Prodotto dei tre numeri pensati da Adele, Beatrice, Cecilia
(Punti 2) Adele, Beatrice e Cecilia hanno pensato ciascuna un numero. Sommando il numero di Adele a quello di Beatrice si ottiene 20, sommando il numero di Adele a quello di Cecilia si ottiene 24, sommando il numero di Adele a quello di Beatrice e a quello di Cecilia si ottiene 44. Quanto si ottiene se si moltiplicano tra loro i tre numeri? A) 2024 B) 1012 C) 880 D) 440 E) 0 Risposta: E). Soluzione. La somma dei tre numeri coincide con la somma del doppio del numero di Adele e degli altri due: allora il numero di Adele deve essere 0.
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
Produced by the three numbers conceived by Adele, Beatrice, Cecilia
Adele, Beatrice and Cecilia each thought of a number. Adding Adele’s number to Beatrice’s number gets 20, adding Adele’s number to Cecilia’s number gets 24, adding Adele’s number to Beatrice’s number and Cecilia’s number gets 44. What do you get when you multiply the three numbers by each other? The Commission has not yet decided whether to proceed with this procedure. The solution. The sum of the three numbers coincides with the sum of the double of Adele’s number and the other two: then Adele’s number must be 0.
Answer: E src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q01
Massimo numero di punti comuni a 2024 circonferenze
(Punti 3) Nel piano sono tracciate 2024 circonferenze tutte distinte tra loro. Quanti potrebbero essere al massimo i punti comuni a tutte le circonferenze? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 1012 Risposta: C). Soluzione. Per due punti passano infinite circonferenze complanari (ogni punto dell’asse del segmento che li ha come estremi è centro di una di esse), per tre punti ne passa una sola.
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.1
Maximum number of common points at 2024 circumferences
(Points 3) In the plan are mapped 2024 circumferences all distinct from each other. How many common points could all the circumferences have at most? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 1012 Answer: C). The solution. For two points infinite planar circumferences pass (each point on the axis of the segment that has them as extremes is the center of one of them), for three points only one passes.
Answer: C src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q02
Numero al posto del punto interrogativo, consecutivi non connessi
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[every node/.style={draw,circle,minimum size=0.7cm,thick}]
\node (q) at (0,0) {?};
\node (c) at (1.5,0) {};
\node (t) at (3,0.8) {};
\node (b) at (3,-0.8) {};
\node (r) at (4.5,0) {};
\draw[thick] (q)--(c)--(t)--(r)--(b)--(c);
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 3) Ciascuno dei numeri 1, 2, 3, 4, 5 va collocato in uno dei cerchi in figura (uno solo per cerchio) in modo che due numeri consecutivi non stiano mai in due cerchi connessi da un segmento. Quale numero va collocato al posto del punto di domanda?
A) Solo 2. B) Solo 3. C) 2 oppure 4. D) 1 oppure 5. E) Solo 1. Risposta: B). Soluzione. Per verifica diretta sui 5 numeri. (bisogna che i vertici del rombo contengano coppie di numeri consecutivi disposti ai vertici opposti)
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Number at the place of the question mark, unrelated sequences
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[every node/.style={draw,circle,minimum size=0.7cm,thick}]
\node (q) at (0,0) {?};
\node (c) at (1.5,0) {};
\node (t) at (3,0.8) {};
\node (b) at (3,-0.8) {};
\node (r) at (4.5,0) {};
\draw[thick] (q)--(c)--(t)--(r)--(b)--(c);
\end{tikzpicture}
\end{document}(Points 3) Each of the numbers 1, 2, 3, 4, 5 must be placed in one of the circles in the figure (one only per circle) so that two consecutive numbers are never in two circles connected by a segment. What number should be placed in place of the question mark? A) Only two. B) Only three. C) 2 or 4. D) 1 or 5. E) Only one. Answer: B). The solution. For direct verification on the five numbers. (the vertices of the rhombus must contain pairs of consecutive numbers arranged at opposite vertices)
Answer: B src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q03
In quale riga si trova 2024 nella disposizione a moduli
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[dot/.style={circle,fill,inner sep=2pt}]
\foreach \x in {0,1,2,3,4} \node[dot] at (\x*0.6, 0) {};
\foreach \y in {1,2,3} {
\node[dot] at (0, -\y*0.6) {};
\node[dot] at (4*0.6, -\y*0.6) {};
}
\node[dot] at (0, -4*0.6) {};
