanto vale la somma delle coordinate di tale punto? A) 2
B) 4
C) 7
D) 8 E) Nessuno dei valori precedenti.
Topic: Algebra, Geometria analitica Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Common point to all cubic family graphs
Whatever the choice of the value assigned to the real parameter a, the graphs of the functions ya = x3 + 3x2 + ax + 2a + 4 all pass through the same point of the Cartesian plane. What is the sum of the coordinates of that point? A) 2
B) 4
C) 7
D) 8 E) None of the above.
Answer: E src_kangourou_2023_student__Q13
Valore di S con a_k=k+S e somma S
Il valore della somma di cinque numeri assegnati, a1, a2, a3, a4, a5 , è S. Per ogni k, 1 ≤ k ≤ 5, si ha ak= k + S. Quanto vale S? A)
B) –
C) – 15 D) 15 E) Nessuno dei valori precedenti. 2 4 3 7 15
15
( )
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Value of S with a_k=k+S and sum S
The value of the sum of the five numbers assigned, a1, a2, a3, a4, a5, is S. For every k, 1 ≤ k ≤ 5, we have ak= k + S. How much is S worth? A)
B) –
(C) 15 D) 15 E) None of the above. 2 4 3 7 15
15
( )
Answer: B src_kangourou_2023_student__Q14
Coppie di interi con |2m-2023|+|2n-m|<=1
Quante coppie di interi m ed n soddisfano la disuguaglianza |2m – 2023| + |2n – m| ≤ 1? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3 E) 4
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Couples of integers with 2m-2023 dictionary
How many pairs of integers m and n satisfy the inequality? A) 0
B) 1
C) 2
D) 3 E) 4
Answer: B src_kangourou_2023_student__Q15
Massimo numero di koala con ogni animale vicino a un canguro
23 animali, tutti canguri o koala, sono allineati in una fila. Ognuno di essi ha al meno un vicino che è un canguro. Qual è il massimo numero di koala compatibile con questa disposizione? A) 7
B) 8
C) 10 D) 11
E) 12
Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
Maximum number of koalas with each animal near a kangaroo
23 animals, all kangaroos or koalas, are lined up in a row. Each of them has at least one neighbor who is a kangaroo. What is the maximum number of koalas compatible with this provision? A) 7
B) 8
C) 10 D) 11
E) 12
Answer: D src_kangourou_2023_student__Q16
Piu piccolo n con intervallo contenente almeno 4 interi
Qual è il più piccolo intero non negativo n tale che l’intervallo di estremi (n + 8)/2 e (2n + 14)/3, estremi inclusi, contenga almeno quattro numeri interi? A) 19
B) 18
C) 17
D) 16 E) Nessuno dei precedenti.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.3
Little n with an interval containing at least 4 integers
What is the smallest nonnegative integer n such that the interval of extremes (n + 8)/2 and (2n + 14)/3, extremes included, contains at least four integers? A) 19
B) 18
C) 17
D) 16 E) None of the above.
