Valore di una frazione numerica
Qual è il valore della frazione ? A) 0,01 B) 0,1
C) 1
D) 10
E) 100
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
Value of a number fraction
What ‘s the value of the fraction ? A) 0,01 B) 0,1
C) 1
D) 10
E) 100
Answer: A src_kangourou_2024_junior__Q01
Chi vince la gara di salto (rapporto altezza saltata/propria)
In una particolare gara di salto in alto, vince l’atleta per il quale è maggiore il rapporto fra l’altezza saltata e la propria altezza. La figura, dove in ascisse vi sono le altezze degli atleti e in ordinate le altezze dei rispettivi salti eseguiti, descrive le prestazioni dei cinque atleti A, B, C, D, E. Chi ha vinto la gara? A) A B) B C) C D) D E) E
Topic: Geometria analitica, Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.1
*Winner of the jump race (jumped/own height ratio) *
In a particular high jump competition, the athlete for whom the ratio of jumped height to his height is greater wins. The figure, where the heights of the athletes are listed in ascents and the heights of the respective jumps performed are listed in order, describes the performance of the five athletes A, B, C, D, E. Who won the race? A) A B) B C) C D) D E) E
Answer: A src_kangourou_2024_junior__Q02
Quale vertice del dado ha il valore piu alto
La figura mostra un dado regolare: tutti i punteggi da 1 a 6 vi compaiono, uno per faccia, e la somma dei punteggi su facce op poste è sempre 7. Per ogni vertice del cubo, diciamo che il suo valore è la somma dei punteggi che compaiono sulle tre facce che vi concorrono: ad esempio, il valore del vertice P è 1 + 2 + 3 = 6. Tra i valori dei vertici Q, R e S indicati, quale è il più alto? A) 7
B) 9
C) 10
D) 11
E)12
Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Abilita: Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
Which of the vertices of the dice has the highest value
The figure shows a regular dice: all scores from 1 to 6 appear, one per face, and the sum of the scores on opposite faces is always 7. For each vertex of the cube, let’s say its value is the sum of the points that appear on the three faces that compete with it: for example, the value of the vertex P is 1 + 2 + 3 = 6. Of the values of the Q, R and S vertices indicated, which is the highest? A) 7
B) 9
C) 10
D) 11
E)12
Answer: D src_kangourou_2024_junior__Q03
Quante piastrelle toccate da entrambe le zampe
Su un lungo percorso di 2024 piastrelle allineate un canguro si diverte saltellando in questo modo: tocca la prima piastrella solo con una zampa, la seconda con entrambe le zampe, la terza solo con l’altra zampa, la quarta con entrambe le zampe, salta com pletamente la quinta e poi ripete questo schema fino all’ultima piastrella. Quante sono le piastrelle toccate da entrambe le zampe? A) 674 B) 676 C) 804 D) 810 E) 1012
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF p.1
How many tiles touched by both legs
On a long route of 2024 aligned tiles, a kangaroo enjoys jumping like this: he touches the first tiles with only one leg, the second with both legs, the third with only the other leg, the fourth with both legs, he completely jumps the fifth and then repeats this pattern until the last tiles. How many tiles have both legs touched? A) 674 B) 676 C) 804 D) 810 E) 1012
Answer: D src_kangourou_2024_junior__Q04
Lunghezza del piu breve percorso ripassando i segmenti
In figura sono indicate le lunghezze in centimetri di sei segmenti che escono da uno stesso punto, vuoi ripassare il disegno con una penna, senza mai staccarla dal foglio (quindi eventualmente riper correndo qualche segmento). Quanti centimetri deve essere lungo il più breve percorso possibile della punta della tua penna? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 2 x 0,24
20 x 2,4 Altezza dell’atleta Altezza saltata dall’atleta A B C D E P R Q S 1 3 2 1 1 2
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.1
Length of the shortest route by passing segments
The figure shows the lengths in centimetres of six segments coming out of the same point. You want to cross the drawing with a pen, without ever pulling it off the sheet (so you can cross some segments). How many centimeters must be the shortest possible path of the tip of your pen? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 2 x 0.24 -------------- 20 x 2.4 Athlete height Height skipped by the athlete A B C D E P R Q S 1 3 2 1 1 2
Answer: B src_kangourou_2024_junior__Q05
Rapporto tra area nera e area grigia (quadrato con 4 cerchi)