\foreach \x in {3,4,5,6} \node[dot] at (\x*0.6, -4*0.6) {};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 4) Immagina di elencare tutti n numeri interi da 1 in poi disponendoli come indicato dalla figura, dove ogni “segmento verticale” e ogni “segmento orizzontale” di numeri consecutivi ne contiene esattamente 5. In quale riga, partendo dall’alto, si trova il numero 2.024? Riga 1 → 5 6 7 8 9
21 22 23 24 25
Riga 2 → 4
10
20
26
Riga 3 → 3
11
19
27
Riga 4 → 2
12
18
28
Riga 5 → 1
13 14 15 16 17
29 30 31 … A) La prima. B) La seconda. C) La terza. D) La quarta. E) La quinta. Risposta: A). Soluzione. La disposizione è costituita da un allineamento di moduli come quello in figura, ognuno dei quali ospita 16 interi consecutivi. Si ha 2.024 = 16 × 126 + 8: allora 2.024 si trova nella stessa riga del numero 8, dunque nella prima.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Which row is 2024 in the module provision
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[dot/.style={circle,fill,inner sep=2pt}]
\foreach \x in {0,1,2,3,4} \node[dot] at (\x*0.6, 0) {};
\foreach \y in {1,2,3} {
\node[dot] at (0, -\y*0.6) {};
\node[dot] at (4*0.6, -\y*0.6) {};
}
\node[dot] at (0, -4*0.6) {};
\foreach \x in {3,4,5,6} \node[dot] at (\x*0.6, -4*0.6) {};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Points 4) Imagine listing all n integers from 1 onwards by arranging them as shown in the figure, where each vertical segment and each horizontal segment of consecutive numbers contains exactly 5. In which line, starting from the top, is the number 2.024? This appropriation is intended to cover expenditure on technical assistance for the implementation of the programme.
21 22 23 24 25
The amount of the loan shall be calculated on the basis of the following:
10
20
26
The amount of the loan shall be calculated on the basis of the amount of the loan.
11
19
27
The amount of the loan shall be calculated on the basis of the amount of the loan.
12
18
28
The amount of the loan shall be calculated on the basis of the amount of the loan.
13 14 15 16 17
29 30 31 A) The first. B) The second. C) The third. D) The fourth. E) The fifth. Answer: A). The solution. The arrangement consists of an alignment of modules such as the one shown in the figure, each of which contains 16 consecutive integers. You have 2.024 = 16 × 126 + 8: then 2.024 is in the same line as the number 8, so in the first.
Answer: A src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q04
Numero di cioccolatini regalati (rimasti = ricevuti)
(Punti 4) La mamma ha regalato ai suoi figli dei cioccolatini, lo stesso numero a tutti. Quando ognuno ne ha mangiati 6, si sono resi conto che, complessivamente, i cioccolatini rimasti sono tanti quanti ciascuno ne aveva ricevuti dalla mamma. Qual è il numero di cioccolatini che la mamma ha regalato in totale?
A) 27 B) 48 C) 36 D) 21 E) Potrebbe non essere alcuno dei precedenti. ?•
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Risposta: E). Soluzione. Se n è il numero dei figli, il numero cercato deve essere tale che, sottraendogli 6n, si ottenga 1/n del numero stesso. Questo è vero per 27 se n = 3 ma anche, per esempio, per 32 se n = 4.
Oppure:
Se n è il numero dei figli e k il numero di cioccolatini per ogni figlio, 6n = k(n – 1), cioè 𝑘= 6𝑛 𝑛−1. Dato che
n – 1 divide n solo per n=2, bisogna che n – 1 sia un divisore di 6: per n=2, k=12 e numero totale di cioccolatini 24; per n=3, k=9 e numero totale di cioccolatini 27; per n=4, k=8 e numero totale di cioccolatini 32; per n=7, k=7 e numero totale di cioccolatini 49.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.1
*Number of chocolates given (remitted = received) *
The mother gave her children the same number of chocolates. When they each ate six, they realized that, overall, the chocolates left were as many as they each had received from their mother. What’s the total number of chocolates your mom gave you? A) 27 B) 48 C) 36 D) 21 E) It may not be any of the above. ? • • • • •
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Answer: E). The solution. If n is the number of children, the number sought must be such that, subtracting 6n, 1/n of the number itself is obtained. This is true for 27 if n = 3, but also, for example, for 32 if n = 4. Or: If n is the number of children and k is the number of chocolates for each child, 6n = k(n 1), that is, k= 6n n−1. Since n 1 divides n only by n=2, n 1 must be a divisor of 6: for n=2, k=12 and total number of chocolates 24; for n=3, k=9 and total number of chocolates 27; for n=4, k=8 and total number of chocolates 32; for n=7, k=7 and total number of chocolates 49.
