Kangourou Finale Student 2023

equo o vantaggioso, per chi

Andrea e Giulio giocano a dadi nel modo seguente. Insieme lanciano sei dadi (tradizionali, equi): se esce 3 su almeno un dado, Andrea guadagna un euro da Giulio; in caso contrario, Giulio guadagna due euro da Andrea. È un gioco equo o è vantaggioso per uno dei due? In questo secondo eventuale caso, per chi?

Topic: Probabilita e statistica Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

• fair or advantageous for those *

Andrea and Julius play dice as follows. Together they throw six dice (traditional, equals): if he throws 3 out of at least one dice, Andrew earns a euro from Julius; otherwise, Julius earns two euros from Andrew. Is it a fair game or is it advantageous for either of us? In this second case, for whom?

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Massimo numero di mentitori su isola a 15 regioni

Un’isola è ripartita in 15 regioni come indicato nella figura. In ogni regione vive uno e un solo abitante che o dice sempre la verità o mente sempre. Ogni abitante afferma: “Tra i miei vicini c’è almeno una persona che mente sempre”. Quanti possono essere al massimo gli abitanti che mentono sempre? (Due abitanti si intendono vicini quando le loro regioni condividono un segmento del loro bordo, non necessariamente un intero lato di una delle due.) (vedi figura)

Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

Maximum number of liars on an island in 15 regions

One island is divided into 15 regions as shown in the figure. In every region there is one and only one inhabitant who either always tells the truth or always lies. Each resident says, “There is at least one person in my neighborhood who lies all the time”. How many people can be at most lying all the time? (Two inhabitants mean neighbours when their regions share a segment of their edge, not necessarily an entire side of either one.) (see figure)

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Esiste poliedro con ogni sezione piana triangolo

Marco afferma di essere riuscito a costruire un poliedro (non degenere) tale che ogni sua sezione piana sia un triangolo (eventualmente degenere). Possiamo credergli?

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

There is polyhedron with each triangular flat section

Mark claims to have managed to build a polyhedron (not degenerate) such that each of its flat sections is a triangle (eventually degenerate). Can we believe him?

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Caratterizzare n con p^2+n divisibile per 40, p primo>5

Siano $n$ un numero intero con $0\le n<40$ e $p$ un numero primo superiore a $5$ tali che $p^2+n$ sia divisibile per $40$. Che cosa si può dire di $n$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1

Characterizing n with p^2+n divisible by 40, p prime>5*

If $n$ is an integer with $0\le n<40$ and $p$ a prime number greater than $5$, such that $p^2+n$ is divisible by $40$. What about$n$?

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Numero coppie di punti a distanza massima fra n punti

Assegnati $n$ punti distinti nel piano ($n\ge 2$), che cosa si può dire, al variare di $n$, sul numero delle coppie di tali punti che realizzano la massima distanza possibile?

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF p.1

Maximum number of pairs of points between n points

Assigned $n$ distinct points in the plane ($n\ge 2$), what can be said, when $n$ varies, about the number of pairs of such points that reach the maximum possible distance?

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Disuguaglianza fra somme di quadrati con sequenze non crescenti

Sia $n$ intero positivo fissato e siano $\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$, $\{b_1,b_2,\dots ,b_n\}$ due sequenze di numeri non negativi tali che $a_1+a_2+\cdots +a_k\ge b_1+b_2+\cdots +b_k$ per ogni $k$ tra $1$ e $n$ inclusi. Mostrare che non è detto che si abbia $a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2\ge b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2,$ ma che questa seconda disuguaglianza vale certamente se entrambe le sequenze sono non crescenti.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.1

Inequality between sums of squares with non-increasing sequences

Whether $n$ a fixed positive integer and $\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$, $\{b_1,b_2,\dots ,b_n\}$ two non-negative number sequences such as $a_1+a_2+\cdots +a_k\ge b_1+b_2+\cdots +b_k$ for each $k$ between $1$ and $n$ included. To show that it is not said to have $a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2\ge b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2,$ but that this second inequality is certainly valid if both sequences are non-growing.

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