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw[fill=gray!20] (-2,-2) rectangle (2,2);
\begin{scope}
\clip (-2,-2) rectangle (2,2);
\fill[black] (-2,-2) rectangle (2,2);
\fill[white] (-1,-1) circle (1);
\fill[white] ( 1,-1) circle (1);
\fill[white] (-1, 1) circle (1);
\fill[white] ( 1, 1) circle (1);
\end{scope}
\draw[fill=white] (-1,-1) circle (1);
\draw[fill=white] ( 1,-1) circle (1);
\draw[fill=white] (-1, 1) circle (1);
\draw[fill=white] ( 1, 1) circle (1);
\draw (-2,-2) rectangle (2,2);
\end{tikzpicture}
\end{document}La figura mostra un quadrato che contiene quattro cerchi tutti della stessa area, ognuno tangente a due lati del quadrato e ad altri due cerchi. Qual è il rapporto fra l’area della regione in nero e quella della regione in grigio? A) 1 : 4 B) 1 : 3 C) 2 : 3 D) 3 : 4 E) π : 1
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
*Ratio between black area and grey area (square with 4 circles) *
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\draw[fill=gray!20] (-2,-2) rectangle (2,2);
\begin{scope}
\clip (-2,-2) rectangle (2,2);
\fill[black] (-2,-2) rectangle (2,2);
\fill[white] (-1,-1) circle (1);
\fill[white] ( 1,-1) circle (1);
\fill[white] (-1, 1) circle (1);
\fill[white] ( 1, 1) circle (1);
\end{scope}
\draw[fill=white] (-1,-1) circle (1);
\draw[fill=white] ( 1,-1) circle (1);
\draw[fill=white] (-1, 1) circle (1);
\draw[fill=white] ( 1, 1) circle (1);
\draw (-2,-2) rectangle (2,2);
\end{tikzpicture}
\end{document}The figure shows a square containing four circles all of the same area, each tangent to two sides of the square and to two other circles. What is the relationship between the area of the black region and that of the grey region? A) 1 : 4 B) 1 : 3 C) 2 : 3 D) 3 : 4 E) π : 1
Answer: B src_kangourou_2024_junior__Q06
Massima area del rettangolo con perimetro 40 e lati primi
Il perimetro di un rettangolo è 40 metri e le misure in metri dei suoi lati sono espres se da numeri interi primi. Di quanti metri quadrati può essere al massimo la sua area? A) 99
B) 96
C) 91
D) 84
E) 51
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.2
Maximum area of rectangle with perimeter 40 and front sides
The perimeter of a rectangle is 40 metres and the measurements in metres of its sides are expressed as prime integers. How many square meters can its area be at most? A) 99
B) 96
C) 91
D) 84
E) 51
Answer: C src_kangourou_2024_junior__Q07
Coppia di aree per cerchio inscritto e circoscritto a un quadrato
Quale fra le seguenti coppie (ordinate) di numeri positivi può esprimere le aree (nell’ordine) del cerchio inscritto e del cerchio circoscritto ad uno stesso quadrato? A) (3/2, 3) B) (π, 4π) C) (√π, π) D) (π, π2) E) (2/5, 3)
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
Pair of areas per circle inscribed and enclosed in a square
Which of the following pairs (orders) of positive numbers can express the areas (in order) of the inscribed circle and the circumscribed circle in the same square? A) (3/2, 3) B) (π, 4π) C) (√π, π) D) (π, π2) E) (2/5, 3)
Answer: A src_kangourou_2024_junior__Q08
Somma cifre del piu grande palindromo ABA multiplo di 6
Un numero (intero positivo) palindromo di tre cifre è della forma ABA, dove A può essere una cifra qualunque diversa da 0 e B una cifra qualunque (anche coincidente con A). Considera il più grande di tali numeri che sia anche un multiplo di 6: quanto vale la somma delle sue cifre? A) 12
B) 18
C) 20
D) 21
E) 24
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF p.2
Sum of digits of the largest ABA palindrome multiple of 6
A three-digit palindrome number (positive integer) is of the form ABA, where A can be any number other than 0 and B any number (also coinciding with A). Consider that the largest of these numbers is also a multiple of 6: what is the sum of its digits worth? A) 12
B) 18
C) 20
D) 21
E) 24
Answer: E src_kangourou_2024_junior__Q09
Misura dell’angolo alfa (quadrato e esagono regolare)
La figura mostra un quadrato ABCD di centro O e un esa gono regolare, uno dei cui lati è OC. Qual è la misura in gradi dell’angolo indicato con α? A) 105 B) 110 C) 115 D) 120 E) 125 I quesiti dal N. 11 al N. 20 valgono 4 punti ciascuno
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.2
*Measure of the alpha angle (square and regular hexagon) *
The figure shows an ABCD square of center O and a regular exon, one of which is OC. What is the degree of the angle indicated by α? A) 105 B) 110 C) 115 D) 120 E) 125 Questions from N. 11 al N. 20 is worth 4 points each.