Answer: E src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q05
In quanti modi ripartire 1..8 in coppie con differenza costante
(Punti 4) Vuoi ripartire l’insieme dei numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in quattro coppie di numeri tali che la differenza fra il maggiore e il minore dei numeri di ogni coppia sia sempre la stessa. In quanti diversi modi lo puoi fare? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Risposta: B). Soluzione. Le differenze da prendere in esame sono solo 1, 2, 3 e 4: il numero 4 non ha differenza maggiore di 4 con alcuno degli altri. Ogni possibile differenza determina una e una sola ripartizione. Per 1 abbiamo le coppie {1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, {7, 8}; per 2 abbiamo le coppie {1, 3}, {2, 4}, {5, 7}, {6, 8}; per 4 abbiamo le coppie {1, 5}, {2, 6}, {3, 7}, {4, 8}. Con 3 non è possibile procedere: sia 2 sia 8 dovrebbero essere in coppia con 5.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
How many ways to divide 1.8 in pairs with constant difference
(Points 4) You want to divide the sum of the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 into four pairs of numbers such that the difference between the largest and the smallest numbers of each pair is always the same. How many different ways can you do that? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Answer: B). The solution. The differences to be considered are only 1, 2, 3 and 4: the number 4 has no difference greater than 4 with any of the others. Each possible difference determines one and only one distribution. For 1 we have the pairs {1, 2, 4, 5, 6, 8}; for 2 we have the pairs {1, 3, 4, 8}; for 4 we have the pairs {1, 5}, {2, 6}, {3, 7, 8}. With 3 you can’t proceed: both 2 and 8 should be paired with 5.
Answer: B src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q06
Chi ha mentito tra i quattro nipotini
(Punti 5) La nonna prepara alcuni dolcetti; raccomanda ai suoi nipotini di aspettare a mangiarli e si allontana per pochi minuti. Un nipotino disobbedisce e mangia un dolcetto. La nonna ritorna, scopre che manca un dolcetto e chiede ai nipotini: “Chi è stato?” Angelo risponde: “Non sono stato io”.
Bruno risponde: “È stato Carlo”.
Donato risponde: “È stato Bruno”.
Carlo risponde: “Donato ha detto una bugia”.
Uno solo ha mentito. Chi? A) Angelo B) Bruno C) Carlo D) Donato E) Potrebbe aver mentito Bruno oppure Donato, ma non è possibile stabilirlo con certezza. Risposta: D) Sol. Se il disobbediente fosse stato Angelo, mentirebbero sia Bruno, sia Donato. Se fosse stato Bruno, oltre a lui mentirebbe anche Carlo. Se fosse stato Donato, oltre a lui mentirebbe Bruno. Allora è stato Carlo, ed è Donato che ha mentito.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.2
Who lied among the four grandchildren?
(Points 5) The grandmother prepares some candy; she advises her grandchildren to wait to eat it, and she goes away for a few minutes. A grandson disobeys and eats a candy. The grandmother returns, discovers that a dessert is missing, and asks the grandchildren, “Who was it?” Bruno replies: “It was Charles”. Donato answers: “It was Bruno”. Carlo replies, “Donato has lied”. Only one of them lied. Who’s that? A) Angelo B) Bruno C) Carlo D) Donato E) He may have lied to Bruno or Donato, but it is not possible to establish for sure. Answer: D) Sun. If Angelo had been the disobedient one, Bruno and Donato would have lied. If it was Bruno, Carlo would lie to him. If it was Donato, besides him, Bruno would be lying. So it was Carlo, and it was Donato who lied.
Answer: D src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q07
Somma dei due numeri di Sofia da 2(5x+y)=212
(Punti 5) Sofia ha in mente due numeri interi positivi minori di 20 che differiscono per più di 2. Ne moltiplica uno per 5, somma l’altro al prodotto che ha ottenuto e raddoppia il risultato: ottiene così 212. Qual è la somma dei due numeri che aveva in mente?
