Quanti numeri rappresentati dalla stessa figura
Il falso codice
Sergio crede di avere inventato un codice segreto per individuare i numeri interi: se una cifra è dispari, la rappresenta con un cerchietto, se è pari con un quadrato; se una cifra è un multiplo di 3, il cerchietto o il quadrato che la rappresenta è pieno, mentre è vuoto in caso contrario. Così Sergio rappresenta il numero 34567 con . Ma Sergio si sbaglia: il suo criterio non consente di individuare con certezza un numero partendo dalla sua rappresentazione. Comprendendo anche il numero 34567, quanti numeri sono rappresentati dalla stessa figura? (Ricordate che 0 è una cifra pari ed è divisibile per 3.)
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Lettura attenta del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0108 Fonte: apri PDF p.1
How many numbers are represented by the same figure
The false code Sergio believes to have invented a secret code to identify the integers: if a number is odd, it represents it with a circle, if it is equal to a square; if a number is a multiple of 3, the circle or square that represents it is full, while it is empty otherwise. So Sergio represents the number 34567 with . But Sergio is mistaken: his criterion does not allow us to identify a number with certainty based on his representation. Including the number 34567, how many numbers are represented by the same figure? (Remember that 0 is an equal number and is divisible by 3.)
Answer: 0108 src_kangourou_2024_kangourou_squadre__Q01
Biglie totali iniziali nei due contenitori
Biglie rosse e blu
Un contenitore A era pieno di biglie rosse e un contenitore B era pieno di biglie blu. Un dispositivo ha tolto a coppie una biglia da A e una da B, per un certo numero di volte: in questo modo ha tolto i 2/3 delle biglie che c’erano in A e i 3/5 delle biglie che c’erano in B. Ora nei due contenitori sono rimaste complessivamente 3.668 biglie. Quante biglie c’erano complessivamente nei due contenitori all’inizio?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9956 Fonte: apri PDF p.1
Initial total bags in the two containers
One container A was full of red and one container B was full of blue. A device has removed a seed from A and a seed from B in pairs, a number of times, thus removing 2/3 of the seed from A and 3/5 of the seed from B. There are now a total of 3,668 bags left in the two containers. How many bags were there in the two containers at the start?
Answer: 9956 src_kangourou_2024_kangourou_squadre__Q02
Somma cifre di 10^100 meno 2024
Somma delle cifre
Immaginate di avere eseguito l’operazione 10 × 10 × 10 × … × 10 dove il fattore 10 compare 100 volte e di sottrarre 2024 al risultato che avete ottenuto. Qual è la somma delle cifre del risultato che ottenete?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0893 Fonte: apri PDF p.1
Summary of figures of 10^100 minus 2024
Sum of the numbers Imagine you’ve done the 10 × 10 × 10 × … × 10 where the factor 10 appears 100 times and subtract 2024 from the result you got. What is the sum of the numbers of the result you get?
Answer: 0893 src_kangourou_2024_kangourou_squadre__Q03
Minimo e massimo k per triangolo lati 60,k,2k
I lati del triangolo
Le misure dei lati di un triangolo (che non si riduca ad un segmento o ad un punto) sono 60, k, 2k. Se k è un intero positivo, quali sono il più piccolo e il più grande dei valori possibili per k? (Scriveteli in sequenza da sinistra a destra, partendo dal più piccolo: ad esempio, se i valori fossero 10 e 85, dovreste scrivere 1085.)
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 2159 Fonte: apri PDF p.1
Minimum and maximum k for triangle sides 60,k,2k
The dimensions of the sides of a triangle (which is not reduced to a segment or a point) are 60, k, 2k. If k is a positive integer, what are the smallest and largest possible values for k? (Write them in sequence from left to right, starting with the smallest: for example, if the values were 10 and 85, you would have to write 1085.)
Answer: 2159 src_kangourou_2024_kangourou_squadre__Q04
Più grande numero con prodotto cifre 90
Il più grande
Qual è il più grande numero intero positivo il prodotto delle cui cifre è 90? (Scrivete 0000 se ritenete che un tale numero non esista.)