Answer: A src_kangourou_2024_junior__Q10
Minimo numero di carte da muovere per rendere corretta l’uguaglianza
La figura mostra sei carte su ciascuna delle quali è riportato uno dei numeri interi 1, 2, 3. Fra la se conda e la terza carta vi è un segno di prodotto, e così pure fra la quarta e la quinta. Il numero sulla carta più alta delle altre va interpretato come esponente per quello sulla carta che la precede: così, allo stato attuale, l’operazione indicata si leggerebbe 23 × 11 × 23 = 2024, dunque l’uguaglianza sarebbe scorretta. Puoi muovere ogni sin gola carta solo in verticale, da base a esponente o viceversa. Qual è il minimo numero di carte muovendo le quali puoi rendere corretta l’uguaglianza? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
Minimum number of cards to move to correct equality
The figure shows six cards on each of which one of the integers 1, 2, 3 is shown. Between the second and the third paper there is a product mark, and so also between the fourth and fifth. The number on the paper higher than the others should be interpreted as an exponent for the number on the paper preceding it: thus, at present, the operation indicated would be 23 × 11 × 23 = 2024, so the equality would be incorrect. You can move each paper hole only vertically, base to exponent or vice versa. What is the minimum number of cards you can move to correct the equality? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Answer: B src_kangourou_2024_junior__Q11
In quanti modi riempire la griglia 2x4 con A,B,C,D
Vuoi riempire la griglia 2 × 4 in figura inserendo una delle quattro lettere A, B, C, D in ogni cella, in modo che in ogni riga e in ognuno dei tre quadrati 2 × 2 visualizzabili nella griglia compaiano tutte le quattro lettere. In quanti diversi modi puoi farlo? A) 12
B) 24
C) 48
D) 96
E) 198 2 3 × 1 1 2 3 = 2024 ×
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.2
How many ways to fill the 2x4 grid with A,B,C,D
You want to fill grid 2 × 4 in the figure by inserting one of the four letters A, B, C, D in each cell, so that in each row and in each of the three squares 2 × 2 that you can see in the grid appear all four letters. How many different ways can you do that? A) 12
B) 24
C) 48
D) 96
E) 198 2 3 × 1 1 2 3 = 2024 ×
Answer: B src_kangourou_2024_junior__Q12
Rapporto tra corona nera in fig1 e regione nera in fig2
Un cerchio bianco è sovrapposto a uno grigio che a sua volta è sovrapposto ad uno nero come indica la figura 1. Nella figura 2 gli stessi tre cer chi appaiono mutuamente tangenti, il grigio e il bianco esternamente, ed entrambi internamente al nero. L’area della corona circolare nera che appare nella figura 1 è 7 volte l’area del cerchio bianco. Qual è il rapporto fra l’area della corona circolare nera in figura 1 e l’area della regione nera in figura 2? A) 3 : 1 B) 4 : 3 C) 6 : 5 D) 7 : 6 E) 9 : 7
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.3
Relation between black crown in Fig1 and black region in Fig2
A white circle is superimposed on a gray circle which in turn is superimposed on a black circle as shown in Figure 1. In Figure 2 the same three figures appear tangent to each other, grey and white externally, and both internally black. The area of the black circular crown shown in Figure 1 is 7 times the area of the white circle. What is the relationship between the area of the black circular crown in Figure 1 and the area of the black region in Figure 2? A) 3 : 1 B) 4 : 3 C) 6 : 5 D) 7 : 6 E) 9 : 7
Answer: D src_kangourou_2024_junior__Q13
Piu piccolo n con S(n)>=100 (quozienti 2020../2424..)