A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30 Risposta E). Sol. Se x e y sono i due numeri, deve essere (5x + y) × 2 = 10x + 2y = 212. Poiché 2y può essere al massimo 38, 10x deve essere almeno 174, che per noi significa almeno 180 e, ovviamente, non più di 190. x = 18 comporterebbe y = 16, non accettabili. Allora x = 19 e y = 11.
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
sum of the two numbers of Sofia from 2(5x+y) =212
Sofia has in mind two positive integers less than 20 that differ by more than 2. Multiply one by five, add the other to the resulting product and double the result: 212. What was the sum of the two numbers he had in mind? A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30 Answer E). I’m not alone. If x and y are the two numbers, it must be (5x + y) × 2 = 10x + 2y = 212. Since 2y can be at most 38, 10x must be at least 174, which for us means at least 180 and, of course, no more than 190. x = 18 would result in y = 16, unacceptable. So x is 19 and y is 11.
Answer: E src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q08
Quanti blocchi di 2024…2024 divisibili per 4
(Punti 6) Considera l’allineamento di cifre 202420242024…20242024 dove la quaterna ordinata 2024 compare 1.012 volte. Ogni blocco che sia formato da un qualunque numero di cifre consecutive in questo allineamento e non incominci con 0 individua un numero intero un numero intero (ad esempio il blocco 4202420, che parte dalla quarta cifra e termina con la decima oppure dall’ottava e termina con la quattordicesima e così via, individua il numero 4.202.420). Quanti numeri interi tutti diversi tra loro, determinati da blocchi ammissibili, risultano divisibili per 4?
A) 2021 B) 2024 C) 2025 D) 6067 E) 6070Risposta: E). Soluzione. Tutti e soli i numeri che ci interessano non possono terminare con 2 (infatti nessun numero di almeno tre cifre che termini con 02 o 42 è divisibile per 4), ma possono terminare con 0 (cioè, per noi, con 20) o con 4. Ogni blocco accettabile che termini con 0 deve iniziare con 20 o con 2420 o con 420 e può essere seguito da una quantità di 2420 consecutivi che varia da 0 a 1.011 per 20 e da 0 a 1.010 per 2420 e 420, per un totale di 3.034 possibilità. Ogni blocco accettabile che termini con 4 deve iniziare con 2024 o con 24 o con 4 e le possibilità sono 1.012 in ciascun caso, per un totale di 3.036.
Quesiti a risposta aperta
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze, Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
*How many blocks of 2024…2024 divided by 4 *
(Points 6) Consider the alignment of figures 202420242024…20242024 where the fourth order 2024 appears 1,012 times. Each block that is made up of any number of consecutive digits in this alignment and does not start with 0 identifies an integer a whole number (e.g. block 4202420, which starts with the fourth digit and ends with the tenth or the eighth and ends with the fourteenth and so on, identifies the number 4.202.420). How many integers, all different from each other, determined by eligible blocks, are divisible by 4? A) 2021 B) 2024 C) 2025 D) 6067 E) 6070
Answer: E). The solution. All the numbers that matter to us cannot end in 2 (in fact, no number of at least three digits that you end in 02 or 42 is divisible by 4), but they can end in 0 (that is, for us, with 20) or with 4. Each acceptable block that terminates with 0 must start with 20 or 2420 or 420 and may be followed by a sequence of 2420s ranging from 0 to 1,011 for 20 and from 0 to 1,010 for 2420 and 420, for a total of 3,034 possibilities. Each acceptable block that ends with 4 must start with 2024 or 24 or 4 and the odds are 1,012 in each case, for a total of 3,036.
Open-ended questions
Answer: E src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q09
Numero di tre cifre divisibile per 4 con massima somma cifre
(Punti 4) Tra i numeri interi che hanno tre cifre e sono divisibili per 4, qual è quello per il quale la somma delle cifre è la più alta possibile? Risposta: 0988. Soluzione. La somma più alta possibile delle cifre di un numero di tre cifre è 27 (999); il numero (pari) 998 non è divisibile per 4: occorre dunque diminuire ancora di un’unità (e 898 non è divisibile per 4).
