Lunghezza tagli quadrato max da semicerchio
I tagli Da un semicerchio di carta di raggio 100√5 si vuole ritagliare il quadrato più grande possibile. Qual è la lunghezza complessiva dei tagli che permettono di raggiungere lo scopo?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0600 Fonte: apri PDF p.1
Length of square cuts max from semicircle
The cuts From a semicircle of paper with a radius of 100√5 you want to cut the largest square possible. What is the overall length of the cuts to achieve the goal?
Answer: 0600 src_kangourou_2024_junior_squadre__Q01
Somma coefficienti polinomio dato funzionale
Un polinomio Un polinomio P è tale che P(x + 2020) = 2024 – 2x + 2P(2024) per ogni valore reale di x. Qual è la somma dei coefficienti di P?
Topic: successioni, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 2030 Fonte: apri PDF p.1
sum of coefficients of the given functional polynomial
A polynomial A polynomial P is such that P(x + 2020) = 2024 2x + 2P(2024) for every real value of x. What’s the sum of the coefficients of P?
Answer: 2030 src_kangourou_2024_junior_squadre__Q02
Quanti percorsi chiusi senza ripetere segmenti
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
% Regular hexagon, pointy-top: vertices at unit radius
% V1=(0,1), V2=(-0.866,0.5), V3=(-0.866,-0.5), V4=(0,-1), V5=(0.866,-0.5), V6=(0.866,0.5)
\draw (0,1) -- (-0.866,0.5) -- (-0.866,-0.5) -- (0,-1) -- (0.866,-0.5) -- (0.866,0.5) -- (0,1);
% Arrow indicators at midpoints of each edge (directed, all clockwise)
\draw[->] (-0.413,0.76) -- (-0.453,0.74);
\draw[->] (-0.866,0.02) -- (-0.866,-0.02);
\draw[->] (-0.453,-0.74) -- (-0.413,-0.76);
\draw[->] (0.413,-0.76) -- (0.453,-0.74);
\draw[->] (0.866,-0.02) -- (0.866,0.02);
\draw[->] (0.453,0.74) -- (0.413,0.76);
% Point A at midpoint of top-right edge (between V6=(0.866,0.5) and V1=(0,1))
\fill (0.433,0.75) circle (1.5pt) node[above] {$A$};
\end{tikzpicture}
\end{document}I percorsi
Osservate la figura. Partendo dal punto A si vuole ritornare in A percorrendo solo segmenti presenti in figura, non necessariamente tutti, ma senza percorrere più di una volta alcun segmento (pur potendo passare più di una volta per qualche estremo dei segmenti). Quanti sono i diversi percorsi possibili?
Topic: Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1458 Fonte: apri PDF p.1
How many routes are closed without repeating segments
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
% Regular hexagon, pointy-top: vertices at unit radius
% V1=(0,1), V2=(-0.866,0.5), V3=(-0.866,-0.5), V4=(0,-1), V5=(0.866,-0.5), V6=(0.866,0.5)
\draw (0,1) -- (-0.866,0.5) -- (-0.866,-0.5) -- (0,-1) -- (0.866,-0.5) -- (0.866,0.5) -- (0,1);
% Arrow indicators at midpoints of each edge (directed, all clockwise)
\draw[->] (-0.413,0.76) -- (-0.453,0.74);
\draw[->] (-0.866,0.02) -- (-0.866,-0.02);
\draw[->] (-0.453,-0.74) -- (-0.413,-0.76);
\draw[->] (0.413,-0.76) -- (0.453,-0.74);
\draw[->] (0.866,-0.02) -- (0.866,0.02);
\draw[->] (0.453,0.74) -- (0.413,0.76);
% Point A at midpoint of top-right edge (between V6=(0.866,0.5) and V1=(0,1))
\fill (0.433,0.75) circle (1.5pt) node[above] {$A$};
\end{tikzpicture}
\end{document}The paths. Look at the figure. Starting from point A, you want to return to A by traveling only segments present in the figure, not necessarily all, but without traveling more than once any segment (although you can go more than once for some end of the segments). How many different routes are possible?
Answer: 1458 src_kangourou_2024_junior_squadre__Q03
Somma due numeri 3 cifre, concat 7 volte prodotto
Due numeri interi Due numeri interi positivi di tre cifre ciascuno vengono scritti uno consecutivamente all’altro in un certo ordine: si ottiene così un numero di sei cifre che risulta essere 7 volte il prodotto dei due numeri di partenza. Quanto vale la somma di questi due numeri?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0286 Fonte: apri PDF p.1
*Two three-digit numbers summed up, seven times the sum of the numbers *
Two integers Two positive integers of three digits each are written consecutively to each other in a certain order: this gives a six-digit number that turns out to be 7 times the product of the two starting numbers. How much is the sum of these two numbers?
