Minimo ABC con media permutazioni divisibile 60
Divisibile per 60 Qual è il più piccolo numero naturale di tre cifre ABC, tutte distinte fra loro e diverse da zero, tale che la media di tutti i numeri che si ottengono permutando le tre cifre (ABC incluso) sia un intero divisibile per 60?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0127 Fonte: apri PDF p.1
Minimum ABC with mean divisible permutations of 60
Divisable by 60 What is the smallest natural number of three digits ABC, all distinct from each other and different from zero, such that the average of all the numbers that you get by permuting the three digits (ABC included) is an integer divisible by 60?
Answer: 0127 src_kangourou_2024_junior_squadre_f2__Q01
Somma max e min lunghezza rete ripartizione
La rete
Un appezzamento di terreno quadrato di lato 1 km viene ripartito in porzioni rettangolari ciascuna delle quali può essere di dimensioni 5 m × 20 m oppure 6 m × 12 m. Le singole porzioni vengono separate con una rete e l’appezzamento globale viene recintato, sempre con una rete: tenendo conto di tutte le possibili ripartizioni, qual è la somma tra la massima e la minima lunghezza in chilometri della rete complessivamente richiesta?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0504 Fonte: apri PDF p.1
Maximum sum and minimum length of distribution network
The network A plot of land square 1 km side is divided into rectangular sections each of which may be 5 m × 20 m or 6 m × 12 m in size. The individual portions are separated by a network and the overall layout is fenced off, always by a network: taking into account all possible layouts, what is the sum between the maximum and minimum length in kilometres of the network as a whole required?
Answer: 0504 src_kangourou_2024_junior_squadre_f2__Q02
Sottoinsiemi senza due consecutivi, almeno 2 elem
I sottoinsiemi
Considerate l’insieme {1, 2, …, 9, 10, 11} dei primi 11 interi positivi. Quanti sono i suoi sottoinsiemi di almeno due elementi che non contengono due numeri consecutivi?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0221 Fonte: apri PDF p.1
*Sub-sets without two consecutive elements, at least 2 *
The subset Consider the sum of the first 11 positive integers {1, 2, …, 9, 10, 11}. How many of its subsets of at least two elements that do not contain two consecutive numbers?
Answer: 0221 src_kangourou_2024_junior_squadre_f2__Q03
Somma primi elementi coppie (a,b) radici intere
L’equazione
Considerate l’equazione (nell’incognita x), dipendente dai due parametri a e b,
x3 – 10x2 + ax – b = 0. Esistono coppie ordinate (a, b) di interi strettamente positivi tali che l’equazione abbia tre soluzioni (reali) le quali siano tutte numeri interi strettamente positivi. Quanto vale la somma dei primi elementi di tali coppie? (Se ritenete che esistano infinite coppie, scrivete 9999).
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio, manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0220 Fonte: apri PDF p.1
sum of first pair elements (a,b) whole roots
The equation Consider the equation (in the unknown x), dependent on the two parameters a and b, x3 10x2 + ax b = 0. There are ordered pairs (a, b) of strictly positive integers such that the equation has three (real) solutions all of which are strictly positive integers. How much is the sum of the first elements of these pairs? (If you believe there are infinite pairs, write 9999).
Answer: 0220 src_kangourou_2024_junior_squadre_f2__Q04
Massimo punteggio sottogriglie 10x10
La griglia Un concorrente ha a disposizione una griglia quadrata 10 × 10. Guadagna due punti per ogni sottogriglia quadrata (griglia originale inclusa) che riesce a identificare e un punto per ogni sotto-griglia rettangolare non quadrata che riesce a identificare. Qual è il massimo punteggio che può totalizzare?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3410 Fonte: apri PDF p.1
Most subgrids score 10x10
The grid A competitor has a grid square 10 × 10. It earns two points for each square subgrid (original grid included) it can identify and one point for each non-square rectangular subgrid it can identify. What’s the maximum score you can get?
Answer: 3410 src_kangourou_2024_junior_squadre_f2__Q05
Valore f(0) funzione ricorsiva di McCarthy
Il valore in 0 Considerate la funzione f definita sull’insieme dei numeri interi non negativi, a valori nell’insieme dei numeri interi, nel modo seguente: per n intero non negativo si ponga
f(n) = n – 10 se n > 100, f(n) = f (f(n + 11)) se 0 ≤ n ≤ 100. Quanto vale f(0)?
Topic: successioni Metodo: Ricorsione Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: 0091 Fonte: apri PDF p.1
*Value f(0) recursive function of McCarthy *
The value in 0 Consider the function f defined on the set of non-negative integers, to values in the set of integers, as follows: for n non-negative integers, put f(n) = n 10 if n > 100, f(n) = f (f(n + 11)) if 0 ≤ n ≤ 100. How much is f?