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze, Principio di estremalita Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0988 Fonte: apri PDF p.3
Number of three digits divisible by 4 with maximum sum of digits
(Points 4) Of the three-digit integers that are divisible by 4, which is the highest possible sum of the digits? The answer is 0988. The solution. The highest possible sum of the digits of a three-digit number is 27 (999); the number (pares) 998 is not divisible by 4: it must therefore be further reduced by one unit (and 898 is not divisible by 4).
Answer: 0988 src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q10
Francobolli nella prima busta (ricorrenza di Fibonacci a ritroso)
(Punti 5) Ci sono sei buste numerate allineate: dalla terza in poi, ognuna contiene tanti francobolli quanti ne contengono complessivamente le due immediatamente precedenti. La sesta contiene 71 francobolli, la quinta ne contiene 43. Quanti francobolli contiene la prima? Risposta: 0002. Soluzione. Procedendo a ritroso, la quarta ne contiene 71 – 43 = 28, la terza 43 – 28 = 15, la seconda 28 – 15 = 13, la prima 15 – 13 = 2.
Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0002 Fonte: apri PDF p.3
*Francobolli in the first envelope (recurrence of Fibonacci backwards) *
(Points 5) There are six numbered envelopes lined up: from the third to the next, each contains as many stamps as the two immediately preceding ones combined. The sixth contains 71 stamps, the fifth contains 43. How many stamps does the first one have? Answer: 0002. The solution. Proceeding backwards, the fourth contains 71 43 = 28, the third 43 28 = 15, the second 28 15 = 13, the first 15 13 = 2.
Answer: 0002 src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q11
Numero di facce di un 2024-antiprisma
(Punti 5) Un n-antiprisma è un solido come quello suggerito dalla figura. Ha una base inferiore e una base superiore che sono poligoni regolari congruenti di n lati e una superficie laterale costituita da triangoli ottenuti congiungendo ogni coppia di vertici adiacenti di ciascuna base con uno dei vertici dell’altra, sempre come suggerito dalla figura. Quante facce ha, comprese le basi, un 2024- antiprisma? Risposta: 4050. Soluzione. Ogni lato di ogni base genera una e una sola faccia della superficie laterale.
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 4050 Fonte: apri PDF p.3
Number of faces of a 2024-antiprism
(Points 5) An n-antiprism is a solid like the one suggested in the figure. It has a lower base and an upper base which are regular polygons congruent on n sides and a lateral surface consisting of triangles obtained by joining each pair of adjacent vertices of each base with one of the vertices of the other, as also suggested by the figure. How many faces, including the basics, does a 2024-antiprism have? The answer is 4050. The solution. Each side of each base generates one and only one face of the side surface.
Answer: 4050 src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q12
Somma cifre del prodotto di 9 numeri 2 o 3 tra 600 e 1000
(Punti 6) Ho moltiplicato fra loro 9 numeri: ognuno di essi è 2 oppure 3. Il risultato di tale operazione è un numero compreso fra 600 e 1.000. Qual è la somma delle cifre di questo numero? Risposta: 0021. Soluzione. Si ha 29 = 512 < 600, dunque almeno uno dei fattori deve essere 3. D’altra parte, se almeno due fattori fossero 3, il prodotto sarebbe maggiore o uguale a 9 × 27 > 1.000. Allora 8 fattori sono 2 e uno solo è 3, con 768 come risultato dell’operazione.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0021 Fonte: apri PDF p.3
Summary of product figures of 9 numbers 2 or 3 between 600 and 1000
(Points 6) I’ve multiplied 9 numbers between them: each of them is 2 or 3. The result of this operation is a number between 600 and 1,000. What is the sum of the numbers in this number? The answer is 0021. The solution. You have 29 = 512 < 600, so at least one of the factors must be 3. On the other hand, if at least two factors were 3, the product would be greater than or equal to 9 × 27 > 1000. So 8 factors is 2 and only one is 3, with 768 as the result of the operation.