Answer: E src_kangourou_2023_student__Q17
Da quanti numeri si parte per ottenere 10 sommando parte decimale
Quando sullo schermo di un computer appare un numero positivo (in notazione decimale), premendo un tasto opportuno a quel numero viene sommata la sua parte decimale: ad esempio, il numero 1,3 viene trasformato in 1,6. Da quanti diversi nume ri si può partire se si vuole che, premendo consecutivamente il tasto non più di quattro volte, il risultato sia esattamente 10? A) 3
B) 7
C) 8
D) 12
E) 16
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.3
From how many numbers do you start to get 10 by adding the decimal part
When a positive number appears on a computer screen (in decimal notation), pressing an appropriate button adds its decimal part to that number: for example, the number 1,3 is transformed into 1.6. How many different numbers can you start from if you want the result to be exactly 10 by pressing the button no more than four times? A) 3
B) 7
C) 8
D) 12
E) 16
Answer: E src_kangourou_2023_student__Q18
Distanza di E dal lato BC in trapezio rettangolo
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (4,3);
\coordinate (D) at (3,3);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\draw (A) -- (C);
\draw (B) -- (D);
\coordinate (E) at (3.2,2.4);
\fill (E) circle (1.5pt);
\node[left] at (E) {$E$};
\draw[dashed] (E) -- (4,2.4);
\node[above] at (3.6,2.4) {$d$};
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}La figura mostra un trapezio rettangolo ABCD la cui base AB misura 120 e la cui base CD misura 30. Sia E il punto in cui si intersecano le diagonali. Qual è la distanza di E dal lato BC ? A) 22
B) 23 C) 24 D) 25 E) La misura dipende dalla distanza delle basi
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Distance of E from side BC in rectangular trapezoid
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (4,3);
\coordinate (D) at (3,3);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\draw (A) -- (C);
\draw (B) -- (D);
\coordinate (E) at (3.2,2.4);
\fill (E) circle (1.5pt);
\node[left] at (E) {$E$};
\draw[dashed] (E) -- (4,2.4);
\node[above] at (3.6,2.4) {$d$};
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}The figure shows an ABCD rectangular trapezoid whose base AB measures 120 and whose base CD measures 30. Both E and the point where the diagonals intersect. What ‘s the distance of E to the BC side ? A) 22
(B) 23 C) 24 D) 25 E) Measurement depends on the distance between the bases
Answer: C src_kangourou_2023_student__Q19
Divisori di 2^203^23 che non dividono 2^103^20
Quanti diversi numeri interi positivi sono divisoori di 220 323, ma non sono divisori di 210 320 ? A) 13
B) 30
C) 273 D) 400 E) Nessuno dei valori precedenti. I quesiti dal N. 21 al N. 30 valgono 5 punti ciascuno
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Multi-dimensional dividers of 2^203^23 which do not divide 2^103^20
How many different positive integers are divisible by 220 323, but they’re not divisible by 210 320? A) 13
B) 30
(C) 273 D) 400 E) None of the above. The questions from N. 21 al N. 30 is worth 5 points each.
Answer: C src_kangourou_2023_student__Q20
Espressione della funzione f da sistema funzionale
Due funzioni reali di variabile reale, f e g, soddisfano, per ogni x reale, entrambe le uguaglianze f(x) + 2 g(1 – x) = x2 e f(1 – x) – g(x) = x2. Qual è l’espressione della funzione f ? A) f(x) = x2 – x +
B) f(x) = x2 + x +
C) f(x) = – x2 – x +D) f(x) = x2 – 4x + 5 E) Nessuna, una tale coppia di funzioni f e g non esiste. A B C D E d 4
3 4
3 4
3 2
3 2
3 2
3
Topic: successioni Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.4
Expression of function f by functional system
Two real functions of a real variable, f and g, satisfy, for every real x, both the equations f(x) + 2 g(1 x) = x2 and f(1 x) g(x) = x2. What is the expression of the function f ? A) f(x) = x2 – x +
B) f(x) = x2 + x + C) f(x) = – x2 – x +
D) f(x) = x2 4x + 5 E) No such pair of functions f and g exists. A B C D E d 4 3 4 3 4 3 2 3 2 3 2 3
Answer: A src_kangourou_2023_student__Q21
Peggiore piazzamento finale possibile in gara a 3 specialita
13 arrampicatori partecipano ad una gara di arrampicata sportiva che prevede tre diverse specialità. Il punteggio finale di ciascun atleta è il prodotto dei piazzamenti ottenuti in ciascuna specialità: non sono previsti pari merito. Ad esempio, un atleta arrivato rispettivamente quarto, terzo e sesto nelle tre specialità avrà un punteggio di 72. Naturalmente più alto è il punteggio, peggiore è il piazzamento finale. Anna ha già vinto nelle prime due specialità. Una volta completata l’ultima prova, qual è il piazzamento finale peggiore che potrà avere? A) Seconda B) Terza C) Quarta D) Quinta E) Sesta