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0000 Fonte: apri PDF p.1
Most number with product figures of 90
What is the greatest positive integer whose product is 90? (Write 0000 if you believe such a number does not exist.)
Answer: 0000 src_kangourou_2024_kangourou_squadre__Q05
Angolo DKC su semicirconferenza
L’angolo
Su una semicirconferenza di diametro AD e di centro M, i punti B e C sono tali che l’angolo 𝐶𝐴𝐷 ̂ misura 50 gradi e BM è perpendicolare ad AC. Sia K il punto in cui AC taglia BD. Quanti gradi misura l’angolo 𝐷𝐾𝐶 ̂?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0070 Fonte: apri PDF p.1
*Angle DKC on the semicircular *
The angle On a semicircular diameter AD and center M, points B and C are such that the angle CAD ̂ measures 50 degrees and BM is perpendicular to AC. Let K be the point where AC cuts BD. How many degrees does the angle DKC ̂ measure?
Answer: 0070 src_kangourou_2024_kangourou_squadre__Q06
Prodotto età attuali Gianni e Lisa
Gianni e Lisa
Gianni ha due anni più di Lisa. Quest’anno il prodotto delle loro età (in anni) è il prodotto delle età dell’anno scorso aumentato di 27. Scrivete il prodotto delle due età attuali.
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0195 Fonte: apri PDF p.1
Product current age Gianni and Lisa*
Gianni and Lisa Gianni is two years older than Lisa. This year the product of their ages (in years) is the product of the ages of last year, increased by 27. Write the product of the current two ages.
Answer: 0195 src_kangourou_2024_kangourou_squadre__Q07
Ultime quattro cifre allineamento somma 14
Le ultime cifre
In un allineamento di 16 cifre, la quarta è 3 e la quint’ultima è 5. Inoltre, la somma di tre cifre consecutive nell’allineamento, in qualunque posizione siano, è 14. Qual è la sequenza delle ultime quattro cifre dell’allineamento?
Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3653 Fonte: apri PDF p.2
Last four digits alignment sum 14
In a 16-digit alignment, the fourth is 3 and the fifth is 5. In addition, the sum of three consecutive digits in the alignment, wherever they are, is 14. What is the sequence of the last four digits of the alignment?
Answer: 3653 src_kangourou_2024_kangourou_squadre__Q08
Centesimi per ogni spilla dato risparmio
Le spille
L’organizzatore di un piccolo torneo di calcetto, con squadre composte ciascuna da 7 giocatori, aveva deciso di regalare a ognuno dei giocatori di ogni squadra una spilla ricordo del costo di 1 euro. Quando è andato a comperare le spille, ha scoperto che nel frattempo il loro prezzo era diminuito di più del 10%: ha così risparmiato in tutto 6 euro e 65 centesimi. Quanti centesimi ha pagato ogni spilla?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0081 Fonte: apri PDF p.2
Cents for each spinning spindle
The organiser of a small soccer tournament, with teams of 7 players each, had decided to give each of the players of each team a souvenir spike for the cost of 1 euro. When he went to buy the pens, he found that their price had dropped by more than 10% in the meantime, saving a total of 6 euros 65 cents. How many cents did you pay each broom?