Answer: 0286 src_kangourou_2024_junior_squadre__Q04
Differenza aree triangoli rettangoli cateto 18
Triangoli rettangoli
Considerate tutti i triangoli rettangoli il cui cateto minore misura 18 cm e gli altri lati misurano un numero intero di centimetri. Considerate le aree (in centimetri quadrati) di questi triangoli: qual è la differenza, in centimetri quadrati, tra la maggiore e la minore di esse?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0504 Fonte: apri PDF p.1
Differential area of rectangular triangles rectangle 18
Rectangular triangles Consider all rectangular triangles whose smallest diameter is 18 cm and the other sides are an integer of centimetres. Consider the areas (in square centimeters) of these triangles: what is the difference, in square centimeters, between the largest and the smallest of them?
Answer: 0504 src_kangourou_2024_junior_squadre__Q05
Radice di N, quadrato perfetto da M con +3 cifre
I quadrati
L’intero M è un quadrato perfetto e ha quattro cifre, tutte inferiori a 7. Aggiungendo 3 a ogni cifra di M si ottiene un altro quadrato perfetto N. Quanto vale la radice quadrata (positiva) di N?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0067 Fonte: apri PDF p.1
Root of N, perfect square from M with +3 digits
The whole square M is a perfect square and has four digits, all less than 7. Adding 3 to every digit of M gives you another perfect square N. What’s the square root of N?
Answer: 0067 src_kangourou_2024_junior_squadre__Q06
Parte intera valore assoluto minima soluzione f^4
La parte intera Per ogni numero reale x si ponga f(x) = x2 + 64x + 992. Sia α la minore delle soluzioni dell’equazione f(f(f(f(x)))) = 0: determinate la parte intera del valore assoluto di α.
A
Topic: successioni, Algebra Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0033 Fonte: apri PDF p.1
*Minimum solution f^4 *
The whole part for every real number x put f(x) = x2 + 64x + 992. Whether α is the least of the solutions of the equation f(f(f(x)))) = 0: determine the whole part of the absolute value of α.
A
Answer: 0033 src_kangourou_2024_junior_squadre__Q07
Massimo N(S) tra i centini, media 100
I centini
Diciamo che un insieme finito S di numeri interi positivi è un centino se i suoi elementi sono tutti distinti fra loro, contiene il numero 2.024, la media dei suoi numeri è 100.
Per ognuno di tali insiemi S, denotiamo con N(S) il più grande dei numeri di S. Al variare di S fra i centini, quale è il maggiore dei numeri N(S)? (Se ritenete che vi siano insiemi centini S con N(S) arbitrariamente grande, rispondete 9999.)
Topic: Teoria dei Numeri, Disuguaglianze Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3126 Fonte: apri PDF p.2
Maximum N(S) of the hundreds, average of 100
The hundreds Let’s say a finite set S of positive integers is a hundred if its elements are all distinct from each other, it contains the number 2,024, the average of its numbers is 100. For each of these sets of S, we denote with N(S) the largest number of S. When S varies between hundreds, which is the largest of the numbers N(S)? (If you think there are hundreds of sets of S with N(S) arbitrarily large, answer 9999.)
Answer: 3126 src_kangourou_2024_junior_squadre__Q08
Numeri 12 cifre 1,2,3 con adiacenti diff 1
Solo 1, 2, 3
Quanti sono i numeri interi positivi di 12 cifre, le cui cifre siano solo 1 e/o 2 e/o 3 e tali che due cifre adiacenti differiscano comunque di 1?
Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0128 Fonte: apri PDF p.2
Numbers 12 digits 1,2,3 with adjacent differences 1
Only 1, 2, 3 What are the positive integers of 12 digits, whose digits are only 1 and/or 2 and/or 3 and such that two adjacent digits differ by 1 anyway?
Answer: 0128 src_kangourou_2024_junior_squadre__Q09
Area minima parallelepipedo da 500 cubi
Parallelepipedo
Un parallelepipedo rettangolo è stato costruito accostando 500 cubi di lato 1, in modo che l’area della sua superficie totale sia la più piccola possibile. Quanto vale questa area?
Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0400 Fonte: apri PDF p.2
Minimum parallel-piped area of 500 cubes
Parallelpipedo A rectangular parallelpipedo was constructed by approaching 500 cubes on side 1, so that the area of its total surface is as small as possible. How much is this area worth?
Answer: 0400 src_kangourou_2024_junior_squadre__Q10
Somma valori numero maggiore date somme coppie
Quattro numeri reali
Con quattro numeri reali distinti si possono formare sei coppie di numeri. Sapendo che, al variare di tali coppie, le somme dei due numeri che le compongono sono tutte diverse fra loro e che le quattro somme più piccole sono 2, 4, 6, 8, calcolate la somma di tutti i possibili valori del numero maggiore.
Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0015 Fonte: apri PDF p.2
Summary values greater than given pair sums
Four real numbers With four distinct real numbers you can form six pairs of numbers. Knowing that, when these pairs vary, the sums of the two numbers that make them up are all different from each other and that the four smallest sums are 2, 4, 6, 8, we calculate the sum of all possible values of the greatest number.
Answer: 0015 src_kangourou_2024_junior_squadre__Q11
Risultato 202424 con operazione binaria*
Operazione binaria
Di un’operazione binaria * definita tra numeri reali si sa che x * x = 0 e x * (y * z) = (x * y) + z comunque siano assegnati tre numeri x, y, z. Qual è il risultato di 2.024 * 24?
Topic: successioni, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: 2000 Fonte: apri PDF p.2
The following table shows the results of the calculations:
Binary operation Of a * binary operation defined between real numbers it is known that x * x = 0 and x * (y * z) = (x * y) + z are however assigned three numbers x, y, z. What is the result of 2.024 * 24?
Answer: 2000 src_kangourou_2024_junior_squadre__Q12
Minima somma quadrati di due interi somma 29
A somma 29
La somma di due numeri interi non negativi è 29 e la somma dei loro quadrati è la più piccola possibile. Quanto vale questa somma?
Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0421 Fonte: apri PDF p.2
Minimum sum squared of two integers 29
The sum of two nonnegative integers is 29 and the sum of their squares is the smallest possible. How much is this?
Answer: 0421 src_kangourou_2024_junior_squadre__Q13
Estrazioni ordinate per togliere 12 biglie
Le biglie
Un sacchetto contiene 12 biglie indistinguibili. Gaetano le vuole levare tutte, non necessariamente una alla volta, ma talora prendendone anche più di una per volta (ad esempio potrebbe levarne tre insieme, poi una, poi ancora una, poi sette, oppure anche tutte dodici in un colpo solo). Tenendo conto dell’ordine in cui Gaetano può accorpare le biglie estraendole, quante sono le estrazioni possibili? Attenzione: l’ordine è importante, ad esempio (3, 1, 1, 7) è un’estrazione diversa da (1, 3, 1, 7).
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2048 Fonte: apri PDF p.2
Extractions ordered to remove 12 bags
One bag contains 12 indistinguishable bags. Gaetano wants to take them all, not necessarily one at a time, but sometimes taking more than one at a time (e.g. he could take three together, then one, then again one, then seven, or even all twelve in a single shot). Taking into account the order in which Gaetano can incorporate the grains by extracting them, how many extractions are possible? Note: the order is important, e.g. (3, 1, 1, 7) is an extraction different from (1, 3, 1, 7).
Answer: 2048 src_kangourou_2024_junior_squadre__Q14
Massimo numero 3 cifre con condizioni e fattori distinti
Tre cifre
Di un numero intero positivo si sa che ha tre cifre, che la somma delle cifre delle unità con quella delle centinaia coincide con la cifra delle decine, che la sua fattorizzazione in primi vede fattori tutti diversi fra loro e che è il più grande compatibile con questi vincoli. Che numero è?Kangourou della Matematica 2024 Coppa Junior a squadre Finale 1 Cervia, 5 maggio 2024
Titoli e risposte
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0781 Fonte: apri PDF p.2
Maximum number of 3 digits with distinct conditions and factors
Three digits Of a positive integer we know that it has three digits, that the sum of the digits of the units with that of the hundreds coincides with the number of the tens, that its factorization at first sees factors all different from each other and that it is the largest compatible with these constraints. What’s the number?
Kangourou of Mathematics 2024 Junior Cup to teams Final 1 Cervia, 5 May 2024
Securities and replies
Answer: 0781 src_kangourou_2024_junior_squadre__Q15