Quanti interi <40 con somma dei quadrati delle cifre quadrato perfetto
(Punti 2) Quanti numeri interi positivi minori di 40 hanno la proprietà che la somma dei quadrati delle loro due cifre è essa stessa un quadrato perfetto? (I numeri vanno pensati comunque di due cifre, ad esempio 4 va pensato scritto come 04.) A) 1 B) 9 C) 12 D) 13 E) 14
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
Integer numbers <40 with sum of squares of perfect square digits
(Points 2) How many positive integers less than 40 have the property that the sum of the squares of their two digits is itself a perfect square? (Numbers must be thought of as two digits, for example 4 must be thought of as 04.) A) 1 B) 9 C) 12 D) 13 E) 14
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q01
tentativi massimi noti i vincoli
(Punti 3) Il codice di una cassetta di sicurezza è un numero di quattro cifre. La somma delle ultime due è un numero primo di due cifre che, lette nell’ordine, sono le prime due cifre del codice. Dispo nendo soltanto di queste informazioni, quanti tentativi saranno necessari, al massimo, per aprire la cassetta? A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
maximum known attempts the constraints
(Points 3) The code of a safe deposit box is a four-digit number. The sum of the last two is a prime number of two digits which, read in the order, are the first two digits of the code. With this information alone, how many attempts will it take to open the box? A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q02
Somma cifre del prodotto di 9 numeri di cifre 2 o 3 tra 600 e 1200
(Punti 3) Il prodotto di 9 numeri interi scritti utilizzando esclusivamente le cifre 2 e/o 3 è un nu mero compreso fra 600 e 1200. Qual è la somma delle cifre di questo prodotto? A) 18 B) 21 C) 23 D) 25 E) Esiste più di una possibilità
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
sum of product figures of 9 numbers of numbers 2 or 3 between 600 and 1200
The product of 9 integers written using only the digits 2 and/or 3 is a number between 600 and 1200. What is the sum of the figures for this product? A) 18 B) 21 C) 23 D) 25 E) There is more than one possibility
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q03
Massimo valore di CAD con TAP+BAT=CAD, cifre distinte
(Punti 4) Sono dati tre numeri interi ciascuno di tre cifre (cioè la prima cifra di ciascuno non può essere 0) che denotiamo con TAP, BAT e CAD dove ogni lettera rappresenta una cifra, lettere diverse cifre diverse. Si sa che TAP + BAT = CAD. Qual è il più grande valore possibile per il numero CAD? A) 782 B) 892 C) 893 D) 908 E) 987
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
Maximum value of CAD with TAP+BAT=CAD, distinct figures
(Points 4) Three whole numbers are given each of three digits (i.e. the first digit of each cannot be 0) which we denote with TAP, BAT and CAD where each letter represents a number, different letters are different digits. You know that TAP + BAT is CAD. What is the largest possible value for the CAD number? A) 782 B) 892 C) 893 D) 908 E) 987
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q04
Numero massimo di parti tagliando tre sfere con due piani
(Punti 4) Tre sfere di raggio 1 sono disposte nello spazio in modo che i loro centri formino un triangolo equilatero di lato 3. Qual è il maggior numero di parti nelle quali il complesso delle tre sfere può essere ripartito tagliando le sfere con due piani? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 12) 12
Topic: Geometria solida Metodo: Analisi per casi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1
Maximum number of parts by cutting three spheres with two planes
(Points 4) Three spheres of radius 1 are arranged in space so that their centers form an equilateral triangle on side 3. What is the greatest number of parts into which the three spheres complex can be divided by cutting the spheres with two planes? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 12) 12
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q05
Segno di m e n affinche una espressione sia intera
(Punti 4) Si sa che i tre numeri m, n e (8m × 102m) / (5 – m – n × 203m) sono tutti interi e diversi da zero. Quale delle seguenti affermazioni è vera? A) m < 0, n > 0 B) m > 0, n > 0 C) m > 0, n < 0 D) m < 0, n < 0 E) m + n ≥ 0
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.1
Sign of m and n for an expression to be whole
(Points 4) It is known that the three numbers m, n and (8m × 102m) / (5 m n × 203m) are all integers and not equal to zero. Which of the following statements is true? A) m < 0, n > 0 B) m > 0, n > 0 C) m > 0, n < 0 D) m < 0, n < 0 E) m + n ≥ 0
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q06
Coppie (X,n) false in un allineamento periodico di lettere
(Punti 5) Immagina di ripetere indefinitamente l’allineamento di lettere ABBCCCDDE, ottenendo dunque l’allineamento periodico ABBCCCDDEABBCCCDDEABBC… . Per quante delle seguenti coppie (X, n) è falsa la seguente affermazione: “La n-esima lettera dell’allineamento periodico è X”? i) (A, 20 × 23) ii) (A, 2023) iii) (C, 2023) iv) (E, 3202) A) 0 (sono tutte vere) B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 (sono tutte false)