Considera la somma S(n) degli n addendi
+il k-esimo addendo, per ogni k da 1 a n, è il quoziente fra l’intero 2020…20 e l’intero 2424…24, nella scrittura dei quali rispettivamente 20 e 24 compaiono k volte. Qual è il più piccolo valore di n tale che si abbia S(n) ≥ 100? A) 100 B) 112 C) 120 D) 144 E) Nessuno dei precedenti
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Somme telescopiche Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
*Little number of n with S(n)>=100 (coefficients 2020../2424..) *
Consider the sum of the n additions
- the k-eighth by adding, for every k from 1 to n, is the quotient between the whole 2020…20 and the whole 2424…24, in writing of which 20 and 24 respectively appear k times. What is the smallest value of n such that we have S(n) ≥ 100? A) 100 B) 112 C) 120 D) 144 E) None of the above
Answer: C src_kangourou_2024_junior__Q14
Perimetro del triangolo ABC da tre segmenti paralleli ai lati
In figura sono rappresentati un triangolo equilatero ABC e un punto P interno a esso. Da P sono tracciati, parallelamente ai lati, tre segmenti che hanno, ciascuno, il secondo estremo su un lato del triangolo. La figura indica anche le lunghezze dei tre segmenti. Quanto misura il perimetro del triangolo ABC ? A) 22 B) 26
C) 33 D) 39 E) 44
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Perimeter of triangle ABC from three segments parallel to the sides
In the figure an ABC equilateral triangle and a point P within it are represented. From P, three segments are plotted parallel to the sides, each having the second end on one side of the triangle. The figure also indicates the lengths of the three segments. What ‘s the perimeter of the ABC triangle ? A) 22 B) 26
C) 33 D) 39 E) 44
Answer: C src_kangourou_2024_junior__Q15
Prodotto degli 8 dischetti esterni dai prodotti dei quadrati
In ognuno dei 12 dischetti in figura era stato scritto un nume ro. Poi tutti i 12 numeri sono stati cancellati: ora in ognuno dei 5 quadrati che hanno i propri vertici coperti da altrettanti dischetti è stato riportato il prodotto dei numeri che erano stati scritti nei relativi dischetti. Quanto vale il prodotto dei numeri che erano stati scritti negli 8 dischetti esterni, quelli marcati in grigio? A) 20 B) 40
C) 80 D) 120 E) 480
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.3
Product of the 8 external discs from the products of the squares*
Each of the 12 disks in the figure had a name written on it. Then all 12 numbers were deleted: now in each of the 5 squares that have their vertices covered by as many disks the product of the numbers that had been written in the respective disks was returned. How much is the product of the numbers that had been written on the eight outer disks, those marked in gray? A) 20 B) 40
C) 80 D) 120 E) 480
Answer: B src_kangourou_2024_junior__Q16
Quanti gettoni in totale nelle quattro scatole autoreferenziali
Ci sono quattro scatole numerate da 1 a 4. Per n = 1, 2, 3, la scatola numerata con n contiene tanti gettoni quante sono le scatole che contengono n gettoni. La scatola numero 4 contiene tanti gettoni quanto è il numero delle scatole che non contengono gettoni. Quanti gettoni ci sono complessivamente nelle scatole? A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.3
Total number of tokens in the four self-reference boxes
There are four boxes numbered 1 to 4. For n = 1, 2, 3, the box numbered with n contains as many tokens as the boxes containing n tokens. Box number 4 contains as many tokens as the number of boxes that do not contain tokens. How many tokens are there in the boxes? A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Answer: C src_kangourou_2024_junior__Q17
Valore di n (cubetti con una faccia = senza facce dipinte)
Ho accostato n3 cubetti identici fra loro (con n numero intero positivo) e ho otte nuto un cubo grande. Poi ho dipinto la superficie esterna del cubo grande; infine ho scomposto di nuovo il cubo nei cubetti iniziali. Il numero di cubetti che presentano esattamente una faccia dipinta coincide con il numero di cubetti che non hanno alcuna faccia dipinta. Qual è il numero n ? A) 4
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10 20
24 2020
2424 202020 ------------ + … + 242424 2020…20 --------------- :
2424…24 A P 3 2 6 A B C 10 4 12 6 24
Topic: Algebra, Geometria solida Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.4
*Value of n (cube with one face = no painted face) *
I’ve approximated n3 identical cubes to each other (with a positive integer) and I’ve obtained a large cube. Then I painted the outer surface of the large cube; finally I again broke down the cube into the initial cubes. The number of cubes that have exactly a painted face coincides with the number of cubes that have no painted face. What ‘s number n ? A) 4