Answer: 0081 src_kangourou_2024_kangourou_squadre__Q09
Area regione ombreggiata tre cerchi concentrici
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\def\ri{1}
\def\rm{1.667}
\def\ro{2}
\fill[white] (-2.4,-2.4) rectangle (2.4,2.4);
\begin{scope}
\clip (0,0) -- (\ro,0) arc(0:90:\ro) -- cycle;
\fill[gray!40] (0,0) circle (\ro);
\fill[white] (0,0) circle (\rm);
\end{scope}
\begin{scope}
\clip (0,0) -- (-\ro,0) arc(180:270:\ro) -- cycle;
\fill[gray!40] (0,0) circle (\ro);
\fill[white] (0,0) circle (\rm);
\end{scope}
\begin{scope}
\clip (0,0) -- (0,\rm) arc(90:180:\rm) -- cycle;
\fill[gray!40] (0,0) circle (\rm);
\fill[white] (0,0) circle (\ri);
\end{scope}
\begin{scope}
\clip (0,0) -- (0,-\rm) arc(270:360:\rm) -- cycle;
\fill[gray!40] (0,0) circle (\rm);
\fill[white] (0,0) circle (\ri);
\end{scope}
\draw (0,0) circle (\ri);
\draw (0,0) circle (\rm);
\draw (0,0) circle (\ro);
\draw (-\ro,0) -- (\ro,0);
\draw (0,-\ro) -- (0,\ro);
\node[above left] at ({-\ro*0.707},{\ro*0.707}) {$R$};
\node[above left] at ({-\rm*0.707},{\rm*0.707}) {$Q$};
\node[above left] at ({-\ri*0.707},{\ri*0.707}) {$P$};
\node[below right] at (0.05,-0.05) {$O$};
\end{tikzpicture}
\end{document}La regione ombreggiata
La figura mostra tre cerchi concentrici di centro O sui quali sono tracciati due diametri fra loro perpendicolari; RO, QO e PO sono raggi dei tre cerchi. Il segmento RQ è lungo la metà del segmento QP che, a sua volta, è lungo 2/3 del segmento PO. L’area del cerchio più grande è 1962 m2. Di quanti metri quadrati è l’area della regione ombreggiata?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1417 Fonte: apri PDF p.2
Shaded region area three concentric circles
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\def\ri{1}
\def\rm{1.667}
\def\ro{2}
\fill[white] (-2.4,-2.4) rectangle (2.4,2.4);
\begin{scope}
\clip (0,0) -- (\ro,0) arc(0:90:\ro) -- cycle;
\fill[gray!40] (0,0) circle (\ro);
\fill[white] (0,0) circle (\rm);
\end{scope}
\begin{scope}
\clip (0,0) -- (-\ro,0) arc(180:270:\ro) -- cycle;
\fill[gray!40] (0,0) circle (\ro);
\fill[white] (0,0) circle (\rm);
\end{scope}
\begin{scope}
\clip (0,0) -- (0,\rm) arc(90:180:\rm) -- cycle;
\fill[gray!40] (0,0) circle (\rm);
\fill[white] (0,0) circle (\ri);
\end{scope}
\begin{scope}
\clip (0,0) -- (0,-\rm) arc(270:360:\rm) -- cycle;
\fill[gray!40] (0,0) circle (\rm);
\fill[white] (0,0) circle (\ri);
\end{scope}
\draw (0,0) circle (\ri);
\draw (0,0) circle (\rm);
\draw (0,0) circle (\ro);
\draw (-\ro,0) -- (\ro,0);
\draw (0,-\ro) -- (0,\ro);
\node[above left] at ({-\ro*0.707},{\ro*0.707}) {$R$};
\node[above left] at ({-\rm*0.707},{\rm*0.707}) {$Q$};
\node[above left] at ({-\ri*0.707},{\ri*0.707}) {$P$};
\node[below right] at (0.05,-0.05) {$O$};
\end{tikzpicture}
\end{document}The shaded region The figure shows three concentric circles of center O on which two diameters are drawn perpendicular to each other; RO, QO and PO are the radii of the three circles. The RQ segment is half the length of the QP segment which in turn is 2/3 of the PO segment. The largest area of the circle is 1962 m2. How many square meters is the area of the shaded region?