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
False (X,n) pairs in a periodic alignment of letters
(Points 5) Imagine repeating the ABBCCCDDE letter alignment indefinitely, thus obtaining the periodic ABBCCCDDEABBCCCDDEABBC… For how many of the following pairs (X, n) is the following statement false: The ninth letter of the periodic alignment is X? (A, 20 × 23) ii) (A, 2023) iii) (C, 2023) iv) (E, 3202) A) 0 (all are true) B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 (all are false)
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q07
in quale vivono i mentitori
(Punti 5) Un villaggio ha 5 case, ogni abitante vive in una di queste 5 case e in ognuna vive qual cuno. Tutti gli abitanti che vivono in 4 di esse dicono sempre la verità, tutti gli abitanti che vivono nella casa rimanente mentono sempre. Passando di casa in casa sono state raccolte le seguenti di chiarazioni: Casa A: “In questa casa vivono 3 persone”, “In questo villaggio vivono più di 17 persone”. Casa B: “In questa casa vivono 4 persone”, “In questo villaggio vivono più di 21 persone”. Casa C: “In questa casa vivono 5 persone”, “Il numero di persone che vivono in questo villaggio NON è 25”. Casa D: “In questa casa vivono 6 persone”, “In questo villaggio vivono meno di 29 persone”. Casa E: “In questa casa vivono 7 persone”, “In questo villaggio vivono meno di 33 persone”. In quale casa vivono i mentitori? A) Nella casa A. B) Nella casa B. C) Nella casa C. D) Nella casa D. E) Nella casa E.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1
Where lies live.
(Points 5) A village has 5 houses, each inhabitant lives in one of these 5 houses and in each one lives someone. All the inhabitants living in four of them always tell the truth, all the inhabitants living in the remaining house always lie. The following information was collected from house to house: House A: In this house live 3 people, In this village live more than 17 people. House B: In this house live 4 people, In this village live more than 21 people. House C: In this house live 5 people, The number of people living in this village is NOT 25. House D: In this house there are 6 people, In this village there are less than 29 people. House E: In this house live 7 people, In this village live less than 33 people. What house do liars live in? A) In house A. B) In house B. C) In house C. D) In house D. E) In house E.
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q08
Rapporto circonferenza/raggio nella distanza taxicab
(Punti 6) Supponiamo che nel piano, dotato di un sistema cartesiano ortogonale monometrico, comunque considerati due punti, si possa passare da uno all’altro solo muovendosi parallelamente agli assi; in tal caso la lunghezza del segmento di estremi (x, y) e (a, b), cioè la distanza del punto (x, y) dal punto (a, b), è |x – a| + |y – b|. Se i termini “raggio” e “circonferenza” di centro assegnato vengono definiti nel modo usuale, ma rispetto a questa nuova nozione di distanza e non alla di stanza euclidea, quanto vale il rapporto, in questa nuova nozione di distanza, tra lunghezza della circonferenza e raggio relativo? A) 2 B) 2π C) 4 D) 4√2 E) 8 Quesiti a risposta aperta
Topic: Geometria analitica Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: generalizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Rate of circumference/radius in the taxicab distance
(Points 6) Suppose that in the plane, equipped with a monometric orthogonal cartesian system, however considered two points, one can pass from one to the other only by moving parallel to the axes; in this case the length of the segment of extremes (x, y) and (a, b), i.e. the distance of the point (x, y) from the point (a, b), is x a + y b. If the terms radius and circumference of the centre of the given circle are defined in the usual way, but in relation to this new notion of distance and not to the Euclidean space, what is the relationship, in this new notion of distance, between the length of the circumference and the relative radius? A) 2 B) 2π C) 4 D) 4√ 2 E) 8 Open-ended questions
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q09
Trovare n dopo operazioni casuali con risultato 78
(Punti 4) Gianna gioca così. Scrive un numero intero n, poi lo moltiplica a caso o per 5 o per 6. Al prodotto somma a caso o 5 o 6. Alla somma sottrae a caso o 5 o 6. Se il risultato finale è 78, che numero è n?
Topic: Algebra Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Find n after random operations with result 78*
(Points 4) Gianna plays like that. He writes an integer n, then he multiplies it randomly or by 5 or by 6. To the product, the random sum is either 5 or 6. At the sum, he randomly subtracts five or six. If the end result is 78, what number is n?
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q10
Piu piccolo primo p>2 con p^3+7p^2 quadrato perfetto
(Punti 5) Qual è il più piccolo intero primo p > 2 tale che il numero p3 + 7p2 sia un quadrato per fetto?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
Little first person p>2 with p^3+7p^2 perfect square
(Points 5) What is the smallest prime integer p > 2 such that the number p3 + 7p2 is a square per square?