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10 20 ---- 24 2020 -------- 2424 202020 ------------ + … + 242424 2020…20 --------------- : 2424…24 A P 3 2 6 A B C 10 4 12 6 24
Answer: D src_kangourou_2024_junior__Q18
Quale quaterna non contiene numeri usati (somme multiple di 3)
Cristina ha collocato 8 interi positivi, tutti diversi fra loro e scelti fra i primi 12, ciascuno in un vertice di un ottagono regolare in modo che, per ogni coppia di vertici adiacenti, la somma dei numeri che vi compaiono è risultata essere un multiplo di 3. Quale delle seguenti quaterne non contiene numeri che Cristina ha usato? A) 1, 5, 9, 12 B) 3, 5, 7, 9 C) 1, 2, 11, 12 D) 5, 6, 7, 8 E) 3, 6, 9, 12
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF p.4
*Which quadrant contains no numbers used (multiple sums of 3) *
Cristina placed 8 positive integers, all different from each other and chosen from the top 12, each in a vertex of a regular octagon so that, for each pair of adjacent vertices, the sum of the numbers that appear there turned out to be a multiple of 3. Which of the following four doesn’t contain numbers that Cristina used? A) 1, 5, 9, 12 B) 3, 5, 7, 9 C) 1, 2, 11, 12 D) 5, 6, 7, 8 E) 3, 6, 9, 12
Answer: E src_kangourou_2024_junior__Q19
Distanza dei vertici A e B del solido dallo sviluppo piano
La figura a sinistra ti mostra lo sviluppo pia no del solido che compare nella figura a destra. Lo sviluppo è costituito dall’accostamento di quattro quadrati tutti di lato 1 cm con due qua terne di triangoli equilateri. Di quanti centimetri è la distanza dei vertici A e B del solido che sono indicati in figura? A) √5
B) (1 + √2) C) 5/2 D) (1 + √3) E) 2√2 I quesiti dal N. 21 al N. 30 valgono 5 punti ciascuno
Topic: Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.4
Distance of solid vertices A and B from the development plane
The figure on the left shows the development of the solid as shown in the figure on the right. The development consists of the approximation of four squares, all of which are 1 cm on the side, with two quarters of equilateral triangles. How many centimeters is the distance between the solids A and B shown in the figure? A) √5
(b) (1 + √2) C) 5/2 D) (1 + √3) E) 2√2 Questions from N. 21 al N. 30 is worth 5 points each.
Answer: B src_kangourou_2024_junior__Q20
Esponente di 17 nella fattorizzazione di n!
Per un certo numero intero positivo n, Daria ha scritto la fattorizzazione in interi primi di n! = 1 × 2 × … (n – 1) × n: gli interi primi sono in ordine crescente e ognuno compare elevato al massimo esponente possibile. Due macchie hanno coperto alcuni degli interi primi e alcuni esponenti, in particolare l’esponente di 17. Quale è questo esponente? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5 23. La somma S delle cifre di un numero intero positivo N è il triplo della somma delle cifre del numero N + 1. Qual è il valore minimo possibile per S ? A) 9
B) 12
C) 15
D) 18
E) 27 24. Giulia ha alcuni cubetti neri, alcuni grigi e alcuni bianchi, tutti della stessa taglia e ne vuole usare 27 per costruire un cubo 3 × 3 × 3. Vuole anche che la superficie di questo cubo grande sia per un terzo nera, per un terzo grigia e per un terzo bianca. Se A e B sono rispettivamente il più piccolo e il più grande numero di cubetti neri che può usare per raggiungere lo scopo, quanto vale la differenza B – A ? A) 1
B) 3
C) 6
D) 7
E) 9 249 · 323 · 512 · 78 · 114 · 134 · 173 · 192 · 232 · 29 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF p.5
Exponent of 17 in the factorization of n!
For a certain positive integer n, Daria wrote the factorization into integers of n! = 1 × 2 × … (n 1) × n: the prime integers are in increasing order and each appears as high as possible exponentially. Two spots have covered some of the prime integers and some exponents, particularly the 17 exponent. What’s this exponent? A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5 23. The sum S of the digits of a positive integer N is triple the sum of the digits of the number N + 1. What ‘s the minimum possible value for S ? A) 9
B) 12
C) 15
D) 18
E) 27 24. Giulia has some black cubes, some grey and some white cubes, all the same size, and she wants to use 27 of them to build a cube 3 × 3 × 3. He also wants the surface of this large cube to be one third black, one third gray and one third white. If A and B are respectively the smallest and largest number of black cubes you can use to achieve your goal, how much is the difference B A worth? A) 1
B) 3
C) 6
D) 7
E) 9 249 · 323 · 512 · 78 · 114 · 134 · 173 · 192 · 232 · 29 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47
Answer: C src_kangourou_2024_junior__Q21
Quale affermazione Carlo non puo aver fatto (verita a giorni alterni)
A giorni alterni, Carlo dice la verità o mente per l’intera giornata. In un certo gior no, Carlo ha fatto esattamente quattro delle seguenti affermazioni. Quale non può avere fatto in quel giorno?