Answer: 1417 src_kangourou_2024_kangourou_squadre__Q10
Valore n dato tre somme 401,444,468
Tre carte
Vi sono tre carte sul tavolo e su ciascuna è segnato un numero; i tre numeri sono interi positivi, nessuno superiore a 30. Tre amici giocano in questo modo: prendono in sequenza ciascuno una delle tre carte, annotando il numero riportato sulla carta presa. Poi le tre carte vengono rimesse sul tavolo e così si è svolta una manche. Dopo n manche, ognuno dei tre amici somma gli n numeri che ha annotato: le tre somme sono 401, 444, 468. Quanto vale n?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0101 Fonte: apri PDF p.2
N value given three sums 401,444,468
Three cards There are three cards on the table and on each one is marked a number; the three numbers are positive integers, none greater than 30. Three friends play like this: they each take one of the three cards in sequence, noting the number shown on the card. Then the three cards are put back on the table and so a draw is made. After n rounds, each of the three friends sums up the n numbers he wrote down: the three sums are 401, 444, 468. How much is n?
Answer: 0101 src_kangourou_2024_kangourou_squadre__Q11
Numeri 3 cifre distinte crescenti o decrescenti
Crescente o decrescente
Quanti sono i numeri interi positivi di tre cifre (dunque maggiori di 99), tutte distinte tra loro, nei quali le cifre sono in ordine crescente oppure in ordine decrescente?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0204 Fonte: apri PDF p.2
Numbers 3 distinct digits increasing or decreasing
Increasing or decreasing What are the positive integers of three digits (which are greater than 99), all distinct from each other, in which the digits are in increasing or decreasing order?
Answer: 0204 src_kangourou_2024_kangourou_squadre__Q12
Massimo euro di un bambino, media 4
Il riccone
I 2024 bambini di una cittadina hanno in media 4 euro a testa. Ognuno ha almeno un euro e la metà ne ha almeno due. Qual è il massimo numero di euro che uno di quei bambini potrebbe avere?
Topic: Teoria dei Numeri, Disuguaglianze Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5062 Fonte: apri PDF p.2
Minimum euro per child, average of 4
The rich man The 2024 children in a small town have an average of 4 euros per person. Each has at least one euro and half has at least two. What is the maximum amount of euros that one of those children could have?
Answer: 5062 src_kangourou_2024_kangourou_squadre__Q13
Minimo lampadine sostituite, rapporti colori
Le lampadine
In una grande luminaria ci sono molte lampadine: ieri ogni 20 rosse ce n’erano 48 verdi. Oggi alcune lampadine di uno dei due colori sono state sostituite da altrettante dell’altro colore: ora le lampadine rosse sono 26 ogni 50 verdi. Qual è il più piccolo numero di lampadine che certamente sono state sostituite?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0062 Fonte: apri PDF p.2
Minimum replacement lamps, colour ratios
There are many lamps in a large luminaire. Yesterday, for every 20 reds there were 48 green lamps. Today, some light bulbs of one of the two colours have been replaced by as many of the other colour: now there are 26 red light bulbs for every 50 green. What is the smallest number of light bulbs that have certainly been replaced?
Answer: 0062 src_kangourou_2024_kangourou_squadre__Q14
Quante riflessioni per triangolo sovrapposto
Le riflessioni
Un triangolo isoscele OA0 A1 con un angolo di 125 gradi si riflette lungo il lato OA1 sul triangolo OA1 A2; quest’ultimo si riflette lungo il lato OA2 nel triangolo OA2 A3 e così via. La figura mostra l’effetto delle prime due riflessioni. Quante riflessioni consentono di ottenere per la prima volta un triangolo che si sovrapponga a quello di partenza?
A0 A1 A2 A3 OKangourou della Matematica 2024 Coppa Kangourou a squadre Finale 1 Cervia, 3 maggio 2024
Titoli e risposte
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Abilita: Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 0072 Fonte: apri PDF p.2
How many reflections per overlapping triangle
The reflections An isosceles triangle OA0 A1 with an angle of 125 degrees is reflected along the side OA1 on the triangle OA1 A2; the latter is reflected along the side OA2 in the triangle OA2 A3 and so on. The figure shows the effect of the first two reflections. How many reflections do you get for the first time to get a triangle that overlaps the starting triangle? A0 A1 A2 A3 O
Kangourou of Mathematics 2024 Kangourou Cup to teams Finals 1 Cervia, 3 May 2024
Securities and replies
Answer: 0072 src_kangourou_2024_kangourou_squadre__Q15