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.4
Final placement maximum possible in the special 3 competition
Thirteen climbers participate in a sport climbing competition involving three different specialties. The final score of each athlete is the product of the placements obtained in each specialty. For example, an athlete who finishes fourth, third and sixth in each of the three specialties will get a score of 72. Of course, the higher the score, the worse the final placement. Anna has already won the first two specialties. Once the last test is completed, what is the worst final placement you can have? A) Second B) Third C) Fourth D) Fifth E) Sixth
Answer: B src_kangourou_2023_student__Q22
Configurazione di 625,626,627 in una spirale numerica
I numeri interi a partire da 1 vengono disposti consecutivamente formando una spirale, come mo strato in figura. In quale delle seguenti configura zioni si troveranno i numeri 625, 626 e 627? A)
B) C) D)
E)
Topic: Combinatoria Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.4
Configuration of 625,626,627 in a numbered spiral
The integers starting from 1 are arranged in a spiral sequence, as shown in the figure. In which of the following configurations are numbers 625, 626 and 627? A)
B) C) D)
E)
Answer: B src_kangourou_2023_student__Q23
Su quale triangolo il tetraedro riposa la faccia colorata
Un tetraedro regolare ha una faccia colorata e tre bianche. La figura piana a destra è unione di triangoli congruenti con le facce del tetraedro. Il tetraedro viene collocato sulla figura in modo che la sua faccia colorata si sovrapponga al triangolo con la scritta START; poi viene ruotato lungo uno dei suoi spigoli in modo da sovrapporre una faccia al triangolo adiacente. Iterando le rotazioni (senza mai tornare indietro), su quale triangolo il tetraedro poserà di nuovo per la prima volta la faccia colorata?
A) AB) B
C) C
D) D
E) E
1011 12 13 24 9
2 3
14 23 8
1 4 15 22 7
6 5 16 21 20 19 18 17 … 627 626
625626 627
625 625 626 627 625 626627 625 626 627 A B C D E START
Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF p.4
Which triangle the tetrahedron rests on the coloured face
A regular tetrahedron has one colored face and three white faces. The flat figure on the right is a union of triangles congruent to the faces of the tetrahedron. The tetrahedron is placed on the figure so that its colored face overlaps the triangle with the START inscription; it is then rotated along one of its shoulders so that a face overlaps the adjacent triangle. By iterating the rotations (without ever turning back), on which triangle will the tetrahedron put its colored face again for the first time? A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
10 11 12 13 24 9 2 3 14 23 8 1 4 15 22 7 6 5 16 21 20 19 18 17 … 627 626 625
626 627 625 625 626 627 625 626
627 625 626 627 A B C D and START
Answer: E src_kangourou_2023_student__Q24
Massima potenza di (x-1) che divide un polinomio di 5 grado
Una macchia d’inchiostro ha coperto parte della formula che assegna un polino mio di quinto grado, come mostrato in figu ra. È noto che il polinomio ha 5 radici e che tutte sono numeri interi, non necessaria mente distinti. Qual è la più alta potenza di x – 1 che divide il polinomio?
A) (x – 1)1 B) (x – 1)2 C) (x – 1)3 D) (x – 1)4 E) (x – 1)5
Topic: Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF p.5
Maximum power of (x-1) dividing a polynomial of 5 degrees
A stain of ink covered part of the formula assigning a fifth degree polynomial, as shown below. It is well known that the polynomial has 5 roots and that they are all integers, not necessarily distinct. What is the highest power of x 1 dividing the polynomial? A) (x – 1)1 B) (x – 1)2 C) (x – 1)3 D) (x – 1)4 E) (x – 1)5
Answer: D src_kangourou_2023_student__Q25
Lunghezza del lato del quadrato da segmenti sugli assi
Gli assi dei lati di un quadrato lo dividono in quattro quadrati più piccoli. Nel quadrato è disegnato un cerchio tangente al qua drato nel punto medio di un lato. Il cerchio determina sugli assi dei lati i segmenti della lunghezza indicata in figura. Qual è la lunghezza del lato del quadrato?
