Kangourou 2025 Cadet finale

Su quale dito cade il conteggio 999

Sulle dita di una mano, Silvia ha contato nel modo seguente: 1 pollice, 2 indice, 3 medio, 4 anulare, 5 mignolo; poi è tornata indietro: 6 anulare, 7 medio, 8 indice, 9 pollice. Quindi è ripartita: 10 indice, 11 medio e così via, fino a quando è arrivata a 999. Su quale dito?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: medio Fonte: apri PDF p.1

Which finger is counted as 999

On one hand, Silvia counted as follows: 1 inch, 2 index, 3 middle, 4 ring, 5 thumb; then she turned back: 6 ring, 7 middle, 8 index, 9 inches. So it’s divided up: 10 indices, 11 mean, and so on, until it gets to 999. What finger?

Answer: medio src_kangourou_2025_cadet_finale__QC1

Numero totale di lampioni su sentiero circolare

Un parco circolare è circondato da un sentiero illuminato da lampioni. Simona e Tania hanno contato i lampioni, ma separatamente, partendo da punti diversi e muovendosi entrambe nello stesso verso. Quello che è stato il 20-esimo lampione per Simona è stato il 7-mo per Tania, quello che è stato il 7-mo per Simona è stato il 94-esimo per Tania. Quanti sono complessivamente i lampioni?

Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 100 Fonte: apri PDF p.1

Total number of lamps on circular track

A circular park is surrounded by a path lit by lightning. Simona and Tania counted the lights, but separately, starting from different points and moving both in the same direction. What was the 20th lamp for Simona was the 7th for Tania, what was the 7th for Simona was the 94th for Tania. How many lights are there?

Answer: 100 src_kangourou_2025_cadet_finale__QC2

Coppie (a,b) con a+b=283353 e b divide a*

Due interi positivi $a$ e $b$ sono tali che la loro somma è uguale al prodotto dei due numeri primi 283 e 353. Per quali coppie $(a,b)$ si ha che $b$ divide $a$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: tre coppie Fonte: apri PDF p.1

Pairs (a,b) with a+b=283353 and b divides a*

Two positive integers $a$ and $b$ are such that their sum is equal to the product of the two prime numbers 283 and 353. For which pairs $(a,b)$ does $b$ divide $a$?

Answer: tre coppie src_kangourou_2025_cadet_finale__QC3

Numero appezzamenti quadrati con reticolato 1172m

Un orto botanico rettangolare di dimensioni $52\times 24$ metri è ripartito in appezzamenti quadrati tutti della stessa dimensione e tutti con i lati paralleli a quelli dell’orto. Internamente all’orto gli appezzamenti sono separati da reticolati; la lunghezza complessiva dei reticolati è 1.172 metri. Quanti sono gli appezzamenti quadrati?

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 312 Fonte: apri PDF p.1

Number of square plots with grid 1172m

A rectangular botanical garden measuring $52\times 24$ metres is divided into square plots all of the same size and all with sides parallel to those of the garden. Inside the garden the plots are separated by lattices; the overall length of the lattices is 1,172 metres. How many square plots are there?

Answer: 312 src_kangourou_2025_cadet_finale__QC4

Quante disposizioni cavalieri/furfanti su griglia 5x5

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw (0,0) grid (5,5);
  \foreach \x in {0,1,2,3,4} {
    \node[blue, font=\itshape\bfseries] at (\x+0.5, 0.5) {F};
  }
  \foreach \x in {0,1,2,3,4} {
    \node[blue, font=\itshape\bfseries] at (\x+0.5, 4.5) {F};
  }
  \foreach \y in {1,2,3} {
    \node[blue, font=\itshape\bfseries] at (0.5, \y+0.5) {F};
  }
  \foreach \y in {1,2,3} {
    \node[blue, font=\itshape\bfseries] at (4.5, \y+0.5) {F};
  }
\end{tikzpicture}
\end{document}

In un’isola ci sono solo Cavalieri e Furfanti: i Cavalieri sono persone che dicono sempre la verità, mentre i Furfanti mentono sempre, ed è noto a tutti nell’isola chi sono i Cavalieri e chi sono i Furfanti. Oggi 25 abitanti dell’isola sono in attesa nella sala di ricevimento del Re. Questa sala è un quadrato di lato 5 metri ed è pavimentata con 25 mattonelle quadrate di lato 1 metro, numerate da 1 a 25. Ogni persona attende in piedi su una mattonella, una sola persona per mattonella. Mentre aspettano, ognuna delle 25 persone dichiara: “Nelle mattonelle adiacenti alla mia ci sono tanti furfanti quanti cavalieri”. Quante diverse disposizioni di cavalieri e furfanti sono possibili?

NOTA: Due mattonelle sono adiacenti se hanno un intero lato in comune. Due disposizioni sono diverse se, per almeno un numero, la corrispondente mattonella è occupata in una disposizione da un Cavaliere, nell’altra da un Furfante.

Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 Fonte: apri PDF p.1

How many horses/hunters on a 5x5 grid

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw (0,0) grid (5,5);
  \foreach \x in {0,1,2,3,4} {
    \node[blue, font=\itshape\bfseries] at (\x+0.5, 0.5) {F};
  }
  \foreach \x in {0,1,2,3,4} {
    \node[blue, font=\itshape\bfseries] at (\x+0.5, 4.5) {F};
  }
  \foreach \y in {1,2,3} {
    \node[blue, font=\itshape\bfseries] at (0.5, \y+0.5) {F};
  }
  \foreach \y in {1,2,3} {
    \node[blue, font=\itshape\bfseries] at (4.5, \y+0.5) {F};
  }
\end{tikzpicture}
\end{document}

On an island there are only Knights and Spheres: Knights are people who always tell the truth, while Spheres always lie, and everyone on the island knows who the Knights are and who the Spheres are. Today 25 inhabitants of the island are waiting in the King’s reception hall. This room is a square side of 5 meters and is floored with 25 square bricks on the side of 1 meter, numbered from 1 to 25. Each person is standing on a brick, one person per brick. As they wait, each of the 25 people declares, “In the bricks next to mine there are as many crooks as there are knights”. How many different arrangements of knights and thieves are possible?

NOTE: Two bricks are adjacent if they have an entire side in common. Two provisions are different if, for at least one number, the corresponding brick is occupied in one provision by a Knight and in the other by a Sniper.

Answer: 6 src_kangourou_2025_cadet_finale__QC5

piu lungo del diametro?

Due punti sulla circonferenza di un cerchio $\Gamma$ sono estremi di un arco $\delta$ di un’altra circonferenza. L’arco $\delta$ ripartisce il cerchio $\Gamma$ in due regioni di uguale area. È necessariamente vero che $\delta$ è più lungo del diametro di $\Gamma$?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: Si Fonte: apri PDF p.1

longer than the diameter?

Two points on the circumference of a circle $\Gamma$ are extremes of an arc $\delta$ of another circumference. The arc $\delta$ divides the circle $\Gamma$ into two regions of equal area. Is it necessarily true that $\delta$ is longer than the diameter of $\Gamma$?

Answer: Si src_kangourou_2025_cadet_finale__QC6