Answer: 0091 src_kangourou_2024_junior_squadre_f2__Q06
Area rettangolo ABCD da area triangolo EHK
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,0);
\coordinate (C) at (3,2);
\coordinate (D) at (0,2);
\coordinate (E) at (1.5,2);
\coordinate (F) at (1,0);
\coordinate (G) at (2,0);
\coordinate (H) at (1.2,0.8);
\coordinate (K) at (1.7143,1.1429);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\draw (A) -- (C);
\draw (E) -- (F);
\draw (E) -- (G);
\draw (H) -- (K);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[above] at (E) {$E$};
\node[below] at (F) {$F$};
\node[below] at (G) {$G$};
\node[left] at (H) {$H$};
\node[right] at (K) {$K$};
\fill (A) circle (1.5pt);
\fill (B) circle (1.5pt);
\fill (C) circle (1.5pt);
\fill (D) circle (1.5pt);
\fill (E) circle (1.5pt);
\fill (F) circle (1.5pt);
\fill (G) circle (1.5pt);
\fill (H) circle (1.5pt);
\fill (K) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}Il rettangolo
Nella figura a destra, ABCD è un rettangolo, E è il punto medio di DC e AF, FG, GB sono ciascuno lunghi 1/3 di AB. L’area del triangolo EHK è 27. Quanto vale l’area del rettangolo ABCD?K B C D E F G A H
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0630 Fonte: apri PDF p.1
Rectangle area ABCD from area triangle EHK
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,0);
\coordinate (C) at (3,2);
\coordinate (D) at (0,2);
\coordinate (E) at (1.5,2);
\coordinate (F) at (1,0);
\coordinate (G) at (2,0);
\coordinate (H) at (1.2,0.8);
\coordinate (K) at (1.7143,1.1429);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\draw (A) -- (C);
\draw (E) -- (F);
\draw (E) -- (G);
\draw (H) -- (K);
\node[below left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[above left] at (D) {$D$};
\node[above] at (E) {$E$};
\node[below] at (F) {$F$};
\node[below] at (G) {$G$};
\node[left] at (H) {$H$};
\node[right] at (K) {$K$};
\fill (A) circle (1.5pt);
\fill (B) circle (1.5pt);
\fill (C) circle (1.5pt);
\fill (D) circle (1.5pt);
\fill (E) circle (1.5pt);
\fill (F) circle (1.5pt);
\fill (G) circle (1.5pt);
\fill (H) circle (1.5pt);
\fill (K) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
\end{document}The rectangle In the figure to the right, ABCD is a rectangle, E is the middle point of DC and AF, FG, GB are each 1/3 long AB. The area of the EHK triangle is 27. What is the area of the rectangle ABCD?
K B C D E F G A H
Answer: 0630 src_kangourou_2024_junior_squadre_f2__Q07
Prime 4 cifre max n con n^2+2024n quadrato
Quadrato perfetto
Scrivete le prime quattro cifre (da sinistra) del più grande numero naturale n tale che n2 + 2024n sia un quadrato perfetto.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2550 Fonte: apri PDF p.2
First four digits max n with n^2+2024n squared
Perfect square Write the first four digits (left) of the largest natural number n such that n2 + 2024n is a perfect square.
Answer: 2550 src_kangourou_2024_junior_squadre_f2__Q08
Resto di N (1001 uni) diviso per 1001
Il resto
Il numero intero positivo N è costituito da 1.001 cifre tutte uguali a 1. Qual è il resto della divisione di N per 1.001?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0100 Fonte: apri PDF p.2
Remaining of N (1001 units) divided by 1001
The remainder The positive integer N consists of 1,001 digits all equal to 1. What’s the rest of the division of N by 1.001?
Answer: 0100 src_kangourou_2024_junior_squadre_f2__Q09
Probabilità esattamente una faccia rossa visibile
Il cubetto
Ada accosta 64 cubetti di lato 1 in modo da formare un cubo 4 × 4 × 4 e vernicia di rosso le sei facce esterne del cubo ottenuto. Separa poi i 64 cubetti, ne prende uno a caso e lo lancia sul pavimento come lancerebbe un dado: qual è la probabilità che, tra le facce visibili del cubetto dopo il lancio, ve ne sia esattamente una dipinta di rosso? (Scrivete uno dopo l’altro numeratore e denominatore della frazione: ad esempio se la risposta fosse 21/23 o 2/123 scrivete in entrambi i casi 2123, se fosse 1/3 scrivete 0103.)
Topic: Probabilita e statistica, Geometria solida Metodo: Conteggio per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 0716 Fonte: apri PDF p.2
Probability of exactly a visible red face
The Ada cube adjoins 64 cubes on side 1 to form a cube 4 × 4 × 4 and coats the six outer faces of the resulting cube in red. Then he separates the 64 cubes, randomly picks one of them and throws it on the floor like a dice: what is the probability that, among the faces of the cubes visible after the launch, there is exactly one painting of it in red? (Write one after the other numerator and denominator of the fraction: for example if the answer is 21/23 or 2/123 write in both cases 2123, if it is 1/3 write 0103.)