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q11
Valore di A-B con somme di quadrati e prodotti consecutivi
(Punti 5) Sia A la somma dei quadrati di tutti i numeri interi positivi da 1 a 2.023 inclusi e sia B = (1 × 3) + (2 × 4) + (3 × 5) + … + (2.022 × 2.024). Quanto vale A – B?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
A-B value with sums of squares and consecutive products
(Points 5) Both A and B = (1 × 3) + (2 × 4) + (3 × 5) + … + (2.022 × 2.024). How much is A B?
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q12
Minimo k con (x^2+y^2+z^2)^2 <= k(x^4+y^4+z^4)
(Punti 6) Qual è il più piccolo numero reale k tale che la disuguaglianza (x2 + y2 + z2)2 ≤ k (x4 + y4 + z4) valga per ogni terna {x, y, z} di numeri reali?
Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
*Minimum k with (x^2+y^2+z^2)^2 <= k(x^4+y^4+z^4) *
(Points 6) What is the smallest real number k such that the inequality (x2 + y2 + z2) 2 ≤ k (x4 + y4 + z4) is worth for every prime of real numbers?
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q13
Prodotto di due numeri tolti da 1..17 uguale alla somma dei restanti
(Punti 6) Dall’insieme dei numeri interi tra 1 e 17, questi inclusi, si possono levare due numeri in modo che il loro prodotto coincida con la somma dei rimanenti e vi è un solo modo per farlo. Quanto vale tale prodotto?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF p.2
*Product of two numbers subtracted from 1.17 equal to the sum of the remaining *
(Points 6) From the sum of integers 1 to 17, these included, two numbers can be taken so that their product matches the sum of the remaining ones and there is only one way to do so. How much is that product worth?
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q14
Valore in cui si annulla f dalla catena di disuguaglianze
(Punti 6) Denotiamo con f una funzione definita su tutto l’asse reale e a valori reali; supponiamo che f soddisfi, per ogni valore reale di x, la catena di disuguaglianze f(x – 5) + 2 ≤ x – 2023 ≤ f(x + 4) – 7. La funzione f si annulla per un solo valore di x: quale?
Topic: successioni, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF p.2
Value in which f is cancelled from the inequality chain
(Points 6) Let us denote with f a function defined on all real axes and real values; let us suppose that f satisfies, for every real value of x, the chain of inequalities f(x 5) + 2 ≤ x 2023 ≤ f(x + 4) 7. The function f is void for only one value of x: which?
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q15
Intero piu vicino a p, rapporto perimetri quadrato smussato
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (4,4);
\filldraw[fill=gray!25, draw=black, line width=1pt, rounded corners=0.7cm] (0.05,0.05) rectangle (3.95,3.95);
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 7) Gli angoli di un quadrato vengono smussati con archi circolari, tutti dello stesso raggio, come indica la figura; la parte rettilinea del bordo della nuova regione è lunga quanto la parte curva. Il rapporto fra il peri metro della nuova figura e il perimetro del quadrato originario è il numero p/100. Qual è l’intero più vicino a p?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
*Interest closer to p, square perimeter ratio blended *
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (4,4);
\filldraw[fill=gray!25, draw=black, line width=1pt, rounded corners=0.7cm] (0.05,0.05) rectangle (3.95,3.95);
\end{tikzpicture}
\end{document}(Points 7) The angles of a square are moved with circular arcs, all of the same radius, as shown in the figure; the straight side of the edge of the new region is as long as the curved side. The ratio of the perimeter of the new figure to the perimeter of the original square is p/100. What is the nearest integer to p?
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q16
Massima lunghezza di segmento parallelo a un lato nel triangolo
(Punti 7) Si consideri un triangolo di perimetro 64 e la circonferenza in esso inscritta. Tra le ret te tangenti a tale circonferenza, se ne consideri una che sia parallela ad uno dei lati del triangolo. Quanto potrebbe essere lungo al massimo un segmento di tale retta contenuto nel triangolo?
Topic: Geometria piana Metodo: Principio di estremalita, Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.2
Maximum length of segment parallel to one side in the triangle
Consider a triangle of perimeter 64 and the circumference inscribed therein. Between the networks perpendicular to this circumference, consider one parallel to one side of the triangle. What is the maximum length of a segment of such a straight line contained in the triangle?
src_kangourou_2023_student_semifinale__Q17
Massimo n di persone senza antipatia reciproca tra le 2023
(Punti 8) In un gruppo di 2023 persone, ognuna ha antipatia verso esattamente un’altra persona, ma la relazione non è necessariamente simmetrica. Senza conoscere la situazione reale, si vuole esse re certi a priori di poter selezionare n persone fra le 2023 in modo che nessuna di esse abbia antipatia verso qualcuna delle rimanenti n – 1 selezionate. Qual è il più grande valore di n?
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Teoria dei grafi Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.2
Maximum number of people without mutual dislike between 2023
(Points 8) In a group of 2023 people, everyone has a dislike of exactly one other person, but the relationship is not necessarily symmetrical. Without knowing the actual situation, it is desirable to ensure that no person can be selected by 2023 so that none of them dislikes any of the remaining selected persons. What’s the greatest value of n?