A) Ho mentito ieri e mentirò domani.
B) Sto dicendo la verità oggi e la dirò domani.
C) 2024 è divisibile per 11.
D) Ieri era mercoledì.
E) Domani sarà sabato.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF p.4
*Which statement Carlo cannot have made (true on other days) *
On alternate days, Charles tells the truth or lies all day long. In one newspaper, Carlo made exactly four of the following statements. Which one couldn’t have done that day?
A) I lied yesterday and I will lie tomorrow.
B) I am telling the truth today and I will tell it tomorrow.
C) 2024 is divisible by 11.
D) Yesterday was Wednesday.
E) Tomorrow is Saturday.
Answer: C src_kangourou_2024_junior__Q22
Valore minimo di S con S tripla della somma cifre di N+1
- La somma S delle cifre di un numero intero positivo N è il triplo della somma delle cifre del numero N + 1. Qual è il valore minimo possibile per S ? A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 27
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF p.5
Minimum value of S with S three times the sum of the digits of N+1
- The sum S of the digits of a positive integer N is triple the sum of the digits of the number N + 1. What ‘s the minimum possible value for S ? A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 27
Answer: B src_kangourou_2024_junior__Q23
Differenza B-A di cubetti neri (cubo 3x3x3 tricolore)
- Giulia ha alcuni cubetti neri, alcuni grigi e alcuni bianchi, tutti della stessa taglia e ne vuole usare 27 per costruire un cubo 3 × 3 × 3. Vuole anche che la superficie di questo cubo grande sia per un terzo nera, per un terzo grigia e per un terzo bianca. Se A e B sono rispettivamente il più piccolo e il più grande numero di cubetti neri che può usare per raggiungere lo scopo, quanto vale la differenza B – A ? A) 1 B) 3 C) 6 D) 7 E) 9 249 ·3 23 ·5 12 ·7 8 ·1 14 ·1 34 ·1 73 ·1 92 ·2 32 ·2 9· 31 ·3 7· 41 ·4 3· 47 22. A giorni alterni, Carlo dice la verità o mente per l’intera giornata. In un certo gior- no, Carlo ha fatto esattamente quattro delle seguenti affermazioni. Quale non può av
Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF p.5
*Differential B-A of black cubes (three-colored 3x3x3 cube) *
- Giulia has some black cubes, some grey and some white cubes, all the same size, and she wants to use 27 of them to build a cube 3 × 3 × 3. He also wants the surface of this large cube to be one third black, one third gray and one third white. If A and B are respectively the smallest and largest number of black cubes you can use to achieve your goal, how much is the difference B A worth? A) 1 B) 3 C) 6 D) 7 E) 9 249 ·3 23 ·5 12 ·7 8 ·1 14 ·1 34 ·1 73 ·1 92 ·2 32 ·2 9· 31 ·3 7· 41 ·4 3· 47 22. On alternate days, Charles tells the truth or lies all day long. In a certain journal, Charles made exactly four of the following statements. Which cannot have
Answer: D src_kangourou_2024_junior__Q24
3)
In figura vedi un quadrato ABCD di 5 cm di lato. Ognuno dei quattro segmenti che contiene, paralleli a coppie, ha estremi su lati opposti e lo ripartisce in due trapezi le cui aree sono in rapporto 2 : 3. Il segmento CL e il segmento DK sono entrambi lunghi 1 cm. Di quanti centimetri quadrati è l’area del quadrilatero EFGH ? A) 25/29 B) 26/29 C) 24/29
D) 27/29 E) 28/29
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF p.5
3)
In the figure you see a square ABCD of 5 centimeters on the side. Each of the four segments it contains, parallel to the pair, has opposite ends and divides it into two trapezoids whose areas are in the ratio of 2 to 3. The CL segment and the DK segment are both 1 cm long. How many square centimetres is the area of the EFGH quadrilateral ? A) 25/29 B) 26/29 C) 24/29
D) 27/29 E) 28/29
Answer: A src_kangourou_2024_junior__Q25
Frazione del tempo a 4 km/h (passeggiata a tre velocita)
Matilde è andata a fare una passeggiata. Per la prima metà del tempo totale impie gato ha camminato alla velocità di 2 km/h, poi su metà del percorso totale compiuto ha tenuto la velocità di 3 km/h e infine per il tempo rimanente a completare il percorso ha tenuto la velocità di 4 km/h. Per quale frazione del tempo totale impiegato ha te nuto la velocità di 4 km/h? A) 1/14 B) 1/12 C) 1/7 D) 1/5 E) 1/4