Answer: 0021 src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q13
Somma minima di sei numeri coprimi sulle facce di un cubo
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\def\s{0.8}
\draw[thick] (\s*0.5,-\s*0.5) rectangle (\s*1.5,\s*0.5); \node at (\s*1,0) {2};
\draw[thick] (-\s*0.5,-\s*1.5) rectangle (\s*0.5,-\s*0.5); \node at (0,-\s) {1};
\draw[thick] (\s*0.5,-\s*1.5) rectangle (\s*1.5,-\s*0.5); \node at (\s,-\s) {3};
\draw[thick] (\s*1.5,-\s*1.5) rectangle (\s*2.5,-\s*0.5); \node at (\s*2,-\s) {5};
\draw[thick] (\s*2.5,-\s*1.5) rectangle (\s*3.5,-\s*0.5); \node at (\s*3,-\s) {7};
\draw[thick] (\s*0.5,-\s*2.5) rectangle (\s*1.5,-\s*1.5); \node at (\s,-\s*2) {4};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Punti 6) Su ogni faccia di un cubo è scritto un numero intero positivo e i sei numeri sono tutti diversi fra loro. Sai che, comunque tu consideri due facce adiacenti, l’unico divisore comune ai due numeri che vi compaiono è 1. Quanto deve valere, al minimo, la somma dei sei numeri? Ricordiamo che si dice che due facce sono adiacenti se hanno uno spigolo in comune. Risposta: 0022. Soluzione. È chiaro che il numero 6 non può venire impiegato in quanto si verrebbe necessariamente a trovare in una faccia adiacente a quella con 2 o a quella con 3 o a quella con 4.
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria solida Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0022 Fonte: apri PDF p.3
Minimum sum of six numbers covered on the faces of a cube
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\def\s{0.8}
\draw[thick] (\s*0.5,-\s*0.5) rectangle (\s*1.5,\s*0.5); \node at (\s*1,0) {2};
\draw[thick] (-\s*0.5,-\s*1.5) rectangle (\s*0.5,-\s*0.5); \node at (0,-\s) {1};
\draw[thick] (\s*0.5,-\s*1.5) rectangle (\s*1.5,-\s*0.5); \node at (\s,-\s) {3};
\draw[thick] (\s*1.5,-\s*1.5) rectangle (\s*2.5,-\s*0.5); \node at (\s*2,-\s) {5};
\draw[thick] (\s*2.5,-\s*1.5) rectangle (\s*3.5,-\s*0.5); \node at (\s*3,-\s) {7};
\draw[thick] (\s*0.5,-\s*2.5) rectangle (\s*1.5,-\s*1.5); \node at (\s,-\s*2) {4};
\end{tikzpicture}
\end{document}(Points 6) A positive integer is written on each side of a cube, and the six numbers are all different from each other. You know, whatever you consider two adjacent faces, the only common divisor of the two numbers that you see is 1. What is the minimum value of the sum of the six numbers? Remember, they say two faces are adjacent if they have a joint. The answer is 0022. The solution. It is clear that the number 6 cannot be used because it would necessarily be found on a face adjacent to the one with 2 or the one with 3 or the one with 4.
Answer: 0022 src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q14
Minimo numero di numeri da dire per cancellare 2..60
(Punti 6) Ho scritto su un foglio tutti i numeri interi da 2 a 60 inclusi. Ho poi dato il foglio ad un amico insieme alla seguente istruzione: ogni volta che io dico un numero, devi cancellare dal foglio quel numero e tutti i suoi multipli. Voglio che, alla fine, tutti i numeri scritti sul foglio siano cancellati. Quanti numeri, al minimo, devo dire?
2
1 3 5 74
Risposta: 0017. Soluzione. Devo chiedergli di cancellare tutti i numeri primi minori di 60, cioè quelli che non hanno divisori diversi da 1 e da sé stessi.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0017 Fonte: apri PDF p.3
Minimum number of numbers to say to delete 2.60
(Points 6) I wrote all the integers from 2 to 60 on a sheet. I then gave the sheet to a friend along with the following instruction: every time I say a number, you have to delete that number and all its multiples from the sheet. I want all the numbers written on the paper to be deleted. How many numbers, at least, do I say?
2 1 3 5 7
4
The answer is 0017. The solution. I have to ask him to delete all prime numbers less than 60, that is, those that have no divisors other than 1 and themselves.
Answer: 0017 src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q15
In quanti modi ripartire 1..18 in coppie con somma quadrato
(Punti 7) L’insieme dei numeri interi tra 1 e 18 inclusi va ripartito in nove coppie, in modo che la somma dei due numeri che compongono ogni coppia sia un quadrato perfetto. In quanti diversi modi è possibile farlo? Risposta: 0001. Soluzione. I quadrati perfetti ottenibili sommando i due numeri delle varie coppie possono essere solo 4, 9, 16 o 25. Si vede immediatamente che alcuni accoppiamenti sono obbligati: (18, 7), (17, 8), (16, 9); inoltre, visto che 9 – 2 = 7, è obbligato anche l’accoppiamento (2, 14). Da quest’ultimo segue però che anche tutti gli altri sono obbligati: si deve avere (11, 5), dunque nell’ordine (4, 12), (13, 3), (6, 10), (1, 15).