Answer: 0716 src_kangourou_2024_junior_squadre_f2__Q10
Minimo elementi sottoinsieme somme uguali 1..100
Ripartizione
Voglio ripartire l’insieme dei primi 100 interi positivi in due sottoinsiemi disgiunti in modo che le due somme degli interi presenti nei due sottoinsiemi coincidano e che uno dei due abbia il minor numero possibile di elementi. Qual è questo numero?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0030 Fonte: apri PDF p.2
Minimum subset elements equal to sums of 1.100
I want to divide the sum of the first 100 positive integers into two sub-sets so that the two sums of the integers in the two sub-sets coincide and that one of the two has the least number of elements possible. What’s this number?
Answer: 0030 src_kangourou_2024_junior_squadre_f2__Q11
Percentuale area S rispetto area T triangolo 3,4,5
La percentuale
Le misure dei lati di un triangolo T sono 3, 4 e 5. L’altezza e la mediana di questo triangolo relative al vertice dell’angolo maggiore sono lati di uno stesso triangolo S. Quale percentuale dell’area di T è l’area di S?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0014 Fonte: apri PDF p.2
Percentage of area S with respect to area T triangle 3.4,5
The dimensions of the sides of a T triangle are 3, 4 and 5. The height and median of this triangle relative to the top of the major angle are sides of the same S triangle. What percentage of the area of T is the area of S?
Answer: 0014 src_kangourou_2024_junior_squadre_f2__Q12
Coordinate vertice cubo con prima coord 0
Il vertice
Rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (monometrico) fissato per lo spazio, i tre punti
(4, 0, 3), (6, 4, 1) e (2, 8, 5) rappresentano tre dei vertici di un cubo. Uno solo dei rimanenti 5 vertici ha come prima coordinata 0: quali sono, nell’ordine, le sue coordinate? (Le coordinate richieste sono tutte interi non negativi inferiori a 10, dunque la risposta dovrà essere della forma [00AB].)
Topic: Geometria analitica, Geometria solida Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0047 Fonte: apri PDF p.2
Coordinates of cube vertices with first coordinates 0
The vertex Compared to a system of orthogonal (monometric) Cartesian axes fixed for space, the three points (4, 0, 3), (6, 4, 1) and (2, 8, 5) represent three of the vertices of a cube. Only one of the remaining 5 vertices has as its first coordinate 0: what are its coordinates in order? (The coordinates required are all integers not less than 10, so the answer must be [00AB].)
Answer: 0047 src_kangourou_2024_junior_squadre_f2__Q13
Quante carte mostrano faccia bianca dopo 2024 mosse
Le carte
Ci sono 2024 carte, ognuna con una faccia bianca e l’altra grigia, numerate da 1 a 2024 con lo stesso numero sulle due facce. Inizialmente tutte mostrano la faccia bianca. Si eseguono 2024 mosse: per
1 ≤ k ≤ 2024, la k-esima mossa consiste nel rovesciare tutte e sole le carte che riportano un numero divisibile per k (dunque alla prima mossa si rovesciano tutte le carte, alla seconda solo le carte che riportano un numero pari, e così via). Dopo 2024 mosse, quante carte mostrano la faccia bianca?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1980 Fonte: apri PDF p.2
How many cards show a white face after 2024 moves
The cards There are 2024 cards, each with a white face and the other gray, numbered from 1 to 2024 with the same number on both faces. Initially, they all show the white face. 2024 moves are performed: for 1 ≤ k ≤ 2024, the k-eighth move consists of flipping all the cards that have a number divisible by k (since on the first move all the cards are flipped, on the second only the cards that have an equal number, and so on). After 2024 moves, how many cards show the white face?
Answer: 1980 src_kangourou_2024_junior_squadre_f2__Q14
Numero iniziale oggetto rimasto, eliminazioni
L’oggetto rimasto Ci sono 2024 oggetti allineati e numerati da 1 a 2024. In un primo momento vengono eliminati tutti gli oggetti che riportano un numero dispari: a questo punto gli oggetti restanti vengono nuovamente numerati da 1 a 1012 e vengono eliminati tutti gli oggetti che ora riportano un numero dispari. Si procede in questo modo con una nuova numerazione e una nuova eliminazione, e così via fino a quando non rimane che un solo oggetto. Che numero aveva inizialmente questo oggetto?
Kangourou della Matematica 2024 Coppa Junior a squadre Finale 2 Cervia, 6 maggio 2024
Titoli e risposte
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1024 Fonte: apri PDF p.2
Remaining original object number, deletions
There are 2024 objects lined up and numbered from 1 to 2024. First, all objects with odd numbers are deleted: at this point, the remaining objects are again numbered from 1 to 1012 and all objects with odd numbers are deleted. This is done with a new numbering and a new deletion, and so on until there is only one object left. What number did this object initially have?
Kangourou of Mathematics 2024 Junior Cup to teams Final 2 Cervia, 6 May 2024
Securities and replies
Answer: 1024 src_kangourou_2024_junior_squadre_f2__Q15