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF p.5
*Fraction of time at 4 km/h (run at three speeds) *
Matilde went for a walk. For the first half of the total time the employee walked at a speed of 2 km/h, then for half of the total route he kept the speed of 3 km/h and finally for the remaining time to complete the route he kept the speed of 4 km/h. For what fraction of the total time spent has the speed of 4 km/h been maintained? A) 1/14 B) 1/12 C) 1/7 D) 1/5 E) 1/4
Answer: A src_kangourou_2024_junior__Q26
Minimo numero di interi da togliere da 1..25 per due prodotti uguali
Considera l’insieme dei numeri interi da 1 a 25, estremi compresi. Ne vuoi toglie re alcuni in modo da poter ripartire l’insieme dei rimanenti in due sottoinsiemi con questo vincolo: il prodotto dei numeri appartenenti a uno dei due deve coincidere con quello dei numeri appartenenti all’altro. Qual è il più piccolo numero di interi toglien do i quali puoi raggiungere lo scopo? A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF p.5
Minimum number of integers to be removed from 1.25 for two identical products
Consider the set of integers 1 to 25, including extremes. You want to remove some of them so that you can divide the sum of the remaining numbers into two subsets with this constraint: the product of the numbers belonging to one of the two must coincide with that of the numbers belonging to the other. What is the smallest number of integers that you can achieve? A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Answer: B src_kangourou_2024_junior__Q27
Quante corde di lunghezza tra raggio e diametro (20-gono)
Su una circonferenza sono segnati 20 punti, vertici di un poligono regolare di 20 lati. Se per ogni coppia di questi punti si traccia la corda che li ha come estremi, quan te delle corde tracciate hanno lunghezza superiore al raggio, ma inferiore al diametro, della circonferenza? A) 90
B) 100 C) 120 D) 140 E) 160
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF p.5
*How many strings of length between radius and diameter (20-gones) *
On a circumference are marked 20 points, vertices of a regular 20-sided polygon. If for each pair of these points the rope is drawn which has them as ends, when are the lines drawn longer than the radius but less than the diameter of the circumference? A) 90
B) 100 C) 120 D) 140 E) 160
Answer: C src_kangourou_2024_junior__Q28
Piu piccolo n di rette con intersezioni assegnate
Si sa che vi sono n rette distinte nel piano e che una di esse interseca esattamente altre 5 rette, un’altra ne interseca esattamente 9, una terza ne interseca esattamente 11. Quale dei seguenti è il più piccolo valore possibile per n ? A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.5
Little number of lines with assigned intersections
We know that there are different lines in the plane and that one of them intersects exactly five lines, another one intersects exactly nine lines, and a third one intersects exactly 11. Which of the following is the smallest possible value for n ? A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Answer: B src_kangourou_2024_junior__Q29
Per quante coppie (m,n) l’area del triangolo OPQ vale 2024
Siano m e n due interi positivi con m < n. Come illustrato dalla figura, rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali si considerino i tre punti P ≡ (m, n), Q ≡ (n, m) e O ≡ (0, 0). Per quante coppie (m, n) l’area del triangolo OPQ vale 2024? A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12 D A B C E F G H K L P(m, n) Q(n, m) O x y
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A A D
Topic: Geometria analitica, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF p.5
For all pairs (m,n) the area of the OPQ triangle is 2024
They are m and n positive integers with m < n. As illustrated in the figure, the three points P (m, n), Q (n, m) and O (0, 0) are considered for an orthogonal Cartesian axis system. For how many pairs (m, n) is the area of the OPQ triangle 2024? A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12 D A B C E F G H K L P(m, n) Q(n, m) O x y
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A A D
Answer: B src_kangourou_2024_junior__Q30