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0001 Fonte: apri PDF p.4
How many ways to divide 1.18 into square-sum pairs
(Points 7) The set of integers between 1 and 18 included must be divided into nine pairs, so that the sum of the two numbers that make up each pair is a perfect square. How many different ways can you do that? The answer is: 0001. The solution. The perfect squares obtained by adding the two numbers of the various pairs can only be 4, 9, 16 or 25. It is immediately apparent that some couplings are mandatory: (18, 7), (17, 8), (16, 9); furthermore, since 9 2 = 7, coupling (2, 14) is also mandatory. However, it follows from the latter that all the others are also required: one must have (11, 5), hence in the order (4, 12), (13, 3), (6, 10), (1, 15).
Answer: 0001 src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q16
Prodotto del primo e ultimo intero con cubi consecutivi = 2024
(Punti 7) Sommando i cubi di alcuni numeri interi positivi consecutivi si ottiene come risultato 2024. Quanto vale il prodotto del primo con l’ultimo di questi interi? Può essere utile ricordare che, per ogni intero positivo n, la somma dei cubi dei primi n interi positivi coincide con il quadrato della somma di questi primi n interi.
Risposta: 0018. Sol. La somma dei primi n interi positivi vale n(n + 1)/2: velocemente si trova allora che 452 = 2025 è la somma dei cubi degli interi da 1 a 9. Dunque 2024 è la somma dei cubi degli interi da 2 a 9.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0018 Fonte: apri PDF p.4
Product of the first and last integers with consecutive cubes = 2024
(Points 7) Adding the cubes of some consecutive positive integers gives us a result of 2024. How much is the product of the first with the last of these integers? It may be helpful to remember that for every positive integer n, the sum of the cubes of the first positive integers coincides with the square of the sum of these first n integers. The answer is 0018. I’m not alone. The sum of the first n positive integers is n n + 1)/2: quickly finds then that 452 = 2025 is the sum of the cubes of the integers from 1 to 9. So 2024 is the sum of the cubes of integers 2 through 9.
Answer: 0018 src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q17
Per quanti secondi Aldo aspetta Bernardo (raggi ruote)
(Punti 8) Le ruote della bicicletta di Aldo hanno un raggio di 30 cm, quelle della bicicletta di Bernardo un raggio di 24 cm. Aldo e Bernardo iniziano a pedalare allo stesso istante nella stessa direzione e, a parità di tempo, il numero di giri fatti dalle loro ruote è lo stesso e si mantiene costante durante la pedalata. Dopo 15 minuti Aldo si ferma per aspettare Bernardo. Per quanti secondi lo dovrà aspettare?
Risposta: 0225. Soluzione. Il rapporto tra le lunghezze dei raggi (A/B) è 5/4, la lunghezza della circonferenza è proporzionale al raggio dunque la proporzione inversa vale tra i tempi necessari a percorrere una stessa distanza. Allora per arrivare dove è arrivato Aldo, a Bernardo serve 5/4 del tempo impiegato da Aldo, dunque 1/4 in più del tempo da lui impiegato finora.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0225 Fonte: apri PDF p.4
For how many seconds Aldo is waiting for Bernardo
The wheels of Aldo’s bicycle have a radius of 30 cm, those of Bernardo’s bicycle a radius of 24 cm. Aldo and Bernardo start to pedal at the same time in the same direction and, at the same time, the number of turns made by their wheels is the same and remains constant during the pedal. After 15 minutes, Aldo stops to wait for Bernardo. How many seconds will you have to wait for him? The answer is 0225. The solution. The ratio of the lengths of the beams (A/B) is 5/4, the length of the circumference is proportional to the radius, so the inverse ratio is between the time required to travel the same distance. So to get to where Aldo got to, Bernardo needs 5/4 of Aldo’s time, so 1/4 more than he has so far.
Answer: 0225 src_kangourou_2024_benjamin_semifinale__Q18