A) 18B) 20
C) 24
D) 28
E) 30
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.5
Length of the side of the square by segments on the axes
The axes of the sides of a square divide it into four smaller squares. In the square, a circle tangent to the square is drawn in the middle of one side. The circle determines on the axes of the sides the length segments indicated in the figure. What’s the length of the side of the square? A) 18
B) 20
C) 24
D) 28
E) 30
Answer: A src_kangourou_2023_student__Q26
Massimo intero che divide n^3(n+1)^3…(n+4)^3
Qual è il più grande intero che divide tutti i numeri della forma n3 (n + 1)3(n + 2)3(n + 3)3(n + 4)3 , al variare dell’intero strettamente positivo n? A) 29 33 B) 23 33 53 C) 26 33 53 D) 28 32 53 E) 29 33 53
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.5
Maximum integer that divides n by n+1) by 3…(n+4) by 3
What is the largest integer that divides all the numbers of the form n3 (n + 1)3(n + 2)3(n + 3)3(n + 4)3 , by varying the strictly positive integer n? A) 29 33 B) 23 33 53 C) 26 33 53 D) 28 32 53 E) 29 33 53
Answer: E src_kangourou_2023_student__Q27
Numero nell’esagono col punto interrogativo, somma costante
In ognuno degli esagoni in figura va collocato un nu mero intero tra 1 e 11 in modo che tutti questi interi ven gano impiegati e che non vari, al variare del pallino nero, la somma dei numeri nella terna di esagoni che circonda il pallino stesso. Tre dei numeri sono già stati collocati. Che numero dovrà comparire nell’esagono con il punto di domanda?
A) 1B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.5
Number in the hexagon with the question mark, constant sum
In each of the hexagons in the figure, an integer between 1 and 11 must be placed so that all these integers are used and do not vary, as the black ball varies, the sum of the numbers in the hexagons surrounding the ball itself. Three of the numbers have already been placed. What number should appear in the box with the question mark? A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
Answer: E src_kangourou_2023_student__Q28
Metri cubi d’acqua in cilindro verticale e obliquo
Due identici serbatoi cilindrici contengono la stessa quantità d’acqua. Un cilindro è in posizione verticale men tre l’altro è obliquo, appoggiato al primo in posizione tale che il livello dell’acqua sia il medesimo in entrambi, il più basso che consente di coprire la base del serbatoio, come nella figura. La base di ciascun cilindro è un cerchio di area 3 p m2. Quanti metri cubi d’acqua contiene ciascun serbatoio? A) 3√3p B) 6 p C) 9 p D) p
E) Le informazioni non sono sufficienti per rispondere. x5 −11x4 + 34x3 −46x2 + 29x −7 8 6 6 ? 4 11 3
4
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.5
Cub metres of water in vertical and oblique cylinders
Two identical cylinder tanks contain the same amount of water. One cylinder is in a vertical position while the other is oblique, resting on the first in such a position that the water level is the same in both, the lowest allowing the bottom of the tank to be covered, as shown in the figure. The base of each cylinder is a circle of 3 p m2. How many cubic meters of water does each tank contain? A) 3√3p B) 6 p C) 9 p D) p E) The information is not sufficient to answer. x5 −11x4 + 34x3 −46x2 + 29x −7 8 6 6 ? 4 11 3 4
Answer: C src_kangourou_2023_student__Q29
Cifra d nel prodotto di sei interi consecutivi a 12 cifre
Il prodotto di sei interi consecutivi è un numero di 12 cifre della forma abb cdd cdd abb, dove le cifre a, b, c e d sono a loro volta, in ordine opportuno, cifre consecutive. Qual è il valore della cifra d ? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
C C B D B A D
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.6
Number d in the product of six consecutive integers of 12 digits
The product of six consecutive integers is a 12-digit number of the form abb cdd cdd abb, where the digits a, b, c and d are, in appropriate order, consecutive digits. What ‘s the value of the number d ? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
C C B D B A D
Answer: C src_kangourou_2023_student__Q30